数学思维导图

1、 勾股定理一、思维导图二、易错题1、满足a+b=c的三个正整数，称为，比如：5,12, 。解：勾股数；5+12=132、在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长是。解：应分两种情况说明：（1）当ABC为HYPERLINK /search?word=%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&fr=qb_search_exp&ie=utf8 t _blank 锐角三角形时，在RtABD中，BD= （AB-AD）= （15-12）=9，在RtACD中，CD=（ AC-AD）= （13-12）=5，BC=5+9=14ABC的周长

2、为：15+13+14=42；（2）当ABC为HYPERLINK /search?word=%E9%92%9D%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&fr=qb_search_exp&ie=utf8 t _blank 钝角三角形时，高AD交BC延长线于D在RtABD中，BD= （AB-AD）= （15-12）=9在RtACD中，CD= （AC-AD）= （13-12）=5BC=9-5=4 ABC的周长为：15+13+4=32综上，当ABC为HYPERLINK /search?word=%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5

3、%BD%A2&fr=qb_search_exp&ie=utf8 t _blank 锐角三角形时，ABC的周长为42；当ABC为HYPERLINK /search?word=%E9%92%9D%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&fr=qb_search_exp&ie=utf8 t _blank 钝角三角形时，ABC的周长为323、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高108cm，底面周长为36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈，最少需要彩纸多长？那么绕n圈呢？解：（1）缠绕灯罩4圈，且高108cm 一圈高：1084=27cm一圈彩带长

4、：27+36=45cm 四圈彩带总长：454=180cm（2）绕n圈，且高108cm 一圈高：108n（cm）一圈彩带长：（108n）+36 彩带总长：n（108n）+36=36n+94、在正方形ABCD中，E是BC中点，F为CD上一点，且DF=3CF，判断AE和EF的位置关系。证：连AF。设DF=3x，CF=xAD=AB=DC=BC=x+3x=4x BE=EC=2x B=C=D=90AE= （2x）2+（4x）2=20 x EF=x+（2x）=5xAF=（3x）+（4x）=25 AE+ EF= AF AEEF5、如图，在ABC中，B=90，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P，使

5、P到各边距离相等。与AC，CB，AB的交点为G，F，E。则这个距离为。解：B=90AC=AB+BC=7+24=25 连CP，PA，BP，设GA=x，则EA=xBE=7-x=EB，CF=CG=17+x 17+x+x=25 x=4 这个距离为7-4=36、在ABC中，B=22.5，C=60，AB的垂直平分线交BC于D，BD=72，AEBC于E，求EC。解：AB的中垂线为FDB=22.5=BAD，ADC=45，DE=EABD=AD=72，AEDC，AE+DE=72AE=DE=36 C=60，EAC=30设EC=x，则AC=(2EC) =4xX+36=4x X=12 EC=127、正方形ABCD的边长

6、为8，M在AB上，BM=2，对角线AC上有一动点P，求PM+PB的最小值。解：连接MD。做M关于AC的对称点E交AD于E。MB=2 ED=2最小值为BE。A=90 BE=（8-2）+8=10 PM+PB最小值为108、一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上。这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子向右水平滑动0.5m停在DE位置上，求梯子顶端A向下滑动了多少米？解C=90，AB=AC+BC，DE=EC+CD2.5=AC+1.5，2.5=EC+（1.5+0.5），AC=2m，EC=1.5m， AE=AC-EC=2-1.5=0.5（m），9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm，高12c

7、m的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外的长度为h（cm），则h的取值范围是。解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，杯内筷子长=5+12=13cmh=24-13=11cmh的取值范围是11cmh12cm10、一张矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，折叠后，使得点D与点B重合，C与G重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长。解：折叠后D与B重合 ED=BECF=CG，AB=DC=3cm设FC=x（cm），则BF=9-xcm，GF=x（cm）A=B=C=D=G=90BF=BG+GF (9-x) =3+x x=4 BF=9-4=

