构造法在中学数学中的应用

1、PAGE 构造法在中学数学中的应用论文摘要： 现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。关键词：构造法；构造；几何变换现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中

2、的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨,通过示例，不断加深对构造法的理解。1 构造法的应用用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬

3、套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造对象的不同将构造方法分成五类分别予以举例说明。1.1 构造辅助数与式在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。例1 当时，求的值. 解：由条件得 所以 构造的因式 y= =1例2 正数满足，求证：分析：条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当时成立。于是考虑构造均值不等式。 解：由均值不等式得： （1） （2） 由（1）+（2）变形整理得：

4、1.2 构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。例3 证明：如果，那么证明：构造函数 易证在R上是奇函数且单调递增 + =lg1 = 0 即： 又是增函数 即例4 求函数的最大值分析：由根号下的式子看出且 故可联想到三角函数关系式并构造 所以 当即时，1.3 构造方程方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中

5、的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一。如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法。构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：A . 将所面临的问题转化为方程问题；B. 解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；C. 将方程的相应结论再返回为原问题的结论。例5 设且, , 求的范围解：由得 (1) 将(1)的两边平方并将代入得 (2) 由(1)(2)可知，是方程的两个不等的实根 于是 解得: 即: 对于较复杂的问题，就需根据条件进行框架的设计。

6、为了运用判别式证明不等式，就需构思一个“一元二次方程” 框架。例6 已知，求证：分析：设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的面目出现，再由得到不等式. 设， 易证，再求得则就是方程的两个实根,由2.4 构造数列在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。例7 已知数列, , 求.分析：我们希望化为 即 -2A+B=1 解：由已知 设则 即是公比为2的等比数列且 则 对于

7、某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决例8 求证：(其中nN+)分析：构造数列模型=，则有，所以数列为递增数列又因，故 (其中n N+)，即原不等式得证评注 欲证含有与自然数n有关的和的不等式f(n)g(n)，可以构造数列模型，只需证明数列是单调递增，且另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁2.5 构造几何图形（体）如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结

8、论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。例9 求函数的值域解析：其几何意义是平面内动点P（，0）到两定点M（2，3）和 N（5，-1）的距离之和（如图1）为求其值域只要求其最值即可， 易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时， 取得最小值， ，无最大值，故得函数的值域为 例10 求函数的最值分析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P与定点Q(3，0)连线的斜率，为此构造一个单位圆。探究单位圆上动点P与定点Q(3，0)直线的斜率问题。如图2，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为

9、最大最小，设切点分别为R、M，易知： 即：最小值为，最大值为.综上可知，构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其它方法来解，应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性的构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。参考文献：1.李明振 .数学方法与解题研究（第二版）M.上