人教版八年级数学上册13《轴对称 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）

1、PAGE 轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能

2、够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那

3、么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点

4、的坐标为（,）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角

5、形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数HEC与ABC关于CD对称；FD

6、B与ABC关于BE对称；GED与ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身所以共3个【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点若ABC的内角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C；解：连接AP，BP，CP，D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P为MON内一定点，OM上有一

7、点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数. 【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P关于OM、ON的对称点，连接交OM于A，ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（2015乐陵市模拟）（1）如图1，直线同

8、侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）若BAE=125，B=E=90，AB=BC，AE=DE，AMN+ANM的度数为 【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求（2）作图如下：（3）作图如下： BAE=125，P+Q=180125=55，AMN=P+PAM=2

9、P，ANM=Q+QAN=2Q，AMN+ANM=2（P+Q）=255=1103、（2016春浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A4 B3 C2 D1【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案【答案】D；【解析】解：该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），对称点到直线x=3的距离为2，点M（a，3）到直线x=3的距离为2，a=1【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键举一反三：【变式1】如图，

10、若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB与Rt关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因为RtAOB与Rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（2，1）【高清课堂：389304 轴对称复习：例10】【变式2】如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，P

11、EAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_.点P到AB边的距离PE=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=AB

12、PE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键5、已知，如图，112，236，348，424. 求的度数【答案与解析】ACD123B5E解：将沿AB翻折，得到，连结CE，

13、则，1512.6048又236，72，BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：【变式】在ABC中，ABAC，BAC80，D为形内一点，且DABDBA10，求ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE ABDACE ADAE, DABEAC10 BAC=80，DAE60，ADE为等边三角形AED60 DABDBA10 ADBDDEEC AEC160， DEC140 DCE20 ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、（秋辛

14、集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“”、“”或“=”）（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“”、“”或“=”）；理由如下，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应

15、图形，并直接写出结果）【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE=DB，理由如下，过点E作EFBC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得DBEEFC，由BC+DB求出CD的长即可【

16、答案与解析】解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EFBC，交AC于点F，证明：ABC为等边三角形，AEF为等边三角形，AE=EF，BE=CF，ED=EC，D=ECD，DEB=60D，ECF=60ECD，DEB=ECF，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，则AE=DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得DBEEFC，DB=EF=2，BC=1，则CD=BC+DB=3【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键【巩固练习】一.选择题1.

17、 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF的大小为( )A. 15 B. 30 C. 45 D. 603（2016秋诸城市月考）下列语句中，正确的有（ ） 关于一条直线对称的两个图形一定能重合；两个能重合的图形一定关于某条直线对称；一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.A1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

18、4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（ ）A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：215. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线3轴对称，则平面内点B的坐标是（ ）A.（1，3） B.（10，3） C.（4，3） D.（4，1）6（本溪校级二模）如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）ABCD不能确定7. 如图，将沿、翻折，三个顶点均落在点处.若，则 的度数为（ ）A. 49 B. 50 C. 51 D. 528. 如图, ABC中, ACB90, A

19、BC60, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE2.AC的长为（ ） A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空题9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB2，点E在BC上，且AECE若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC 10. 在同一直角坐标系中，A（1，8）与B（5，3）关于轴对称，则_，_.11如图所示，ABC中，已知B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，线段DE_12. （2016春淄博期中）如图，BAC=30，AM是BAC的平分线，过M作MEBA交AC于E，作MDBA，垂足为D，ME=10cm，则MD= 13

20、如图所示，在ABC中，ABAC，点O在ABC内，且OBCOCA，BOC110，求A的度数为_14. 如图，在四边形ABCD中，A90，AD4，连接BD，BDCD，ADBC.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .15.（徐州模拟）如图，ABC的面积为4cm2，BP平分ABC，且APBP于P，则PBC的面积为 cm216. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等若AB1，BCCD3，DE2，则这个六边形的周长等于_。三.解答题17如图所示，ABC中，D，E在BC上，且DEEC，过D作DFBA，交AE于点F，DFAC，求证AE平分BAC18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB2，点P是AB

21、边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PEBC，垂足为E，过E作EFAC，垂足为F，过F作FQAQ，垂足为Q，设BP，AQ （1）写出与之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？19（清河区三模）阅读理解：如图1，在ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是ABC的边AB上的和谐点解决问题：（1）如图2，ABC中，ACB=90，试找出边AB上的和谐点P，并说明理由（2）已知A=40，ABC的顶点B在射线l上（图3），点P是边AB上的和谐点，请在图3中画出所有符合条件的B点，并写出相应的B

22、的度数20已知，BAC90，ABAC，D为AC边上的中点，ANBD于M，交BC于N.求证：ADBCDN【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】作出对称轴，将图形还原即可.2. 【答案】C； 【解析】由题意，ABEDBEDBFFBC，所以EBFABC45，故选C3. 【答案】B；【解析】关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；两个能重合的图形一定关于某条直线对称，错误；一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧，错误；角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等，错误； 综上所述，正确的只有共2个.4. 【答案】B；5. 【答案】B；【解析】点B

23、的纵坐标和点A一样，（横坐标4）23，解得横坐标为10.6. 【答案】B；【解析】解：过P作PFBC交AC于FPFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=故选：B7. 【答案】C； 【解析】ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 【答案】B； 【解析】连接AD，易证三角形ABD为等边三角形，CEDE1，AEDE2，所以ACAECE213.二.填

24、空题9. 【答案】4；【解析】因为AECE，90，所以为AC的中点.AC2AB4.10.【答案】； 【解析】由题意15，38，解得.11【答案】9；【解析】因为DEBC， 所以DFBFBC，EFCFCB， 因为FBCFBD，FCBFCE， 所以FBDDFB，FCEEFC， 所以BDDF，CEEF， 所以BDCEDFFEDE，所以DEBDCE912.【答案】5cm；【解析】过M作MFAC于F，AM是BAC的角平分线，MD=MF，BAM=CAM，MEBA，AME=BAM，CAM=AME=BAC=30=15，CEM是AME的外角，CEM=CAM+AME=15+15=30，在RtMEF中，FEM=30，MF=ME=10=5cm，MD=MF=5cm13【答案】40；【解析】ABAC，所以ABCACB， 又OBCOCA， ABCACB2（OBCOCB）， BOC110，OBCOCB70， ABCACB140， A18