新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第16讲 面积定值问题（解析版）

1、第16讲 面积定值问题一、解答题 1已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由得，从而可得，又有，可得，从而可求出椭圆E的方程；（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为联立直线与椭圆的方程得韦达定理，且=，得，写出直线BP的方程，求得，同理可得，化简求得=为定值【详解】解：（1）由解得或（舍去），又，又，椭圆E的方程为；（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的

2、方程为，设，由得，=，=，直线BP的方程为，令解得，则，同理可得，=，为定值【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题2已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|4（1）求椭圆C的标准方程（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，APOM，BPON，则OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由【答案】（1）1；（2）是，定值2【分析】由题知,由及的关系即可求解;由题意可得A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0）则x02+2y028，可得,分直线l的斜率存在

3、和不存在两种情况分别求OMN的面积即可.【详解】由2a4，e，解得a2，c2，b2a2c24，则椭圆的方程为1；（2）由题意可得A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0），可得1，即x02+2y028，则，因为APOM,BPON，则，当直线l的斜率不存在时，设l：xm，联立椭圆方程可得y，所以,由,可得，解得m2，所以,所以SMNO222；当直线l的斜率存在时，设直线l：ykx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线ykx+n和x2+2y28，可得（1+2k2）x2+4knx+2n280，可得x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+n）（kx2+n）k2x1x2+kn（x1+x2

4、）+n2，由k2，可得n22+4k2，由弦长公式可得,|MN|，点（0，0）到直线l的距离为，所以SOMNd|MN|2，综上可知,OMN的面积为定值2【点睛】本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系及弦长公式;考查分类讨论思想和运算求解能力;分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求OMN的面积是求解本题的关键,亦是易错点;属于中档题、常考题型.3已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点（1）求椭圆C的标准方程（2）设点，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，求证：的面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将直线

5、代入椭圆方程因为相切故判断式为零，再结合离心率即可求得方程；（2）设直线的方程为代入椭圆方程，结合韦达定理和与的斜率乘积为，计算整理即可证明问题.【详解】解：（1）直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆C：（）相切，又，椭圆C的方程为（2）证明：由题意M、N是椭圆C上不同于A，B的两点，由题意知，直线，斜率存在且不为0，又由已知由，所以设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则，又得所以即的面积为定值【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值4如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为

6、A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点设直线，的斜率分别为，（1）求椭圆C的方程，并求的值；（2）若，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）椭圆C：，；（2）的面积为定值【分析】（1）求出椭圆的方程，再设代入斜率公式，即可得答案；（2）设直线的方程为（），设，根据，可得，再利用韦达定理化简得到的关系，求出三角形的底和高，代入面积公式，即可得答案；【详解】解（1）由题意得，又，所以，即椭圆C：设，则，又，则（2）设直线的方程为（），设，由（1）知：，即，又又O到直线的距离，所以综上的面积为定值【点睛】第一问的本质是椭圆的第三次定义；第二问探究是否为定

7、值的思路：设直线的方程、设，的坐标，利用韦达定理得到变量间的关系，再把三角形的面积表达式求出，变量间的关系代入，求得定值.5如图，、 为椭圆的左、右焦点， 、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ，若 在椭圆上，则点 称为点的一个“好点”直线 与椭圆交于、 两点，、 两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点（）求椭圆的标准方程；（）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）1【详解】（1）由题可知解得故椭圆的标准方程为（2）设，则，由，即（*）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设其直线为（），联立得，则，同理，代入（*），整理得此时，

8、综上，的面积为定值1【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）；（2）是，定值.【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合，求得的值，即可求解.（2

9、）设，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为，可得，即，解得，故椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，由，消可得，则，即，且，所以又由点到直线的距离，所以.又因为，所以，化简整理可得，满足，代入，当直线的斜率不存在时，由于，考虑到，关于轴对称，不妨设，则点，的坐标分别为，此时，综上可得，的面积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应

10、用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.7已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为（1）求双曲线的方程；（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值【答案】（1）；（2）证明见解析；定值2【分析】（1）动点到两条渐近线，的距离之积表示出来得的关系式，结合焦距可求得得双曲线方程；（2）设直线的方程为，由相切得，然后求得坐标，以及

11、直线与轴交点坐标，利用点坐标求得面积，代入关系式，可得定值【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，由动点到两条渐近线，的距离之积为，则，又，即，解得，则双曲线的方程为（2）证明：设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，直线与双曲线的右支相切，可得，可得，设直线与轴交于，则，又双曲线的渐近线方程为，联立，可得，同理可得，则即有面积为定值2【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线位置关系，面积定值问题解题关键是设出切线方程，由直线与双曲线相切得参数关系，然后求得三角形面积，利用此关系式可得定值8如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且

