浙江省绍兴市一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷(a卷)解析卷

1、a卷)浙江省绍兴市一级达标学校五校联考2018-2019 学年高二下学期期中数学试卷（解析卷注意事项:.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。.选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。、选择题1.曲线i在x=1处切线的倾斜角为（A.1 B.2.已知复数C.4 2+i D.4（i为虚数单位），那么z的共轲复数为（A.C.

2、二二D.3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为b, c,当且仅当ab, bvc时称为“凹数”（如213),若a,c 1 , 2, 3, 4,且 a, bc互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（)个.A.6 B.7 C. 8 D. 94.书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出 2本，取出的书恰好都是语文书的概率为（A.B.C.3D.45.5的展开式中,x4y* * 3的系数为（A.B. 9C. 10D. 126.J (xe R) ,贝U -号斗值为()7.A.144 种B. 288 种C. 360种D. 720 种8.定义方程f （x） =f（x）的实数根xo叫做函数的“新

3、驻点”，若函数 g （x） =x, h （x） =ln （x+1）,t (x) =x3-1的“新驻点”分别为a, b, c,则a, b, c的大小关系为（A. abcB. ca b C. acb D. bac TOC o 1-5 h z 9.设函数 f(0)x=sinx ,定义 f(1 x=, f(2) (x)=函，f(n) (x)=函，贝U f (150) +f(2) (150) +f (150) +f(2。17)(15。)的值是()ABC. 0D. 144.设曲线y=xn+1 (nCN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 xn,则log 2017x1+log 2017x2+log

4、 2017x2016的值为()A. 一 log 20172016 B. 1C. log 20172016 - 1 D. 1已知 H 可工二30 + 占 (k T)+a J jc T - + 配，贝 U & -2a2+3*4+ 2016a2016+2017a2017 ( )A. 2017 B . 4034 C. - 4034D. 0. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？()A. 1094 B. 966 C. 5796 D . 6561二、填空题.与直线2x-6y+1=0垂直，且与曲线f (x) =x3+3x2-1相切的直线方程是 .若函数f (x) = (x2+m% ex的

5、单调减区间是1；,则实数m的值为.二项式祢)”的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项为-160,则a=.若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线 y=ex+1的切线，则b=.若复数 Z1, Z2满足忆产2 , |z 2|=3 , 3z1 222=有7，则 Z1?Z2=.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的 4点，不同的取法共有 种.三、解答题(19题10分，20题，21题各12分，22题16分). 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：(1)甲、乙两人相邻；(2)甲、乙之间隔着 2人；(3)若7人顺序不变，再加入 3个人，要求保持原先 7人顺序不变；(

6、4)甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底(3人身高不同)的站法；(5)若甲、乙两人去坐标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.设f (n) = (a+b) n (nC N, n2),若f (n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n)具有性质P.(1)求证：f (7)具有性质P;(2)若存在nW 2016,使f (n)具有性质P,求n的最大值.若不等式 _LJ41卫对一切正整数 n都成立，附 i * 23n+l 24(1)猜想正整数a的最大值，(2)并用数学归纳法证明你的猜想.已知函数 f (x) =Jx2, g (x)

7、=alnx .(1)若曲线y=f (x) - g (x)在x=1处的切线的方程为 6x - 2y - 5=0,求实数a的值；h(x)-h(x )(2)设h (x) =f (x) +g (x),若对任意两个不等的正数xi, X2,都有2_!2恒成立，求实数 a的取值范围；(3)若在上存在一点 x0,使得f ( x0)+干Wb,bvc时称为“凹数”（如213）,若a, b, cC1 , 2, 3, 4,且a, b, c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个.A. 6 B. 7C. 8D. 9【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分 2步进行分析：、在 1, 2, 3, 4中任选

8、3个，彳乍为a, b, c,、结合“凹数”的定义，将取出的3个数中最小的作为 b,剩余2个数全排列，作为 a、c；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分 2步进行分析：、在1, 2, 3, 4中任选3个，作为a, b, c,有C3=4种情况，、由于“凹数”要求 ab, bbc B. ca b C. acb D. bac【考点】54:根的存在性及根的个数判断；51:函数的零点.【分析】通过构造函数 F (x) =f (x) - f (x) , f (x)的“新驻点”就是函数 F (x)的零点，再依次确定 a, b, c 的范围得答案.【解答】解：对于g (

9、x)=x,构造F (x)=g(x)- g(x)=x - 1 ,依题意，函数F(x)的零点就是函数g (x)的“新驻点“，得a=1;对于 h (x) =ln (x+1),构造 G (x) =h (x) - h (x) =ln (x+1)-,/IG (x)单调递增，且 G (0) =- 10,G (x)的零点 bC (0, 1);对于 t (x) =x3- 1,构造 H (x) =t (x) - t(x)=x3 - 3x2- 1 ,H (x) =3x2 - 6x=3x (x 2),当 xC ( -oo,0)U (2, +8)上，H( x) 0;当 x C (0, 2)上，H (x) V0.1 HI

