伯努利方程推导解析

1、第三章流体动力学基础流体流动的描述、分类流体流动的连续性方程3理想流体运动的微分方程理想流体沿流线的伯努例方程5理想流体沿流线的伯努例方程16粘性流体的运动微分方程 TOC o 1-5 h z 宗蕉,1p dx di HYPERLINK l bookmark4 o Current Document Y亚=也p dydtp dzdt说明：对不可压缩的和可压缩的理想流体均适用.一般地，质量力是已知的，式中共有未知数五个：p， P， 匕， 勺 匕以上三个方程式，若加上连续性方程及状态方程就构成 问题的完备方程组，再根据具体问题的初始和边界条件, 就从理论上提供了求解这五个未知数的可能性.3.4理想流

2、体沿流线的伯努利方程以水头线意义：反映了在重力作用下的理想不可压缩流体稳定流 动中，沿同一流域上，单位重量流体具有的位能、压能 和动能的相互转换和守恒关系.在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不 鲜见，然而，伯努利家族3代人中产生了 10 多位数学家、科学家，出类拔萃的至少有3位。一、公式推导对于欧拉方程，考虑以下特殊条件：1 .理想流体；2.稳定流动；3.不可压缩流体；4.质量力只有重力；5.质点沿一条特定流线运动。v I dp d dvX =p dx dt5vr dvxdvx+ 匕-+ vv - +v.-x dx dy，dz稳定流动dv 二 0 dtw i dp加.ddp dxdxdydz

3、两边乘以dxXdx- - dxpdx. dvx .i -dx + v. -axy dy 、dz沿流线移动，流线微分方程式 dx dv dz / -=一vdv = vdx.vv dz =匕小.匚小=vdz耳，VVXs 1 dp J .d .执：,d .、 Xdx-小=匕(dx d + dz) p dx dx dy , Szv*=vxd =d(随)类似的，Zdz.vv- 2 ,上 2z(y= - 6 公 前亚& TOC o 1-5 h z Xdx- - -dx =(/() p ex21 dpv；Jv = J() pdy2I av2三式相加，一 万和”岭)(v2=v；+v；+vp(Xdx + Ydy

4、- Zdz) 一)(Zv +(Jv 4-t/z) = dC ) p 8x dy dz 2稳定流下：dp = Ax +里d、T里也 dx dy dz质量力只有重力：x = y = o, Z=-g不可压缩流：p = constp v2七位一心=或)P 2 家任氏/-gdz-d(E)= d(5)P 2积分：(-g成-广d(4=d(=)J巧JPi p 八 2有 L = Za + 以+%J-y 2g y 2gv( 0，EA点和2点处应用连续性方程三4八rh J = 4,/j = Vj,因为出口管嘏而上速度均匀分布，故，=%.木京, .16Z|州Tao区一-一）+以_-储 J）+ - 7_Y7 2g2PL

5、亿-WR-打2g11 72= H）981O+LOlxlO5x981O 2x9.81= 23lxlO3/V/w2 （小于大气压）1718二，伯努利方程的应用一毕托管用途：测量流场内某点流速的仪器.依据：沿流线的伯努利方程.原型：直角管两端开口，一端面向来流，另一端向上，管内液面高出水面所A端形成一驻点（速度为0）,驻点处的压力称为总压力.B点在A点的上游，与A点位于同一水平流线，不受侧管影响.；：，,.！；、应用伯努利方程于A、B两点:0+包+2 = 0+区7 2g /式中p为一总压，Pa = K%+H）因为：Pa=7（Ho + H）Ps一将压，PB =2至7动压，N/2g（由运动产生的压力）1

6、9Pb =阳）例题:一毕托管安装在某烟道内， 与毕托管连接的酒精压差计读数 为h=5mm,酒精的相对密度为 d=0.8,若烟气温度400 c时其重=5.13N/m3,求测点处烟气=I2.3m/s213.5粘性流体的运动微分方程（实际流体运动的微分方程;NS方程）理想流体的伯努利 方程粘性流体的伯努 利方程基于牛顿第二 定律推导了理 想流体运动的 微分方程一 欧拉方程S曳勿& I- P 17 1- P _ - - X y ZdtP:dtX、Y、乙单位质量流体所受的质 量力在坐标轴方向上的三个分量。小MK应用广泛.但不能解决诸如二维 流动、三维流动的问题.故还需要用粘性流体运动的微分方程22理想流

7、体运动的微分方程一欧拉方程实际流体的流动也力力力小丁 = = = 型&曳分切az 1 - p 1 - p I P _ - - X y Z增加一个粘性项 TOC o 1-5 h z T、，、7：是作用在单位质量流体上 J4的粘性力在x、丫、z轴上的投影。N/kg下面来求三个坐标轴上粘性力的投影.东京,23牛顿内摩擦定律（又称牛顿粘性定律）：y流体流动时流体的内摩擦力（又称粘性力） ，AT = rA NB CA：流体层接触面的面积，m2。r:内摩擦应力或粘性应力,N/m2（由速度梯度产生，作用F流体接触面上,方向在X轴Eo）沿X轴方向的粘性力由在在三个方向上的 速度梯度产生。x轴方向上的粘性力（由

8、vx产生）：AC面上的粘性应力：口=去EG面上的粘性应力：“s=（y + Uv）C/X CAVv相对的两表面上产生的粘性应力方向相反,G J与k八方向相反所以，I在AC和EG两个面上产生的粘性应力之和为d2vx ,粘性力为：1 dxdvdz产 dx2 J25Vv在AC和EG两个面上产生的粘性力之和为dx2同理，在BE和CH二面上产生的粘性应力之和为力粘性力为：8%t- dxdydz口、.在DE和CF两个面上产生的粘性力在*做上之和为Li dxdvdz次*沿X轴方向的粘性力（由匕产生） 三式相加，得微元体六个面上的粘性力微轴上的投影:匕 a讪 ju -十 dxaydz + u 千 dxavdz + dx2 dy2 .pdxdyd卜式，得单位质量流体在斓h方向上的粘性力用相同的方法可以