2022年§44函数y=Asin的图象及三角函

1、4.4 函数 y = Asm（cox + 卩）的图象及三角函数模型的简洁应用基础学问自主学习要点梳理1.用五点法画 y=4sin （ex+e ）个周期内的简图时,要找五个特点点 如下表所示 . . X0_pn71 p3兀2 兀一（p厂卩2卩COcoCOCOco0兀TT3it2TT9Ty=Asinsx+e 0A0-A02.函数 j = sin x 的图象经变换得到 下：方法一j=Asin （wx+ ）的图 象的步骤如画出 y=sinx 的图象 彥骤 1向左（右）平移 W 丨个单位长度 . 得至！ Jy = sin（x+卩）的图象 步骤 2 齐点的横处标变为原先的倍 U e 得到 V = sin（

2、s：+卩）的图象 | 步骤 3 各点的纵坐标变为原 来的 A 倍得至 Uy=Asi n（cox+卩）的图 步骤 4 象方法二 画出丿 = sinx 的图象 步骤 1 各点的横坐标变为原來磴倍 U 得至 Uy = sin ox 的图象 步骤 2 向左 右 平移 2 个单位长度 0 得至収 =sincox+ 卩 的图象 步骤 3 各点的纵坐标变为原先的 A 倍 0 得至 Uy=Asinx+0 的图象 步骤 4 以上两种方法的区分：方法一先平移再伸缩；方法 二先伸缩再 平移 . 特殊留意方法二中的平移量 . 3. 当函数 y=4sincox+0 A0, e0, 0, + 8 表示一个振动时, A叫做

3、振幅 ,T= 号叫 做周期 ,叫做频率, ax+p 叫 做相位 ,/ 叫做初相 .4.三角函数模型的应用 1 依据图象建立解析式或依据解析式作出图 象. 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁 函数模 型. 利用收集到的数据作出散点图,并依据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 1.作时应留意的两点难点正本疑点清源1作函数的图象时,第一要确定函数的定 义域 . 对于具有周期性的函数,应先求出周期 , 作图象时只要作出一个周期的图象,就可 作出整个函数的图象 .扌艮据周期性2. 象变换的两种方法的区分由 j = sin x 的图象,利用图象变换作函数y = Asin （car + 卩）+ B

4、 （A0, co0）（兀 WR ）的图象,要特 别留意：当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象沿工轴的伸缩量的区分. 先平移变换再周期 变换（伸缩变换）,平移的量是咧个单位,而先周期 变换（伸缩变换）再平移变换,平移的量是缓个单位 . 为什么会有这个区分呢？其缘由是,我们所说的平 移多少（即平移量）是相对于 x 来说的,与兀的系数 co 无关,因而应写成 y = Asin co + B 的形L I 3）.式. 故平移量为第个单位 . 基础自测 Z 、7F 1. j = 2sin 2x T 的振幅为2 , 频率和1 K.初相分别为工 _、4 2.将函数 y=73 的图象向右平移 .个单位,

5、再T向上平移 2 个单位所得图象对应的函数解析式是兀解析 y = = sin、x +弓向右平移 .个单位得 : 、 兀. Tl 兀 y = sin：V _6 =sin Tt 位得 y = sin x + v + 2.6 y = U + 2 sin再向上平移 2 个单3.将函数 y=sin4x 的图象向左平移寻个单位,得到兀 jr兀丿=或 n（4x+（p） （ （p2 ）的图象,就 （p= 3解析 将函数 y = sin 4x 的图象向左平移巨个单位后得到的图象的解兀 兀sin4 x + TX . = sin 4x + ,贝 U 丄/ 丿 d 丿析式为 y = 兀厂 3.4.将函数 j=sinx

6、 的图象向左平移卩（ 0W 卩2 兀）D. 11 兀 6解析将函数 y = sin x的图象向左平移个单位后,得到函数尸sinfx 帯的图象,就卩等于（ D 0（OW00, co0） 孕,上的一个最高点的坐标为吃,由此点到 轴交于点寸卄相邻最低点间的曲线与兀兀, o,（兀 兀、如唱一刃 2）（1）试求这条曲线的函数解析式; （2） 写出函数的单调区间 . 思维启发 （1）由最高点和相邻最低点间的相对位置,确定周期；依据待定系数法求件 将 “ COX + （p“ 看作一个整体、放在一个单调区间内求解 . / 、解（1）依题意,人広 T= 4X 22 =4 兀, co0 ,又曲线上的最高点为 %边

7、.11 7T 71 7 7.Isin 二X 二 + 卩=, 二 + j = 2A7C + 14 122.异 , kwZ.探究提高 依据 y=Asin（ox+（P）+k 的图象求其解析依据图象的最高点和最低点 , 式的问题,主要从以下四个方面来考虑：最高点一最低点 2 A 的确定 : k 的确定：依据图象的最高点和最低点,即 k = 最高点 +最低点2 ; 血的确定：结合图象,先求出周期几然后由 来确定 （O；T= （仞 0）卩的确定：由函数 y=Asin （ex+）+R 最开头与 x 轴的交点（最靠近原点）的横坐标为一：（即令皿 确定外+卩= 0,x=f）变式训练 2 已知函数 y=4sinc

8、ox+w lv 务 如 0的图象的一部分如下列图 . 求/ 兀 的表达式；2试写出 /U的对称轴方程 . 解 1观看图象可知：A =2 且点0,1在图象上, . = g *.* 11 . ：0 =彳.1 =2sin O + 0 , 即 sin 0 过 X轴形成的零点 , . 11 兀亠兀 C .筒+6 = 2 兀,712. 5 =2sinr+6, 又. .岂兀是函数的一个零点,且是图象递增穿2设+ . = 就函数 j = 2sin A的对称轴方程为&WZ,兀 7T 即 2X + & N二+ R 兀仏 w Z, 解上式得 x =等+ * *ez , /./x = 2sin 2x + 的对称轴方程

