自动控制原理：第22讲（第五章 频率域稳定判据）

1、2022/8/21控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题！从数学上来说，系统的稳定性与什么有关系？系统的稳定性与系统特征方程的根有关。时域稳定性判据是什么？ 时域中是通过列劳斯表，把系数与特征方程根的关系联系起来2022/8/22研究系统的稳定性还是归结到特征方程的根的分布问题！2022/8/23 频率分析实质是从开环频率特性出发，分析闭环系统特性。如何才能把开环频率特性与系统的特征方程的根分布联系起来？第19讲 频率域稳定判据本讲主要内容1、奈氏判据的数学基础2、奈奎斯特稳定判据3、对数频率稳定判据三、频率域稳定性判据2022/8/25例16-1特征方程：令则，特征方程的根就

2、是F(s) 的零点。如果F(s)的右半平面零点个数为零，则闭环系统是稳定的。怎么判断的右半平面零点个数呢？ 设复变函数 对s平面上的每一个点s(复数变量)，在F(s)平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。 对s平面上的任一个不通过极点的封闭曲线，在F(s)平面上必有一连续封闭曲线F通过映射关系F(s)与之对应。1、奈氏判据的数学基础幅角定理取简单的复变函数规定：当R0时，曲线F逆时针包围原点； 当R0时，曲线F顺时针包围原点； 当R=0时，曲线F不包围原点。幅角定理：设s平面闭合曲线包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿顺时针运动一周时，F(s)平面内的闭合曲线F绕原点运动的圈数为：

3、R=P-Z若R=P，即F平面内曲线F逆时针绕原点的圈数等于F(s)的极点被曲线包围的个数，则内没有包含F(s)的零点。由幅角定理推导出的重要结论：（1）幅角定理 判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择 为研究对象。 F(s)的极点=开环传函的极点；F(s)的零点=闭环传函的极点特点： s沿闭合曲线运动一周产生2条曲线，F 和GH，两个曲线相差1。将GH 曲线沿正实轴方向移一个单位，可得F。 F包围F(s)平面坐标原点的圈数=GH包围(-1，j0)点的圈数。（2）复变函数F(s)的选择如何应用幅角定理？由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点

4、，其一是建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零极点之间的直接联系；其二是建立了闭合曲线F 和闭合曲线GH之间的转换关系。在已知开环传递函数G(s)H(s)的条件下，上述优点为幅角原理的应用创造了条件。系统稳定s平面的右半平面没有(s)的极点 s平面的右半平面没有F(s)的零点 选择曲线顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=P，即F平面曲线绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定。 对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线顺时针包围s的右半平面，如果GH在F(s)平面逆时针包围(-1，j0)点的圈数R等于

5、G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。(-1，j0)点很重要！称为临界（稳定）点。如何理解？ 由于不能通过F(s)=1+G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论。（3）S平面内闭合曲线的选择 具体是如何选择的呢？ G(s)H(s)无虚轴上的极点 S平面上的由两部分组成，C1：半径为的右半圆s=Rej(R，-900+900) ；C2：s平面的整个虚轴s=j(-m，对应原点；n=m，对应开环根轨迹增益K*C3C2C1R=s 当s沿C2移动时（正虚轴） FGH即Nyquist图 当s沿C3移动时（负虚轴）与Nyquist图关于实轴对称C3R=分为四段：C1：大半圆C2：C3：C4

6、：小半圆 G(s)H(s)有虚轴上的积分环节显然，当s沿=C1 +C2 +C3 移动时， FGH同前C2C1C4C3s=ej(0+, -900+900)当s=C4 移动时， FGH如何绘制？G1不包含积分环节R=C2C1C4C3 当s沿C4移动时积分环节：0-0+时GH的绘制：从G(j0+)H(j0+)起，逆时针作半径无穷大、圆心角为v*1800的圆弧到G(j0-)H(j0-)；当sC4，：0-0+，相角减小v*1800，即顺时针转过v*1800。 若对应曲线为从G1(j0)起，半径为，圆心角为v*(-)或从G(j0+)H(j0+)起，逆时针作半径无穷大、圆心角为v*900的圆弧例16-2 概

7、略绘制下列传函积分环节的奈氏曲线GH G(s)H(s)有虚轴上的振荡环节 当s沿C1顺时针移动时nm，对应原点；n=m，对应开环根轨迹增益K*C2C1R=C4C5=C1+C2+C3+C4+C5C3当s沿C2顺时针移动时，C4除外。 FGH即Nyquist图C2C1R=C4C5 当s沿C4顺时针移动时，(0+, -900+900)振荡环节GH绘制：从G(jn-)H(jn-)起，以半径无穷大、顺时针作圆心角为v*1800的圆弧至G(jn+)H(jn+) 由前面的分析可知：是关于实轴对称的，由于GH为实系数有理分式，故闭合曲线GH也是关于实轴对称的。因此，只需绘制GH 在Ims0，s对应的曲线段，得

