2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习-解题思维5 高考中立体几何解答题的提分策略

1、第 页共7页2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习解题思维5高考中立体几何解答题的提分策略练综合素养提升2021新高考卷II，12分如图5-1，在四棱锥Q-ABCD中,底面是正方形，AD=2, QD=QA=S, QOl(1)证明：平面例P丄平面/!优ZZ(2求二面角B-QD-A的余弦值.L情境创新，12分中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图5-2,菜种风筝的骨架模型是四棱锥 P-ABCD,其中 ACA.BD于 0, OA=OB=O 00=8,份丄平面 ABCD.求证 PDLAC.试验表明，当POOA时，风筝表现最好，求此时直线爪与平面所成角的正弦值.2021惠州市二调，12

2、分一副标准的三角板(如图5-3)中，Z/1 況为直角，Z/60 , A DEF为直角，DE=EFt BC=DF.把況与W重合，拼成一个三棱锥(如图5_4)，设:1/是M的中点，A是況的中点.求证:平面J從丄平面EMN.若二面角E-BC-A为直二面角，求直线烈/与平面 I所成角的正弦值.C(F)图5-4L数学探索，12分将长、宽(优)、岛(M)分别为4, 3,1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一，如图5-5(1)传统的十字捆扎；方案二，如图5-5(2)折线法捆扎，其中AFB=BG-HG=GI=JD=DK=.(1) (2)图5-5哪种方案更省彩绳？说明理由.求平面OTT与平面所

3、成的二面角的余弦值.答案解题思维5高考中立体几何解答题的提分策略 TOC o 1-5 h z 1.在眞中，因为QlhCIQC,所以CDVQD.（1分）又 CDLAD,，AD=D，QD、ADc.平面 QAD，所以仍丄平面例/；（3分）因为平面 必以 所以平面丄平面ABCD.（4分）分别取AD，況的中点0、E，连接OE, QO,因为QlQ祕、所以QOLAD,又平面 讲9丄平面ABCD,平面QADC平面ABCD-AD,所以丄平面ABCD,所以QOVOE.（6分）易知OELAD,所以直线OE, OD，做两两垂直，故以0为坐标原点，以呢似做所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图1） 5-1所示的空间直角

4、坐标系，则M2, -1,0）, MO, 1, 0），BD=（-2t 2, 0）.（8分）图 D 5-1易知 0Q=y/QA2-A02=2,所以觀0, 2),第 页共7页第1页共7页设平面的法向量为rF(x,ytz),则:+ y + 2z = 0, + 2y = 0,令 A=l，则 F(l，1，|). TOC o 1-5 h z 易知/7F(1, 0, 0)为平面/I做的一个法向量，(10分)所以 cos風n-,1= |m| |n|jl2+12+(!)23易知二面角B-QD-A为锐二面角，所以二面角B-QD-A的余弦值为I.(12分)2. (1) AZL平面 ABCD, AOz 平面 A職:.P

5、0VAC,(2 分)又 ACLBD,P0CBD-0, POc 平面 PBD，BDc 平面 PBD,:.ACV平面醜(4分)又 PIX2 平面 PBD，:. PDLAC.(5 分)(2解法一 如图D 5-2,以0为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系 0-xyz,则 M4, 0, 0)，6*(0, 8, 0), P(_4, 0, 0)，戶(0, 0, 2),(7 分) PB= (4, 0, -2)，PC= (0, 8, -2), PD= (-4, 0, -2)，设HF(x,y, z)为平面做7的法向量，则0,0,(10 分)令 2=4,则妒(2, 1,4).设直线即

6、与平面所成角为，两 m |-4X2+OX1-2X4| 则 sin 川兩jiVi6+4xi+n(12 分)DR图 1） 5-3解法二 如图D 5-3,在Rt顺中，由P!f=P（）韻得PB=2yS.在 RtAW中，由 PC=PdOC得 PC=2yY7.在从仏POD 中，由 Pff=P（hOff 得 PD=2S.在 Rt燃中，由 BC=BdOC 得 l3C=yS.（7 分）在八做7中，由cos ZPB(=PB2+BC2-PC22PBXBC （2占）2+（4兩2-（2/17）2 _ 22X2/5X4V5 一 5得 sinZPB（=Jl-cos2ZPBC = -.PB. BC. sinZ/o|x2V5X

7、4V5xp=4V21,（9分）设点A到平面 l的距离为A，WJ V P-BCtP V MD-PBC即 XXBDXOCXOP=XSXh,BDXOCXOP _ 8x8x2 _ 16及1bc = 2x4i = 设直线即与平面77所成的角为，（11 分）3. (1) J/是的中点，/V是及7的中点，:.醐 AB，：ABBC, :-MNVBC.：BB=EC, TV是及7的中点，人ENV BC.又 MNC EN=N, 平面 EMN，平面 EMN,:-BCX.平面 EMN.又BC平面ABC，.平面/f及7丄平面隱.由(1)可知，ENA.BC,歐BC，ZEMf为二面角E-BC-A的平面角，（12 分）（1分）

8、（2分）（3分）（4分）（5分）（6分）又二面角E-BC-A为直二面角，/. ZOTA90，即ENVMN.（7分）以点/V为坐标原点，以耀NC,脚所在直线分别为轴，/轴，z轴建立如图D 5-4所示的空间直角坐标系 （8分）：AC= :.AB=2，BC=2必，:勝收 MN=，则 M0, 0, 0),五(0, 0, V3), Ml, 0, 0), MO, -V3,，/(2, -V3,，.而=(1，0, -V3)，BE= (0, V3, V3), BA= (2, 0, 0).设m= （x, y, z）为平面的法向景，则.莳=0,即产=0,.而=0, lV3y + V3z = 0,得fO,令尸1,则2

9、=-1, TOC o 1-5 h z 平面皿的一个法向量为22F （0, 1，-1） .（10分）设直线份/与平面/從所成的角为0，则 sin ff=cos = = （11 分）即直线烈/与平面/份所成角的正弦值为#.（12分）4. （1）方案二更省彩绳.理由如下.由题图（1）知，方案一中彩绳总长度7=2X （4+3）+4X 1=18.（2分）由题图（2）知，E/IJ=y5, E1FG=GH=HI=KJ=KI2,则方案二中彩绳总长度 /2XV5+6X V2m,所以方案二更省彩绳.（只需求出两种方案所需彩绳总长度，进行比较即可）（4分）（2）以点Z?为坐标原点，以ZH况m所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图D 5-5,则 F(3,1,1), F(3, 3, 0)，1，0, 0)，6(2,4, 0)，1(0, 3, 1)，J(0,1,0), 0=(2,1,1)，KF= (2, 3, 0)，73=(2, 3, 0),77=(0, 2, 1).设平面的法向量为zi),平面