自动控制理论：ch 2 控制系统的数学模型

1、第2章 控制系统的数学模型Mathematical Models of Control SystemsQ1：用什么样的数学描述表示系统的输入输出之间的关系？Q2：如何得到该数学模型？引言为了设计一个优良的控制系统，必须充分地了解受控对象、执行机构及系统内一切元件的运动规律。所谓运动规律是指它们在一定的内外条件下所必然产生的相应运动。在内外条件与运动之间存在着固定的因果关系，这个关系大部分可以用数学形式表示出来，这就是控制系统的运动规律的数学描述。在控制系统中我们经常碰到和需要处理的物理现象不外乎电、磁、光、热的传导及刚体、弹性体、液体的运动等，这些物理量的运动规律早由电磁学、光学、热力学和力学

2、的基本规律所确定。本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型微分方程2.3 控制系统的复域数学模型传递函数2.4 控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数自动控制原理课程的任务与体系结构一般概念系统模型性能指标时域法复域法频域法课程体系结构本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型2.3 控制系统的复域数学模型传递函数2.4 控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数2.1 引言什么是控制系统的数学模型？如何建立系统的数学模型？数学模型有哪些类型？2.1 引言什么是控制系统的数学模型？是描述系

3、统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 如何建立系统的数学模型？数学模型有有哪些类型？2.1 引言如何建立系统的数学模型？解析法 （机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法 （系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性2.1 引言什么是控制系统的数学模型？是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 如何建立系统的数学模型？解析法实验法数学模型有哪些类型？ 时域模型 复域模型 频域模型 本章只研究微分方程Differential Equations、传递函数Transfer Functions

4、、结构图Block Diagrams等数学模型的建立和应用。微分方程（时域）代数方程（复域）传递函数方框图信号流图拉氏变换本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型2.3 控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数2.2 控制系统的时域数学模型微分方程线性定常系统微分方程的一般形式2.2.1 线性元部件及微分方程的建立一般步骤： 了解系统组成及各环节之间的传递关系，确定系统或元部件的输入、输出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；

5、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。建模实例分析电路系统机械系统机电系统（了解）例1 R-L-C无源网络系统电阻电容电感回顾电容两端电压与电流关系电感两端电压与电流关系例2.1 R-L-C无源网络系统回顾电容两端电压与电流关系电感两端电压与电流关系令：例2 弹簧-质量-阻尼器系统（机械系统）机械系统中，有三种基本的无源元件：质量m、弹簧K，阻尼器f。惯性力弹簧力阻尼力f(t)mx(t)f(t)x(t)kf(t)x(t)D=令：例1与例2系统微分方程进行比较 显然方程具有相同的形式，两系统是

6、相似系统。若进一步作变量代换，iq1/CRL电路系统vykfm机械系统相似量2.2.2 非线性系统微分方程的线性化电机死区 齿轮间隙放大器饱和实际系统一般都有非线性现象：严格讲： 所有系统都是非线性的2.2.2 非线性系统微分方程的线性化任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性；严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。 研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化线性化：应用线性化数学模型来代替原来的非线性模型这一过程，称为线性化。激磁特性如A2.2.2 非线性系统微分方程的线性化方法

7、：小偏差线性化步骤：借助泰勒(Taylor)展开式的数学方法将函数展开，然后取其一次式作为对函数线性化处理结果。 例 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。2.2.2 非线性系统微分方程的线性化取一次近似，且令 既有解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数2.2.3 线性定常微分方程的求解微分方程求解方法 本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型2.3 控制系统的复域数学模型传递函数2.4 控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数2.3 控制系统的复域数学模型拉普拉斯变换Laplace Transform一、复数有关概念 （

8、1）复数、复函数 复数复函数 例1 复变量（2）模、相角 （3）复数的共轭 模相角 拉普拉斯变换像原像二、 拉氏变换的定义 若时间函数 f(t) 在 t 0 有定义，则 f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为三、 拉普拉斯反变换f(t) =L-1F(s)可表示为（2）单位阶跃 常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数拉普拉斯变换拉式变换的重要性质（2）微分定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理用拉氏变换方法解微分方程系统微分方程2.3.1 传递函数(transfer funct

9、ion)1、传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。L变换L变换2.3.1 传递函数(transfer function)传递函数的一般形式微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数：2.3.1 传递函数(transfer function)系统的特征方程：系统的特征根： 特征方程的根系统的零点：系统的极点：系统的零极点：为实数或成对出现的复数系统的阶次：n2.3.1 传递函数(transfer function)零初始条件的含义（两点）指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t 0 时均为零； 指输入作用于系统之前，系统是“相对静止

10、”的，即系统输出量及各阶导数在 t 0 时的值也为零。 2.3.1 传递函数(transfer function)例6 试求R-L-C无源网络的传递函数 。解 由例2-1式（2-3）可知R-L-C无源网络的微分方程为在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换并整理可得网络传递函数2.3.1 传递函数(transfer function)2、传递函数的性质(1) G(s) 是复变量的有理分式，它具有复变函数的所有性质 ；(2) 传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，即nm。 (3) G(s)只取决于系统的结构参数，与外作用无关；(4) G(s) 与系统微分方程直接关联；(5) G(s) = L