12、满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，因为，所以，轴，点的横坐标为，所以，可得，即

13、点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且，因此，（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值9已知椭圆的离心率为，过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【

14、分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知条件可得，解得，即椭圆的标准方程为；（2）设、，由题意直线、的斜率存在，设直线的方程为，设直线的方程为，由（1）椭圆，联立得，解得，即，联立，得，所以，即，易知，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，故面积为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的

15、过程中消去变量，从而得到定值10已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）的面积为定值.【分析】（1）由椭圆的离心率等于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解，的值，则椭圆的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到，两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案【详解】（1）解：由题意得，椭圆的方程为；（2）证明：设，则，的坐标满足，消去化简得，由，得，即，即又点

16、到直线的距离，为定值【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.11已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.（1）求双曲线的方程.（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公

17、式得，由，的坐标得，结合及三角形面积公式即可求出.【详解】（1）由题意，易得，则由，可得，即.又，解得（负值舍去），解得，双曲线的方程为.（2）由（1）可知双曲线的渐近线方程为，设，其中，.为线段的中点，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得.设，则.又，.又，的面积为定值2.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点，的坐标，设，得出和.12已知椭圆：（）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由题可得，

18、解出即可求出；（2）设出直线方程，与椭圆联立，表示出面积，利用点P在椭圆上得出的关系即可求出定值.【详解】（1）由题可得，解得，.故椭圆方程为：.（2）设直线方程是，设，联立，得，.，把点坐标代入椭圆方程可得，整理可得：，点到直线的距离为，的面积.所以，的面积为定值.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.13已知椭圆过点两点（）求椭圆的方程及离心率；（）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交

19、于点，求证：四边形的面积为定值【答案】（）；（）见解析.【详解】试题分析：（）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可试题解析：（）由题意得，所以椭圆的方程又，所以离心率（）设，则又，所以，直线的方程为令，得，从而直线的方程为令，得，从而所以四边形的面积从而四边形的面积为定值考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想第一小题根据两顶点坐标可知，

20、的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可14已知椭圆：()的左右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值【详解】（1）因为的周长为，所以，即.又离心率，解得，.椭圆的方程为.（2）设，将代入消去

21、并整理得，则，四边形为平行四边形，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，平行四边形的面积为.故平行四边形的面积为定值为.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题15已知椭圆：的左右焦点分别为，椭圆与轴的一个交点为，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上不同的两点，点关于轴的对称点为点.若直线的斜率为1，求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由所

22、给条件可得：焦距，可得，即可得解；（2）首先设直线的方程为，联立椭圆方程可得，结合韦达定理，根据，代入化简即可得到定值.【详解】（1）因为焦距为，所以，即，由，得，即，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，点，则面积为，联立方程，得，即，因为直线的斜率为1，所以，即，即，解得，所以，综上，面积为定值.【点睛】本题考查了求椭圆方程，考查了解析几何定值问题，有一定的计算量，属于较难题.本题的解题关键为：（1）对椭圆基本量的理解记忆；（2）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决圆锥曲线和直线问题的重要方法；（3）计算能力和计算技巧是解决解析几

23、何问题的关键能力.16已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左右顶点分别为，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知，然后可知方程（2）假设直线方程，并与双曲线方程联立，可得关于的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得坐标并表示出，简单计算即可.【详解】解：（1）由题意可得，因为一条渐近线方程为，所以，解得，则双曲线的方程为；（2）证明：可得，设直线：，联立，整理可得，可得，即有，设直线：，

24、可得，设直线：，可得，又，所以.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算.17已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，交双曲线的两条渐近线于点（在轴左侧）是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；记和的面积分别为，求的取值范围【答案】（1）（2），【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和准线方程，可得，的方程组，解得，可得双曲线的方程；（2）可设直线的方程为，与双曲线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及两直线垂直的条

25、件，解方程，即可判断存在性；联立渐近线方程和直线的方程，求得，的横坐标，可得，由弦长公式得到，再由三角形的面积公式得到关于的函数，然后求出其范围即可【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，准线方程为，由题意可得，又，解得，则双曲线的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，与双曲线方程联立，可得，由，解得，则，解得，如果存在直线，使得，则，即为，解得，所以不存在直线，使得；由，可得的横坐标；由，可得的横坐标，；，由和的高相等，可得，由，可得，所以的取值范围是，【点睛】关键点点睛：三角形的面积比可转化为，利用直线与双曲线联立，由韦达定理、弦长公式求出，转化为求关于k的函数，是解题的关键，属于中档题.18已知F是抛物线的焦点，点M是抛物线上的定点，且. (1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C交于不同两点，直线与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值