8、GH的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为GH。如图5-31（5）GH包围(-1,j0)圈数的计算 通常绘制的GH 是半闭合曲线，在此情况下如何计算包围(-1，j0)的圈数？ 因此时GH 只是闭合曲线映射的一半，所以其包围(-1,j0)圈数只是全映射的一半，即N=R/2，其中，N为半闭合曲线GH逆时针包围（-1，j0）的圈数。表示从上向下正穿越的次数和表示从下向上负穿越的次数和 当s沿封闭曲线顺时针包围s的右半平面，如果的映射GH在F(s)平面逆时针包围(-1，j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。 当系统不稳定时，右半平面的闭环极点个数为Z=P-R。

9、2、奈奎斯特稳定判据 做常规开环传函极坐标图 (0+)； 从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画一条半径为，圆心角为 或 的圆弧； 计算R(按照正负穿越情况计算)； 从G(s)H(s)中找出不稳定极点数P； 按照奈氏判据Z=P-R=P-2N，判定系统的稳定性。（1）奈氏判据判稳实用步骤例16-2： 已知开环传递函数，利用奈奎斯特判据判稳。系统稳定频率特性无积分环节和振荡环节，GH就是幅相曲线P=0例16-3： 系统开环传递函数为 例16-4： 已知系统Nyquist图，P=0，判稳定性稳定例16-5（书5-8）： K=10，P=0，v=1，判稳定性并确定系统稳定时K值得变化范围。 系统传递

10、函数形如 K在什么范围变化，系统还能稳定？ v=1，GH曲线：幅相曲线+:00+线段 N+=1，N-=1N=0；P=0系统稳定思考：K变化时，Nyquist图怎么变？ K=10，GH与实轴有三个交点 临界稳定点（-1，j0）穿越频率 回忆：到目前学了几种频率？计算分别取三个穿越频率时，幅相曲线过临界点时的K值 分别取临界稳定P=0，R=0，Z=0系统稳定P=0，R=-2，Z=2系统不稳定临界稳定临界稳定P=0，R=0，Z=0系统稳定临界稳定P=0，R=-2，Z=2系统不稳定3、对数坐标图上的Nyquist稳定性判据 在Bode图上使用Nyquist判据，实质是把GH/2移植到Bode图上，记为

11、BGH，Bode图与幅相曲线之间对应关系？ 在GH平面上, |GH(j)|=1的单位圆，对应于对数幅频特性的0分贝线；单位圆外部如 (-，-1)区段，对应L()0dB，单位圆内部对应L () 1时，穿越负实轴的点等于GH 在半对数坐标下，对数幅频特性L()0时对数相频特性曲线与(2k+1)；k=0，1，.，平行线的交点。有几种频率?穿越： 在L()0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180； 在L()00-1800 -3600 N-N+第三象限第二象限0-p N-N+-1（4）表现形式的对比设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是 和 ， 曲线穿越 线的次数N=N+ -

12、 N- 满足：P-2N=0。 （5）对数频率稳定判据例16-7 （书例5-10）已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。解： A、B、C、D四个点分别对应对数幅频特性20lgA、20lgB、20lgC、20lgD 很显然，对应对数幅频特性L(c)=0的点位于C和D之间，即20lgC和20lgD之间。 由幅相曲线知道v=0？所以低频部分对数幅频特性是20lgA 对数幅频特性概略图 对数相频特性？ 相角表示不唯一性：比如最小相位和非最小相位环节对数幅频特性相同，但相频特性不同。书中给出2种形式 开环系统稳定P=0

13、 ？幅相曲线起始于实轴A点v=0 ？不需补虚直线。观察(a)：N+=1 N-=1N=0观察(b)：N+=1 N-=1N=0闭环系统稳定！例16-8 已知系统的开环传递函数及其开环对数频率特性曲线，试判别闭环系统的稳定性。 解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即P=0，在L () 0dB的频率范围内，相频特性曲线()不穿越-180的相位线，相频特性曲线经处理后，可见 N- =1 ，则有Z =P -2( N+ -N-)=2闭环系统不稳定例16-92022/8/263【本讲小结】闭环系统稳定的充分必要条件是特征方程的根位于左半平面，频率域稳定判据的关键是如何借助幅角定理，判断右半平面是否有极点，这是本讲的关键所在！奈氏判据的特点是研究闭环系统稳定性时，不必求闭环特征根；能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；可用于分析系统的瞬态性能。202