n项绝对值不等式的初等研究及公式推导

1、n 项绝对值不等式的初等研究及公式推导摘要：在数学的学习研究过程中，不等式是其一大重要工具，而绝对值不等式又是其中较为复杂的一种。它的复杂原因不在于难度而在于过程较为繁琐，尤其当含绝对值的项数过多时，步骤将成倍增加。那么是否有简单的公式可以代替这些繁杂的过程呢？从解两绝对值相加的不等式开始，得到规律，并将其归纳推广，得到解 n 项绝对值相加不等式的的计算公式：绝对值相加不等式计算公式正文：对于两绝对值相加的不等式：1.当绝对值内代数式系数为 1 时：不等式可写做： x-a+x-ba-b若ca-b 则无解)公式：(a+b-c)2xb在负无穷到 b 的范围内函数为减函数；在 b 到 a 的范围内函

2、数图像为一条平行于x 轴的直线；在 a 到正无穷的范围内函数为增函数首先从特殊值分析，在中，函数值恒为 a-b，故当 ca-b 时，x无解在中，函数2式为 y=a+b-2xa+b-c 所以 x(a+b-c)同理：在中，函数x(a+b+c)2式为 y=2x-a-bc 可转化为 2xa+b+c 所以综上所述，x 的取值范围为(a+b-c)2xc意实数,若 c=a-b 则 xa 或 xa-b若c(a+b+c)2 或 xb在负无穷到 b 的范围内函数为减函数；在 b 到 a 的范围内函数图像为一条平行于x 轴的直线；在 a 到正无穷的范围内函数为增函数首先从特殊值分析，在中，函数值恒为a-b，故当 c

3、a 或 xc 可转化为 2xa+b-c 所以 x(a+b+c)2式为 y=2x-a-bc 可转化为 2xa+b+c 所以综上所述，x 的取值范围为 x(a+b+c)2 或x(a+b-c)/22.由以上两不等式的解法可推广至绝对值内代数式不定的情况不等式可写做：mx-a+nx-bb公式： a/m x(a+b+c)/(m+n) 或(a+b-c)/(m+n)x b/n 或b/nxa/m 且(n-m)xcabx(a+b+c)/(m+n) 或(n-m)xb+c-ax(a+b-c)/(m+n) 或b/nxa/m且下面对于 n 项绝对值相加不等式的计算公式进行猜想和证明：猜想：不妨设：Fn（x）=x-a1+

4、x-a2+x-a3+x-anx-a1+x-a2+x-a3+x-anbFn（a1+a2+an）n）b 时，（a1+a2+an-b）nx（a1+a2+an+b）nFn（a1+a2+an）n）b 时，无解该公式的猜想和理解同样运用了图像法，由绝对值相加函数的轴对称性（其对称轴为 X=（a1+a2+an）n），不难看出其图像为对称折线形，对称轴左边单调递减，右边单调递增，最低点为 Fn（a1+a2+an）n），其性质与两项绝对值相加函数相同。下面给出该公式的严格证明：证明：运用数学归纳法由n=1，2 时该公式成立假设 n=k 时公式同样成立，当n=k+1 时，x-a1+x-a2+x-a3+x-ak+x-ak+1bx-a1+x-a2+x-a3+x-akb-x-ak+1不妨设 ak+1aka1，（a1+a2+ak-b+x-ak+1）kx（a1+a2+an+b-x-ak+1）k将绝对值展开a1+a2+ak+1-b）（k+1）x（a1+a2+ak+1+b）（k+1）证毕值得一提的是，该不等式存在是否有解，而确定是否有解，再次利用绝对值相加函数的图像，即对称轴处 F（x）的值，进行。该过程，由图像可直出，在此不做赘述。总结：经过上述猜想及证明，得到以下结论不妨设：Fn（x）=x-a1+x-a2+x-a3+x-anx-a1+x-a