8、5cm又BEF=DEF=EFB BE=BF=5cm作FHAD交AD于H，FC=HD=3，EH=9-3-5=1cm FHE=90 EF=1+3=10（cm）三、思考题如图，ABC为等腰三角形，C为直角顶点，D1，D2，D3.Dn-1是CB边上的n等分点，从C作AD1的垂线，分别交AD1，AD2，AD3.ADn-1AB于P1，P2，P3，.Pn-1,Pn点，连接PnDn-1，求证:AD1C=BDn-1Pn。2、如图,等边三角形ABC的边长a=25+12根号3,P是三角形ABC内的一点,若PA2 +PB2 =PC2。若PC=5，求PA、PB的长。3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦AB与小半

9、圆相切且与直径平行弦AB长12厘米图中阴影部分面积是多少？4、已知P,Q均为质数，切满足5P2 +3Q=59.则以P+3，1-P+Q，2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形？5、如图，ABC中三条角平分线交于点O，已知ABBCCA，求证：OCOAOB。6、将长为2n（n为自然数且n4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边长分别是a，b，c且满足abc的一个三角形，就n=6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？7、如图，RTABC中，D是AC中点，DEAB与E，求证：BE2-AE2=BC2实数一、思维导图1.无理数定义：无限不循环小数2

10、.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零3.算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x=a，则这个正数x为a的算术 HYPERLINK /view/229977.htm 平方根。a的算术平方根记作 QUOTE 错误！未找到引用源。，读作“根号a”，a叫做 HYPERLINK /view/793522.htm 被开方数。规定：0的算术平方根为0。4.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根。5.二次根式的定义：一般形如 （a0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0。6.最简二次根式满足：.分母中不含根号

11、=根号下没有分母=根号下没有分数根号下不含可以开得尽方的数7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。8. ( QUOTE 错误！未找到引用源。) 2=a (a0) QUOTE 错误！未找到引用源。=a(a0)二次根式的乘法法则： QUOTE 错误！未找到引用源。 QUOTE 错误！未找到引用源。 (a0，b0)两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变积的算术平方根的性质： QUOTE 错误！未找到引用源。 (a0，b0)两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积二次根式的除法法则： QUOTE 错误！未找到引用源。

12、= QUOTE 错误！未找到引用源。 (a0，b0)两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变商的算术平方根的性质： QUOTE 错误！未找到引用源。= QUOTE 错误！未找到引用源。 (a0，b0)二、易错题1.已知：y=x+2，求.解：x20, 2x0 x=2, y=20+0=1将x=2，y=1代入所求式，得原式=3-3=02、下列说法：只有正数才有平方根；2是4的平方根；5的平方根是；都是3的平方根；的平方根是2，其中正确的是（ ）A. B. C. D.解：错误原因：0的平方根为0 ：5的平方根为 ：的平方根是2（任何非负数的平方根为非负数）故选D3、若与互为相反数，求的值.解：0，

13、 0.又、互为相反数=0即 a-b+2=0 b= a+b-1=0 解得 a=- 代入原式，得原式=-2答：所求式的值为-2已知0 x1，化简解：原式可化为0 x1x-2 D.x0且x2解：使有意义的x的取值范围是x0，使有意义的x的取值范围是x-20，x-20.综上，使有意义的x的取值范围是x2.已知，且，求x+y的值.解：0，0又=2，=1又，即x-y0或.x+y=1或2下列各式计算正确的是（ ）（x0，y0）解：错因：A.应为 B.应为 C.应为 故选D是否存在正整数a、b（ab），使其满足？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由。解：存在. ，因为只有同类二次根式才能合并，所以 是同类二次根式. 设 所以m+n=6，又a，b，ab，所以m，n，且mn. 解得 即 可得.三、思考题设x、y为正有理数， EQ ，为无理数，求证：+为无理数。设x，y及+为整数，证明： EQ ，为整数。若实数x，y满足3+5y=7，