10、 (x)的增区间为(-00,0), (2, +8)；减区间为(0, 2). HI (0) =- 10,HI (x)的零点 c ( 3, 4).综上可得，cab,故选：B.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题.9.设函数 f()x=sinx,定义 f x=f , f(2)(x) =f,，f(n)(x) =f,贝Uf (15)+f (2)(15)+f (15)+f (2017) ( 150)的值是()C. 0D. 1【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可.【解答】解： f0 x=sinx ,贝U f1 x=cosx

11、, f (x) = - sinx, f (3)(x)= - cosx ,f x=sinx ,贝Uf x=f (x),即 f (n+4) (x)=f (x),则f(x)是周期为4的周期函数，贝U f (x) +f (x) +f (x) +f (x) =sinx+cosx sinx - cosx=0 , TOC o 1-5 h z 贝U f (150)+f (150)+f (150)+ +f (150)=f (150)(150)=cos15。=cos (450-300)=cos45 cos30 +sin45 sin30 +=-22224故选：A.【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件得到函

12、数的导数具备周期性是解决本题的关键.10.设曲线y=xn+1 (nCN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log 2017X1+log 2017x2+log 2017x2016的值为()A. - log 20172016B. - 1C. log 20172016 - 1 D. 1【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程；4H:对数的运算性质.【分析】求出函数 y=xn+1 (n N)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得在(1,1)处的切线方程，取 y=0求得xn,然后利用对数的运算性质得答案.【解答】解：由 y=xn+1,得 y = ( n+1) xn,，y | x=

13、1=n+1,曲线 y=xn+1 ( nC N*)在(1, 1)处的切线方程为 y - 1= ( n+1) ( x T),取 y=0,得 xn=1 - X1X2 X 2016= 9=nEl n+1X 2 x x 2OI632017(XiXz X2016)则 log 2017X1 + log 2017X2+ , + log 2017X2016=log 2017= log 2017故选：B.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，是 中档题.2016，f ( x) =ai+2a2(xT) +3a3(xT) 2+2017a20i7 (x T)

14、 f (0) =ai - 2a2+3a3+ - +2017a20i7=- 4034.故选C.【点评】本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？()A. 1094 B. 966 C. 5796 D. 6561【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【分析】根据空盒的多少分三类，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类：有2和空盒子，即把 8个不同的球放在同一个盒子里，故有 1种，第二类，有1个空盒子，8个球可以分为(1,7),(2,6),( 3,5), (4,4)故有G+g=Q3+=G4=127

15、种，士第三类，没有空盒子，8 个球可以分(1,1,6), (1,2,5),( 1,3,4), ( 2, 2,4), ( 2, 3, 3)故有 C81C71+C81C72+C81C73+ C82C62+ &b3=966 种，222根据分类计数原理可得共有1+127+966=1094,故选：A.【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题二、填空题.与直线2x-6y+1=0垂直，且与曲线 f (x) =x3+3x2-1相切的直线方程是3x+y+2=0 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设所求的直线方程为y=-3x+m,切点为(n, n3+3n2-1),根据函数在切点

16、处的导数即为切线的斜率，求出 n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程.【解答】解：设所求的直线方程为y=-3x+m,切点为(n, n3+3n2T)则由题意可得 3n2+6n=-3,n=T,故切点为(-1, 1),代入切线方程 y= - 3x+m可得m=- 2,故设所求的直线方程为 3x+y+2=0 .故答案为：3x+y+2=0 .【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于-1,函数在某点的导数的几何意义，求出切点的坐标是解题的关键.若函数f (x) = (x2+m% ex的单调减区间是1J,则实数m的值为 :.2r【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数 f

17、 (x)的导数，得至U - 岂,1是方程x2+ (m+2) x+m=0的根，根据韦达定理求出m的值即可.2【解答】解：:函数 f (x) = (x2+mX)ex,，f ( x) =ex,由题意得：3,1是方程x2+ (m+2)x+m=0的根，多1 二-Gtr+2“，解得：m=-W ,2故答案为：-二.2【点评】本题考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题.二项式i：2/)”的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项为-160,则2= 1 .【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】由题意可得：2n=64,解得n=6.再利用二项式定理的通项公式即可得出.【解答】解：由题意可得：2n

18、=64,解得n=6.Tr+1=26r (-a) rGrx3r,令 3 - r=0 ,解得 r=3 .23 (- a) 3C63=- 160,化为：(-a) = - 1,解得a=1.故答案为：1.【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线 y=ex+1的切线，则b= 4-2ln2 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】 设直线y=kx+b 与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和(X-, 已叼*),分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到