9、为kit Tt .XT + 6 KEZK的图象与兀轴题型三函数 j=Asin ox+ 的图象与性质的综合应用 例 3 已知函数 fx = Asinctx + 卩 ,且图象上一个最低点为 的交点中,相邻两个交点之间的距离为号 , 1 求/U的解析式；7T 7T 2 当 xe ,二时,求 /U的值域 .思维启发 易知 T= yr, A - 2, 利用点 M在曲 线上可求卩,第 2问由函数图象易解,关键是 将 CDX + p 看成一个整偻 . 2 兀 解 1由最低点为 Mp, -2 得 A = 2.I O 丿2由兀轴上相邻两个交点之间的距离为壬得齐歩m ”.兀 2 兀 r 即 T =兀,. . o

10、= =2.1 7T 由点,-2 在图象上得 2sin2X Z 可+ 0 = 4 兀 3+ y 丿 72 兀兀一 2,即 sin“1 n 以 4 兀伙 W Z , /. p = 2kn - k W Z.兀 兀、.0 飞,故心=2sin 2x + 石.7T 兀 e 兀125 2 ,. 2x + 7 G7T “ 刃 ,即兀 兀 377 兀 一当 2x+ = , 即兀时, /W 取得最大值 2； 当 2r + = y, 即专时 , 沧 取得最小值 - 1, 故/x的值域为 - 1,2. 探究提高 熟悉并懂得三角两数的图象与性质是解决此题的关键 . 图象与兀轴的两个相邻 交点间的距离即为半个周期. 在求

11、函数值域 时,由定义域转化成 cox 的范畴 . 即把兀 + 0 看作一个整体 . 7T,变式训练 3 己知函数fx=Asincox +p9 1 求/X 的解析式 ;2 当兀丘 0,巨JT时, 求/*的最值 . 解 1由最低点为2 兀、M 可,- 2 得 A = 2.由丁 = 兀, 得 69=竽=今=2.由点 A/ 1 兀 4 兀 在图象上得 2sin 丁+卩=-2,即 sin4兀U +其中 40, .O, 0v 卩鸟的周期为且图象上一个最低点为,一 2.4 兀兀一11 兀. 丁 + 卩=2kn 一 2（ 已 Z）,即（p = 21at（k G Z ）. （、又 0 已 0,-, 厶）兀0,

12、12兀 兀：.（p =石、. /U） = 2sin（2x 兀2x 兀兀（2）Vxe .6,.3+石已. .当 2x + . = g 即兀 =0 时, /U）取得最小值 1； 当2xr + .= 扌, 即* = 令时, /* （兀）取得最大值 J 工答题模板 5. 用方程思想求三角函数图象的解析式 试题： （14 分）如图为 y=Asin （av+e）的图象 的 一段,求其解析式 . 审题视角 （1）图象是 y = Asin（cox +卩）白勺图 象. 依据“ 五点法” 作图的原就,M 可以看 作第一个零点； : 誓, 0 可以看作其次个零点 . I；丿规范解答 解由图象知 A = A/3, 以

13、 M&,（）2 分为第一个零点,N& ,o为其次个零点. 5兀 +卩4 分 列方程组兀,（）=2, 解之得2TT k 一亍10 分 14 分. . 所求解析式为 y = 3sin 加- 誓.答题模板第一步：依据图象确定第一个平稳点 或最高点“ 最低点、 . . 其次个 平稳点、其次步：将“ 处 +卩” 作一个整体、找到对应的值. 第三步：列方程组求解 . 第四步：写出所求的函数解析式 . 第五步 : 回忆反思,查看关键点,易错点及答题规范 . 批阅笔记 用方程思想求解这类题目, 思路清楚 , 过程简捷 .易错点是找不准对应的“ 五点” .思想方法感悟提高 方法与技巧1.五点法作函数图象及函数图

14、象变换问题 1 当明确了函数图象基本特点后,“ 描点法” 是作函 数图 象的快捷方式运用“ 五点法” 作正、余弦型函数 图象时,应取好五个特殊点,并留意曲线的凹凸方向 . 2 在进行三角函数图象变换时,提倡“ 先平移,后伸 缩” ,但“ 先伸缩,后平移” 也常常显现在题目中,所以也必需熟练把握,无论是哪种变形, 切记每一个 变换总是对字母 *而言,2.即图象变换要看“ 变量” 起 多大变化,而不是“ 角” 变化多少. 由图象确定函数解析式由函数 y - Asincox + p 的图象确定 A、e、卩的题/ 、型,常常以“ 五点法” 中的第一零点-2, 0 作为I 60 丿突破口,要从图象的升降情形找准第一零点的位 置. 要善于抓住特殊量和特殊点 . 3.对称问题 + 卩 的图象与 x 轴的每一个交点均为其函数 y = Asnax对称中心,经过该图象上坐标为x, 4的 点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴 , 这样的最近两点间横坐标的差的肯定值是半个周 期 或两个相邻平稳点间的距离 . 失误与防范 1. 由函数 y = sinx（xGR）的图象经过变换得到函数 y =Asn（cfjx + （p）的图象,在详细问题中,可先平移 变 换后伸缩变换, 也可以先伸缩变换后平移变 换,但要留意：先伸