高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值练习

1、 高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值练习三分层训练 /荆疑纠偏，训薛检测、基础达标函数y=f(x)在a, b上极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y=f(x)在a, b上的最大值一定大于极小值.2.函数y= xe x, xC 0,4的最大值是B.C.4-4 eD.2-2 e答案解析e x(1 x),令 y = 0, x= 1,f(0)=0, f(4)凸 f(1)e1f (1)为最大值，故选B. e3.“uIn函数y= xx一的最大值为A. eD.10万答案解析Inx- ln x x1 Inx-=0

2、.( x 0)解得 x=e.当 xe 时，v 0;当 0vx 0.y极大值= f(e) =1,在定义域(0, 十)内只有一个极值, e所以 ymax= e.4.4x 函数丫:为在定义域内A.有最大值2,无最小值C.有最大值2,最小值2B.无最大值，有最小值- 2D.无最值答案 C解析令y4 x2 + 1 4x 2 xx2+ 1 2/ 2,4x4x2+120,得*=1.当x变化时，y , y随x的变化如下表:x(8, 1)-1(-1,1)1(1 , +)y，一0十0一y极小值极大值由上表可知x = 1时，y取极小值也是最小值 2；x=1时，y取极大值也是最大值5.已知函数f(x) = ex-2x

3、+a有零点，则a的取值范围是 .答案(一8, 21n 2 -22.解析 函数f (x) = ex 2x+a有零点，即方程 ex2x+a= 0有实根，即函数 g(x)=2x ex, y=a 有交点，而 g (x)=2 ex,易知函数 g(x) = 2xex在 (8, In 2)上递增，在(In 2 ,十)上递减，因而 g(x) = 2x ex的值域为 (8, 21n 2 2,所以要使函数 g(x) = 2xex, y=a有交点，只需 aw 21n 2-2 即可.兀.函数y=x+2cos x在区间0, 2上的最大值是 解析y, =1 2sin x=, x=,比较0,右,去处的函数值,得?乖.已知函

4、数f(x) =2x3 6x2+a在2,2上有最小值一37,求a的值及f(x)在 -2,2上的最大值.2解 f (x)=6x12x= 6x( x-2),令 f (x) = 0,得 x=0 或 x = 2,当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：x-2(-2,0)0(0,2)2f (x)十0一0f(x)40+ a极大值a8+ a当 x=- 2 时，f(x)min = 40 + a= 37,得 a=3.当x=0时，f(x)的最大值为3.二、能力提升8.设直线x=tf(x) = x2, g(x)=ln x的图象分别交于点M N,则当| MN达到最小时t的值为A. 1B.12 C.答案解析由

5、题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN = y = t一 lnt(t0).12t21 2t+ =2t =t tt0,y 0,可知y在 +oo上单调递增.故当t =,| MN有最小值.9. (2014 湖北重点中学检测)已知函数f(x) =x3-tx2 + 3x,若对于任意的ae 1,2be(2,3,函数f (x)在区间a,b上单调递减，则实数 t的取值范围是A.(巴 3 B . ( 8,5 C . 3 , +8) D , 5 , +oo)答案解析/ f (x) =x3-tx 2 + 3x递减,则有f (x)wo在a，f (x) = 3x22tx + 3,由于函数 f (x)在(a, b)

6、上单调b上恒成立，即不等式 3x2-2tx +33x+l在a, b上恒成立，而函数 y= 3 x+-在1,3上单 2 x2 x调递增，由于aC1,2 , bC(2,3,当b=3时，函数y=3x+1取得最大值,2 x即ymax= - 3+鼻=5,所以t5,故选D. 2310.如果函数f(x) =x3-3x2+a在1,1上的最大值是2,那么f(x)在1,1上的最小值1答案 2解析 f (x)=3x23x,令 f 0)=0得*=0,或 x=1.f(0) =a, f(-1) = -5+a, f(1) =-12+a, f ( X)max= a= 2.51- f (x) min = 2+a= 2.11.已

7、知函数 f (x) =x3 ax2+bx+c( a, b, cCR).(1)若函数f(x)在x= 1和x= 3处取得极值，试求a, b的值；(2)在 的条件下，当x -2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围.解(1) f (x) =3x2-2ax+b,:函数f (x)在x= 1和x= 3处取得极值，.1,3 是方程 3x22ax+b= 0 的两根.2-1+ 3 = -aa= 3b= - 93b-1X3=-3(2)由(1)知 f (x) =x3 3x29x+c,f ( x) = 3x2 6x 9,令 f ( x) = 0,得 x= 1 或 x= 3.当x变化时，f (x), f(x)随

8、x的变化如下表：x(8, 1)1(-1,3)3(3 , +8)f (x)十0一0十f(x)尸极大值c+ 5极小值c27了而 f( 2) = c2, f(6) =c+54,当xC2,6时，f(x)的最大值为c+54,要使f (x) 0 时，c+542c,c54;当 c0 时，c+54- 2c, . .cv 18.，cC(8, 18)U(54, +8),此即为参数 c的取值范围.12.已知函数 f (x) = - x3+ 3x2+ 9x+ a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f (x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解(1)f (x) =- 3x2+6x + 9.令

9、f (x)3,，函数f(x)的单调递减区间为(8, 1),(3, +8).2) =8+1218+a=2+ a,f(2) =- 8+ 12+ 18+a=22 + a, f (2) f ( -2).于是有 22+a=20,a=- 2. - f (x) = x + 3x + 9x 2.在(一1,3)上f (x)0,，f(x)在1,2上单调递增.又由于 f (x)在 2，1 上单调递减， .f (2)和f( 1)分别是f (x)在区间2,2上的最大值和最小值，.f ( -1) =1 + 3-9-2 = - 7,即 f (x)最小值为一7.三、探究与创新13. (2013 新课标 I )已知函数 f(x

10、)=x2+ax+ b, g(x) = ex( cx + d),若曲线 y=f(x)和曲 线y = g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线 y=4x+2.求 a， b， c， d 的值；(2)若x2时，f (x) w kg(x),求k的取值范围.解 (1)由已知得 f (0) =2, g(0) =2, f (0) = 4,g (0) = 4,而 f (x) = 2x + a, g ( x) = ex( cx + d+ c), . . a= 4, b= 2, c=2, d= 2.(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2, g(x) =2ex(x+1),设函数 F(x) = kg(x)

11、 f (x) =2kex(x+ 1) -x2- 4x-2(x - 2),F (x) =2kex(x+2) -2x-4= 2(x+2)( kex-1).有题设可得F(0) 0,即k1,令 F (x) = 0 得，Xi = ln k, x2= 2,若 1wkv e2,则一2VX1W0, .当 xC(2, Xi)时，F(x)0,即F(x)在(一2,Xi)单调递减，在(Xi, +8)单调递增，故 F(x)在x=Xi取最小值F(Xi),而F( Xi) = 2X1 + 2 Xi 4X1 2= Xi( Xi + 2) A 0.当 R2 时，F(x) 0,即 f(x)w kg(x)恒成立.若 k=e2,则 F (x) = 2e2(x+2)(e x