19、b的值.【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为工/，2)和尸。1 x+ r 142rl e LK史记X-,+1 叼尸e x+ e x依题意有:所以 故答案为：4-2ln2.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.17.若复数Z1, Z2满足忆=2 , |z 21=3 , 3z1 2z2= 1,则 Zl?Z2=代入即可.=9 ,将其代入 3zi【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】由|z 11=2，忆2|=3 ,可得工勺二-2z2进行整理化简出Z1Z2,再将3zi - 2z

20、2=3zi6(3勺-2工2)6(3Z-2z2)30故答案为【点评】本题考查了共轲复数的性质，Id2本题也可设三角形式进行运算,计算过程有一定的技巧.18.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有141种.【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【分析】由题意知从 10个点中任取4个点有Ci04种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果.【解答】解：从10个点中任取4个点有G04种取法, 其中4点共面的情况有三类.第一类，取出的4个点

21、位于四面体的同一个面上，有4c64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这 4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有 Go4 - 4C64- 6-3=141种.故答案为141 .【点评】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做 到不重不漏.三、解答题（19题10分，20题，21题各12分，22题16分）（2017春?诸暨市校级期中）7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔

22、着 2人；（3）若7人顺序不变，再加入 3个人，要求保持原先 7人顺序不变；（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，（2）（捆绑法），先从 5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人,（4）（分步计数法），从 7人中任取3人，如a, b,

23、c,则改变原位置站法有 2种，b, c, a和c, a, b,（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，（6）（固定模型法），先排列甲的情况.【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有,&1=1科0种，（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有庆京京卜6Q种，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人,故有种，（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a,b, c,则改变原位置站法有 2种，b, c,a和c, a,b,固有;2=2种,(5)(定序法)，先

24、全排列，再除以顺序数，故有-=840种,(6)(固定模型法)，甲、乙两人坐法有(2, 4)(2, 5)(2, 6)(3,5)(3,6)(4,6)6 种，故有 6X =种【点评】本题考查了排列的组合的问题，掌握常用的方法是关键，属于中档题(2016?W京三模)设f (n) = (a+b) n (nCN*, n2),若f (n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f (n)具有性质P.(1)求证：f (7)具有性质P;(2)若存在nW 2016,使f (n)具有性质P,求n的最大值.【考点】DC二项式定理的应用.【分析】(1)利用二项式定理计算可知f (7)的展开式中第二

25、、三、四项的二项式系数分别为7、21、35,通过验证即得结论；(2)通过假设 需一1 +C?4=2C ,化简、变形可知(2k-n) 2=n+2,问题转化为求当nW2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论.【解答】(1)证明：f (7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为c1 +C： =2若 ，即C；、C； 成等差数列，.f (7)具有性质P；(2)解：设f (n)具有性质P,则存在kN, 1kn-1,使C* 、C+ 、C+1成等差数列，所以优T+C* =2片，整理得：4k2 4nk+ (n2n 2) =0,即(2kn) 2=n+2,所以n+2为完全平方数，又 nW 201

26、6,由于 442V 2016+2 V452,所以n的最大值为 442 - 2=1934,此时k=989或945.【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.( 2017春?诸暨市校级期中)若不等式一1+十一-岛对一切正整数 nn+1 n+2 3n+l 24都成立，(1)猜想正整数a的最大值，(2)并用数学归纳法证明你的猜想.【考点】RG数学归纳法；F1:归纳推理.【分析】（1）首先求出n=1时，一个不等式猜想 a的最大值.（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过 n=1,假设n=k时猜想成立，证明 n=k+1时猜想也成立，即可证明结果.【解答】解：

27、（1）当n=1时,1+1 1+2 3+124即翁温所以a 2恒成立,求实数a的取值范围;（3）若在上存在一点xo,使得（xo）+7-Vg（x（o） - g（ x（o）成立，求实数a的取值范围.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程；6K:导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可;（2）由题意可得即为0,令 m (x)=h (x) - 2x,可得 m (x)在(0,+8）递增，求出导数，令导数大于等于0,分离参数a,由二次函数的最值，即可得到a的范围; TOC o 1-5 h z (3)原不等式等价于 X0+val

28、nx0-,整理得 xo- alnx 0+ L2e - 1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是(-8, -2)U (且, +8).【解答】解：(1) y=f (x) - g (x) = x2- alnx 的导数为 x- -5 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 2x曲线y=f (x) - g (x)在x=1处的切线斜率为 k=1 - a,由切线的方程为 6x - 2y - 5=0,可得1 - a=3,解得a= - 2;(2) h (x) =f (x) +g (x) = x2+alnx ,对任意两个不等