11、 k(t) ；(6) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。2.3.1 传递函数(transfer function)3、传递函数的局限性传递函数是在零初始条件下定义的，因此它只反映系统在零状态下的动态特性，不能反映非零初始条件下系统的全部运动规律；只适用于描述单输入-单输出系统；只适用于线性定常系统。2.3.2 典型环节1、比例环节（又叫放大环节）特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。微分方程 c=Kr传递函数 实例 运算放大器、测速发电机、电位器环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。比例环节：电位器例： 输入：(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压运动方程：

12、u(t)=K(t) 传递函数： K比例系数，量纲为伏/弧度。比例环节：运算放大器2.3.2 典型环节2、一阶惯性环节特 点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。微分方程：传递函数：一阶惯性环节实例2.3.2 典型环节3、积分环节特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。微分方程：传递函数： 积分环节2.3.2 典型环节4、微分环节特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 微分方程：传递函数：近似微分环节RC电路其它微分环节2.3.2 典型环节5、一阶微分环节特 点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关。微分方

13、程：传递函数：一阶微分环节：RC电路输入：u(t)，输出：i(t) ，2.3.2 典型环节6、振荡环节特 点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。微分方程：传递函数：振荡环节实例2.3.2 典型环节7、二阶微分环节特 点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关。微分方程：传递函数：2.3.2 典型环节8、时间延迟环节（时滞环节）特 点：输出能准确复现输入，但时间上存在延迟。微分方程：传递函数：典型环节总结 （1）比例环节 （2）微分环节 （3）积分环节 （4）惯性环节 （5）振荡环节 （6）一阶复合微分环节 （7）二阶复合微分环节小结（1

14、）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。 例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 （2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。 例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。 反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。（3）任一传递函数都可看作典型环节的组合。2.3.3 传递函数的标准形式 首1标准型： 尾1标准型： K=K*非零零点绝对值之积非零极点绝对值之积2.3.3 传递函数的标准形式例 已知将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解.首1标准型尾1标准型增益本节小结传递函数的定义传递函数的

15、性质典型环节的传递函数传递函数的标准形式本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型2.3 控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数2.4 控制系统的结构图及其等效变换2.4.1 结构图定义：描述系统各组成元部件之间信号传递关系的图形化数学模型。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-) 信号线：表示信号传递通路与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或子系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数

16、值和性质完全相同。方块图单元2. 比较点3.引出点-+2.4 控制系统的结构图及其等效变换建立系统结构图的方法：工作原理图方框图微分方程组系统结构图例 绘出RC电路的结构图。 R1 C1i1(t)ur(t)uc(t)Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)解：绘出网络对应的复频域图，可得：例 绘出图示双RC网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s) Uo(s)(d) (-)IC(s)U(s)(c) IC(s)I1(s)I2(s) (-)(b)Ui(s)I1(s) U(s) (-)(a)I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s

17、)IC(s) I1(s) (-) (-) (-)(f)解：绘出网络对应的复频域图，可得：2.4.2 结构图等效变换建立结构图的目的：求取系统传递函数结构图等效变换的原则：1、串联环节的等效变换2.4.2 结构图等效变换2、并联环节的等效变换+2.4.2 结构图等效变换3、反馈连接的等效变换- +2.4.2 结构图等效变换4、比较点和引出点的移动等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s) G(s)C(s)R(s)R(s)2.引出点后移 1.引出点前移 C(s)=G(s)R(s) 引出点的移

18、动1.相加点前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(-)C(s)R(s)G(s)(-)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(-)或 相加点的移动(3种) 3. 交换或合并相加点 2.相加点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)例

19、2.11 求系统的闭环传递函数-结构图等效变换小结通过移动引出点或比较点，将两两相交的回路打开，使之能够应用串联、并联或反馈等效变换。等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。等效变换的方法：1）移动引出点2）移动相加点本章主要内容2.1 引言2.2 控制系统的时域数学模型2.3 控制系统的复域数学模型2.4控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数2.5 控制系统的信号流图-信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，用“O”表示。变量是所有流向该节点信号的代数和; 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以

20、支路增益而变成另一信号; 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 信号流图(signal flow diagram)是由节点和支路组成的一种信号传递网络。2.5 控制系统的信号流图混合节点：既有信号输出的支路而又有信号输入的支路,相当于结构图中比较点或引出点 前向通路：信号从源节点开始到阱节点结束，顺着信号流动的方向，且每个节点只通过一次的通路 前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。 不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。信

21、号流图中常用的名词术语： 源节点（输入节点）：只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入信号。 阱节点（输出节点）：只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出信号。2.5.2 梅逊增益公式 特征式 ： 所有单独回路增益之和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。梅逊公式为： 余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的值。其中： n从输入节点到输出节点之前向通路总数。 Pk从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益 。例2.12 利用信号流图求传递函数回路个数：3和两回路互不接触 例2.12 利用信号流图求传递