新高考数学二轮专题《立体几何》第4讲 直线与平面所成的角（解析版）

1、第4讲 直线与平面所成的角一选择题（共2小题） 1正方体的棱长为6，点在上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则与面所成角的正弦值为ABCD【解答】解：平面，是与面所成角，设与交点为，连结，平面，平面，平面平面，是的中点，是的中点，是的中点，故选：2在正方体中，点为底面的中心，点为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为ABCD【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，1，2，0，0，2，1，0，2，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角的大小为，则直线与平面所成角的大小为故选：二填空题（共7小题）3如图，在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正

2、弦值是【解答】解：连接交于点，连接，在长方体中，因为，所以，因为，所以平面，所以直线与平面所成的角为，已知，所以，由平面，平面，所以，所以即直线与平面所成角的正弦值是故答案为：4在直角梯形中，若将沿直线折成，使得，则直线与平面所成角的正弦值是【解答】解：过作于，连结，过作，连结，平面，平面，又，平面为直线与平面所成的角在直角梯形中，过作，交于，交于，设，则，由得，即，故答案为5已知长方体中，则直线和平面所成角的正弦值为【解答】解：由题意，连接，交于点长方体中，平面在中，直线和平面所成角的正弦值为故答案为：6和所在的平面互相垂直，且，则与平面所成角的余弦值为【解答】解：设，作于点，连，以点为原点

3、，的方向分别为轴、轴、轴方向，建立坐标系，因为，所以与都是正三角形，可得下列坐标：，0，0，0，0，显然，0，为平面的一个法向量，直线与平面所成角的余弦值为：故答案为：7已知和所在的平面互相垂直，且，则与平面所成角的正弦值为【解答】解：设，作于点，连，以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴方向，建立坐标系，得下列坐标：，0，0，0，设平面的法向量为，则可取与平面所成角的正弦值为故答案为：8如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点，则与平面所成角的大小为【解答】解：取中点，连，设，则，由平面平面，平面，则即为与平面所成角在中，直角边即与平面所成角的大小为故答案为：9是直角三角形所在

4、平面外一点，已知三角形的边长，则直线与平面所成角的余弦值为【解答】解：取的中点，连接，是的中点，又，又，平面，为直线与平面所成的角，故答案为：三解答题（共7小题）10已知平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角【解答】解：设所在的直线和平面所成的角是，平面外两点、到平面的距离分别为1和2，、两点在平面内的射影之间的距离为，可得结合，可得即所在的直线和平面所成的角为11如图，在直角三角形中，为三角形所在平面外的一点，平面，若，求直线与平面所成的角（）求直线与平面所成的角（）求直线和平面所成角的正弦值【解答】解：（）平面，是直线与平面所成的角，直

5、线与平面所成的角为（）在直角三角形中，为三角形所在平面外的一点，平面，又，平面，是直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为（）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，0，0，0，则，取，得，设直线和平面所成角为，则直线和平面所成角的正弦值为12如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正切值【解答】证明：（）取的中点，连结，是的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面平面（）取的中点，连结，四边形是正方形，又，平面平面，平面平面，平面，平面（）过点作交的延长线于点，连结，因为平面平面，平面平面，平面，平面

6、，为直线与平面所成角，13如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中心若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，四边形为矩形，平面，平面，平面平面，综上，且平面平面（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，面，面，面面，四边形为平行四边形，是正三角形的中心，由（1）知直线在平面内的投影为，直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，在等腰梯形中，令，过作于，则，直线与平面所成角的正弦值为14如图，已知三棱柱的侧面为矩形，分别为、的中点，过作平面分

7、别交、于点、（1）求证：平面平面（2）若为线段上一点，平面则当为何值时直线与平面所成角的正弦值为（请说明理由）【解答】（1）证明：四边形是矩形，又是的中点，是的中点，四边形是矩形，是的中点，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面（2）解：连接，平面平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，在上取点，使得，则，四边形是平行四边形，又平面，为直线与平面所成的角，即，即，又，15如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点，点在直线上，且（）证明：无论取何值，总有；（）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值【解答】证明：，即、两两相互垂直以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，1，0，1，无论取何值，（），0，是平面的一个法向量当时，取得最大值，此时，16如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，、分别是，的中点，点在线段上，且（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求直线与平面所成角的正切值【解答】（1