分析力学及其近代发展

1、 分析力学及其近代发展一.牛顿力学与分析力学牛顿力学（矢量力学）和分析力学是两套平行的经典力学理论.1687年,牛顿的伟大科学著作自然哲学的数学原理发表,奠定了经典力学的基础.概括来讲,300多年来,经典力学经历了Newton力学到Lagrange力学,再到Hamilton力学,又到Birkhoff力学的漫长发展过程.r牛顿力学（1687年）经典力学rLagrange力学（1788年）.分析力学Hamilton力学（1835年）Birkhoff力学（1927年）完整力学分析力学非完整力学（1894年,Hertz提出非完整约束概念）经典分析力学分析力学*几何动力学（1963年）,近代分析力学屯相

2、对论分析力学二.分析动力学理论框架牛顿力学动力学方程引入虚位移广义坐标等分析力学的变分原理考虑约束等运动微分方程mr+F+N=0iiii迓(Fmr)R5r=0iiiii=1区(F一mr)d5r=0iiiii=1dBTBT=QFssdtBqBqs经典情况相对论情况三维形式四维形式常质量mr=Fd-一(mv)=F(v=r)dtmm=oJ1一v2/c2dp厶=G,G=(G,G)dt卩4dt=YdT,Y=1J1一v2/C2G=F,Ql-v2/c2G=S=ilFdv4CCJ1-v2/c2变质量mr=F+RR=m(uv)d/、dmv一(mv)o,=F+R*dtdt屮v2/C2dm“Uv、R*=丁()dtV

3、1U2/C2寸1一v2/C21993年d()dm(mv)一ov=Gdto卩dT卩卩FG=(G,G4),G-,卩4Jl-v2/C2FCvdm/uG-+(,4C#1一v2/C2dT1U2/C2v、dm/c2/)中+(.y1v2/c2dT#1一U2/c2c2)1999年Qlv2/C2三.分析力学的近代发展（指20世纪以来，特别是20世纪60年代以来的发展）分析力学的近代发展主要体现在理论完善与创新化、方程现代化、应用专门化、科学交缘化等方面.理论完善与创新非完整约束的提出在20世纪出诞生了非完整力学建立一阶非完整系统运动微分方程的工作一直延续到20世纪四、五十年代和七十年代人们又研究了二阶和更高阶非

4、完整约束系统的运动微分方程.Routh方程(1884年)：ddTdtdqsdTdqs=Q+F九sp=ipdqsqan瓦ChuHgin)方程(1897年):TOC o 1-5 h zddtdT介，dTydBdB(a=1,2,，s)Q+乙乙(R+pnR+n戸)q二odtdqdqdqdqdqvaaP=1s+pv=1avdqs HYPERLINK l bookmark12 Appell方程(1899年)：堂二Q+工九fpdqp=i七Boltzmann-Hamel方程(1902年)：(G=1,2,G+工九fp=1PdqsE*(T*)+ESdT*E)型二P*GdrkdGk=1r=1kGNielson方程(

5、1935年)：N(T)二QsMac-Millan方程（1936年）：（注:1950年周培源先生著作理论力学中介绍了Mac-Millan方程）(G=1,2,8)(G=1,2,8)E(T)m(f)DE(f)=QTOC o 1-5 h zGiiGiGdKKKane方程（1961年）：=0dqGddTVolterra方程（1989年）：G迟md巽=E(g=1,2,8),iidtdpGi=1dpi=1E=XGidpi=1G1962年,作为Appell的学生,北京工业学院的胡助（1894-1977）和赵进义（1902-1972）两位先生在中国力学学会第一届一般力学学术会议上宣读了他们对Appell定义和A

6、ppell方程的研究成果,认为Appell方程还包括了Gauss原理.60年代初北京大学数学力学系卢绮龄先生指导梅凤翔等几个毕业生作非完整力学方面的论文.1964年,年仅22岁的牛青萍（注:当时为山东工学院机械系学生,河南安阳人,1964年毕业于山东工学院机械系内压机专业;现为教授级高工,云南金马企业开发总公司副总经理）在力学学报发表了具有国际先进水平的重要论文经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程,首次提出了速度空间虚位移和加速度空间虚位移的基本概念,建立了一阶非线性非完整系统的广义Chaplygin方程.这篇论文在国内外产生了深远影响.被前苏联学者MH.He衍MapK和H.A.rae

