新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第19讲 共线向量问题（解析版）

1、第19讲 共线向量问题一、解答题 1已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，再由，得，利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可

2、得结论.详解：解：（）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）由得依题意，解得k0或0kb0)过点M(2,0)，离心率e=12，右焦点为F（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若PA=mAF，PB=nBF，求证：m+n为定值【答案】（1）x24+y23=1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知得a=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）方法1、由题意知，F(1,0)，可知直线AB的斜率存在，设其

3、方程为y=k(x1)，则P(0,k)，设出A，B的坐标，由已知向量等式可得m，n，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明m+n为定值；方法2、由题意知，F(1,0)，m1,n1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,y0)，由向量等式可得9m2+24m+124y02=0，9n2+24n+124y02=0，由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9x2+24x+124y02=0的两个实数根，再由根与系数的关系得m+n=249=83为定值【详解】(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,0)，a=2，又e=12，c=1，则b=a2c2=3

4、椭圆的方程为x24+y23=1；(2)证明：方法1、由题意知，F(1,0)，可知直线AB的斜率存在，设其方程为y=k(x1)，则P(0,k)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x11，x21由PA=mAF，得(x1,y1+k)=m(1x1,y1)，m=x11x1，由PB=nBF，得(x2,y2+k)=n(1x2,y2)，n=x21x2，联立y=k(x1)x24+y23=1，得(4k2+3)x28k2x+4k212=0 x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2124k2+3故m+n=x11x1+x21x2=x1+x22x1x21(x1+x2)+x1xx2=8k24k2+324k212

5、4k2+318k24k2+3+4k2124k2+3=249=83；方法2、由题意知，F(1,0)，m1，n1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,y0)，由PA=mAF，得(x1,y1y0)=m(1x1,y1)，x1=mm+1，y1=y0m+1，故A(mm+1,y0m+1)，A点在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上，14(mm+1)2+13(y0m+1)2=1整理得：9m2+24m+124y02=0同理，由PB=nBF，得9n2+24n+124y02=0由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9x2+24x+124y02=0的两个实数根m+n=249=83【点睛】本题考查椭圆方

6、程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题7已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点且斜率大于0的直线与交于两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，.（1）求椭圆的方程；（2）当均不重合时，记，若，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）根据特殊情况当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，可得到的值；（2）设出直线l，求出点M、N，设出点P、Q，利用条件，得出与的关系、与的关系，根据条件，得出.，再借助韦达定理对求解出的值，进而得到斜率.【详解】解：（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，所以故，因为，因此，所以椭圆的方程为.（2）设，所

7、以，所以.因为斜率大于0，所以，设，则，由得， 同理可得，两式相乘得，又，所以，所以，即，即由题意，知，所以.联立方程组，得，依题意，所以，又，所以，因为，故得，所以，即直线的斜率为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的问题，求解本题时应大胆多设变量，小心化简，通过一定的手段（设而不求、韦达定理等）进行减元，将多变量问题转化为少变量（单变量）问题.8如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.【答案】；【解析】解：（I）NP为AM的

8、垂直平分线，又动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为曲线E的方程为4分（II）当直线GH斜率存在时，设直线CH方程为代入椭圆方程，得6分设则又10分又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是12分9已知双曲线C：与直线l：x + y = 1相交于两个不同的点A、B(I) 求双曲线C的离心率e的取值范围；() 设直线l与y轴交点为P，且，求的值【答案】，【解析】解：（）由曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的解，消去Y并整理得： 2分双曲线的离心率5分6分即离心率e的取值范围为7分（）设 w.w.w.c.o.m,，得9分由于是方程的两个根，即

9、，得，12分解得14分10给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点(1)设的斜率为1，求与夹角的余弦值；(2)设，若4，9，求在y轴上截距的变化范围【答案】（1）；（2）在y轴上截距的变化范围：.【解析】试题分析：（1）先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线l的方程，代入抛物线方程消去x，设出A，B的坐标，根据韦达定理，结合平面向量的数量积运算，可求与夹角的余弦值；（2）得关于x2和y2的方程组，进而求得x2=得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，判断g（）在4，9上是递减的在4，9上是递减的，即可得到答案详解：（1）C的焦

10、点为F（1，0），直线l的斜率为1，l的方程为y=x1将y=x1代入方程y2=4x，整理得x26x+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=4cos，=与夹角的余弦值为（2）由题设得（x21，y2）=（1x1，y1），即x21=（1x1），y2=y1由得y22=2y12，y12=4x1，y22=4x2，x2=2x1联立解得x2=依题意有0B（，2）或B（，2），又F（1，0），得直线l的方程为（1）y=2（x1）或（1）y=2（x1）当4，9时，l在y轴上的截距为或，设g（）=，4，9，可知g（）=在4，9上是递减的，或，即直线l在y轴上截距的变化范围为，或点