人教版八年级数学上册01《与三角形有关的线段》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案)

1、PAGE 与三角形有关的线段（基础）知识讲解 【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 要点诠释：（1）三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）

2、三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2三角形的分类(1)按角分类：要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一

3、边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高三角形的高的数学语言

4、：如下图，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC边上的高，或ADBC于D，或ADBADC90.注意：AD是ABC的高ADBADC90(或ADBC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：()锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；()钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；()直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ABC的中线或AD是ABC的BC边上的中线或BDCDBC

5、.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.注意：AD是ABC的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这

6、一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应

7、用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1如图所示 (1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE是哪些三角形的边? (3)B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是B一定是以B为一个顶点组成的三角形中【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是ABD，ABE，A

8、BC，ADE，ADC，AEC (2)线段AE分别为ABE，ADE，ACE的边 (3)B分别为ABD，ABE，ABC的角【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏举一反三：【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形【答案】3个,分别是EAB, BAC, CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形必须满足任意两边之和大于第三边在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边故不能组成三角形D选项中，2cm+3cm4cm故能够组成三

9、角形【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：判断出较长的一边；看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_.【答案】【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是2-7c2+7,即5c9【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是a-bca+b.举一反三：【变

10、式】（2015春盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O求证：AC+BD（AB+BC+CD+DA）【答案】证明：在OAB中OA+OBAB在OAD中有OA+ODAD，在ODC中有OD+OCCD，在OBC中有OB+OCBC，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2（AC+BD）AB+BC+CD+DA，即AC+BD（AB+BC+CD+DA）类型三、三角形中重要线段4. （2016春江阴市月考）如图，ADBC于点D，GCBC于点C，CFAB于点F，下列关于高的说法中错误的是（）AABC中，AD是BC边上的高 BGBC中，CF是BG边上的高CABC中，GC

11、是BC边上的高 DGBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解【答案与解析】解：A、ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误故选C【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键举一反三：【变式】（2015长沙）如图，过ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是

12、（）ABCD【答案】A5.如图所示，CD为ABC的AB边上的中线，BCD的周长比ACD的周长大3cm，BC8cm，求边AC的长【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：ADBD，BCD的周长比ACD的周长大3【答案与解析】 解：依题意：BCD的周长比ACD的周长大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3 又 CD为ABC的AB边上的中线， ADBD，即BC-AC3又 BC8， AC5 答：AC的长为5cm【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段ADBD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法 举一反

13、三：【变式】如图所示，在ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为_【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】 解：三角形的稳定性【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1（2016西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A3cm ，4cm，8cm B8cm，7cm，15cm C5cm ，6cm，11cm D1

14、3cm ，12cm，20cm2如图所示的图形中，三角形的个数共有( ). A1个 B2个 C3个 D4个 3（2015春常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A6B7C8D94为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA16m，PB12m，那么AB间的距离不可能是( ). A5m B15m C20m D28m5三角形的角平分线、中线和高都是( ). A直线 B线段 C射线 D以上答案都不对6下列说法不正确的是( ). A三角形的中线在三角形的内部 B三角形的角平分线在三角形的内部 C三角形的高在三角形的内部 D三角形

15、必有一高线在三角形的内部7如图，AM是ABC的中线，那么若用S1表示ABM的面积，用S2表示ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ). AS1S2 BS1S2 CS1S2 D以上三种情况都有可能8如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ). A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短二、填空题9（2016金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有_性10如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为_11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为_12.

16、如图，AD是ABC的角平分线，则_；BE是ABC的中线，则_ ；CF是ABC的高，则_90，CF_AB13. 如图，AD、AE分别是ABC的高和中线，已知AD5cm，CE6cm，则ABE和ABC的面积分别为_14. （2015春焦作校级期中）AD是ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_.三、解答题15判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm，5cm，a cm(0a10)； (2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:516如图，在ABC中，BADCAD，AECE，AGBC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分

17、线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17. （春苏州期末）如图，已知ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，ABD周长为15cm，求AC长18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：ABC, ACD, ABD.3. 【答案】B； 【解析】解：由题意，令第三边为x，则54x5+4，即1x9，第三边长为奇数，第三边长是3或5或7三角形的第三边长可以为7故选B4. 【答案】D； 【解析】因为第三边满足：|另两边之差|第三边另两边之和

18、， 故|6-12AB16+12 即4AB28故选D5. 【答案】B.6. 【答案】C； 【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C； 【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm； 【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm； 【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC .13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】SABESACE15 cm2，SABC2 SABE30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CEBD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD，CE=AB在ACE中，CEACAECE+AC，即12AD7，AD故答案为：AD三、解答题15.【解析】解：(1)5+510a(0a10)，且5+a5，所以能围成三角形； (2)当-1a0时，因为a+1+a+22a+3a+3，所以此时不能围成三角形，当a0时，因为a+1+a+22a+33，而a+33，所以a+1+a+2a