7、B合著的国际上第一本非完整力学专著非完整系统动力学（1967年出版）引用.在我国非完整力学史上起了极为重要的带头作用.他提出的速度空间和加速度空间虚位移的定义被人们称为牛青萍定义.梅凤翔在方程分类和算子理论研究方面的工作.Birkhoff力学1927年美国著名数学家Birkhoff在其名著动力系统一书中,提出了一类新型积分变分原理和一类新型方程.1978年美国物理学家Santilli将这类方程推广并建议命名为Birkhoff方程.1992年春梅凤翔在北京理工大学主持分析力学讨论班，主题是“Birkhoff系统动力学”,提出了研究的几个问题.1995年出版了研究成果专著Birkhoff系统动力学

8、，建立了Birkhoff力学理论框架，宣告了一门新力学的诞生，被学术界称为经典力学的又一次飞跃.几何动力学（1963年）几何动力学也被称为近代分析力学，原指用近代微分几何（如流形、纤维丛理论、张量丛、微分流形、辛流形等）观点研究分析力学的原理和方程，即用微分几何来构造的分析力学.由现代微分几何理论可以很容易地得到分析力学的很多结论，并推动分析力学的进一步发展，如对称性研究中的高阶Noether对称性.拟对称性、伴随对称性等如果没有现代微分几何这一强有力的工具，是很描述甚至是不可描述的.近代分析力学的主要内容有以下三个方面:（1）流形和Lagrange力学;（2）辛流形和Hamilton力学;（

9、3）KAM定理.分析力学的近代对称性理论广Noether守恒量守恒量VHojam守恒量lMei守恒量分析力学的近代对称性理论主要有三种.Noether对称性理论（1918年）对称性JLie对称性理论（1979年）Mei对称性理论（1999年）对称性摄动与绝热不变量2005年开始研究对称性的联合和统一问题.对称性与守恒量理论研究是近些年一个非常热门的研究领域，发表了多篇研究论文.方法现代化一是近（现）代数学工具的应用,如微分几何（流形、微分流形、辛流形、纤维丛理论等）,李群和李代数等.分析力学的现代处理方法是利用微分流形来描述力学系统的位形空间,利用切丛上的微分形式来构造力学系统的性质,利用矢量

10、场来描述其运动,这样做不仅可以使得表达在形式上更为简洁,而且所研究的问题及结论由于不依赖于坐标而是有很大的一般性,可以更突出研究力学系统的本质特征.二是计算机技术的应用计算机作为近代最伟大的科技成就之一,对科学本身的发展起了很大作用.上世纪80年代发展起来的计算机符合解析系统使计算机从数值运算转变为代数、分析运算等,还有很强的图形开发功能.应用专门化上世纪70年代以来,分析力学的理论和应用不断地向着专门化方向发展.变质量系统分析动力学相对运动分析动力学刚体质点转动分析动力学单面约束系统分析动力学可控力学系统分析动力学事件空间中的分析动力学分析力学逆问题机电系统分析动力学学科交缘化分析力学与相对

11、论力学交缘相对论分析力学分析力学与场论（量子场论）交缘分析力学与经济理论交缘经济分析力学分析力学与工程科学交缘工程分析力学分析力学与数学交缘:（分析力学中的近代数学方程,微分方程的分析力学方程）四.对分析力学的评述牛顿力学注重的是力、加速度、动量等（它们都是矢量）,直观形象,数学推理简单,物理意义清楚.分析力学注重的是具有广泛意义的能量,同时又扩大了坐标的概念.分析力学抽象,数学推理多而且复杂,容易使人们忘记物理本质.对约束力学系统,牛顿力学很困难,而分析力学却很容易.分析力学是经典物理学的基石之一,是近代物理学发展的阶梯,分析力学的方法和结论在物理学的其它领域有广泛的应用.分析力学既是数学、力学、物理学这三大学科的基础,又是许多新兴学科的生长点.分析力学不仅是研究科学技术中多种复杂问题的精美