新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第24讲 直径问题（解析版）

1、第24讲 直径问题1如图，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于，的三点，直线，围成一个平行四边形，求.【解答】解：设，斜率分别为， 则，的斜率为，且，所以，同理，因此2已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，求的最小值【解答】解：设，由，整理得：，即，则，则，即，则，当且仅当，即，或，当且仅当，即，或，综上可知：的最小值，故选：3已知椭圆的离心率是，是坐标原点，点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别是，（）求证：为定值；（）设直线交椭圆于，两点，且的面积是，求椭圆的标准方程【解答】证明：，可得设，则，可得：解：由题意可得：不垂直于

2、轴，设直线的方程为，联立，化为：设，即，化为：，点到直线的距离的面积，解得椭圆的标准方程为4如图，已知椭圆的离心率为，且过点，为椭圆上一点，过坐标原点作圆的两条切线分别交椭圆于点，直线，的斜率存在且不为零，分别记为，（）求椭圆的方程；（）求证：为定值；（）请问的面积是否为定值？若是，请求出定值并证明；若不是，请说明理由【解答】解：由题意可得：，联立解得，椭圆的方程为：证明：设经过原点的圆的切线的方程为，则，化为：，则，是此方程的两个实数根则，又，可得，解：的面积为定值1下面给出证明联立，化为：，不妨设取同理可得：直线的方程为：，原点到直线的距离，5在平面直角坐标系中，已知椭圆，其焦点到相应准线

3、的距离为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，求的值；延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值【解答】解：（1）由题意可知，解得：，椭圆的方程为：；（2）方法1：设直线，设直线，则，解得：，同理可得，点到的距离为，因为的面积为，所以，即，即，所以，所以；方法2：齐次化设，因此，由，因此，直线，的斜率存在时，两边同除以，则，所以，因此；方法3：参数法设，因为，因此，则，则，所以，所以；证明：因为，所以，设交椭圆于，且，因此，即，所以，即，因为，都在椭圆上，则，所以，整理得，且，所以，即，所以，所以为定值总结：椭圆，为椭圆上的动点，设，且满足

4、，则有：，；为椭圆上一点，且，且6已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆右焦点且垂直于轴的一条直线交椭圆于，两点，（）求椭圆的方程；（）已知两点，设，是椭圆上的三点，满足，点为线段的中点，求的值【解答】解：（） 依据题意可设椭圆，则有：，解得，椭圆；（）设，则，由，得，又点在椭圆上，则有，综合、得：又线段的中点为，且上式表明，点在椭圆上，且该椭圆的两个焦点恰好为两点，由椭圆定义有7已知椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为4求椭圆的方程；如图，椭圆内切于四条直线，所围成的矩形，、是矩形的两个顶点（1）设是椭圆上任意一点，且，求证：动点在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若

5、、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积等于直线、的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由【解答】解：由题意知椭圆的离心率，即又，所以，即，所以因为四个顶点围成的四边形面积为4，所以，即，解得，故椭圆的方程为；（5分），（1）设，则由，得，所以，即故点在定圆上（10分）（2）设，、，则平方得，即（12分）因为直线的方程为，所以到直线的距离为，所以的面积，故的面积为定值1（16分）8已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，若，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，

6、说明理由【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，则，所以（2分）因为直线与圆相切，则，即（4分）解得，所以椭圆的方程是（5分）（2）设直线的方程为，点，将直线的方程代入椭圆方程，得，即，则，（7分）由已知，则，即，所以，即因为，则，即，从而，（10分）所以为定值（12分）9已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点，；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题设可知：，解得，椭圆标准方程为；（2）设，则

7、由，得，由得，当且仅当时取等号；（3）设，则由，得，即，点、在椭圆上，即，点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为、，则由椭圆的定义，得，存在常数，和平面内两定点，使得动点满足10已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k若直线PA平分线段MN，求k的值；对任意，求证：【答案】(1) 椭圆方程为;(2)见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分

8、析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，令或，得出顶点和焦点坐标，代入椭圆的标准方程中，得出a和b的值；第二问，将直线PA方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到，即得到B点坐标，计算出向量和的坐标，利用向量的数量积证明试题解析：（1）在直线中令得；令得，则椭圆方程为（2），M、N的中点坐标为（，），所以法一：将直线PA方程代入，解得记，则，于是，故直线AB方程为代入椭圆方程得，由，因此，法二：由题意设， A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系11设F1,F2分别为椭圆C(1)若椭圆C上的点(2)设点K是(1)

9、中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）到两交点的距离之和为4，点在曲线上，列出的方程求解即可。（2）设椭圆上的动点为，线段的中点,利用中点的坐标关系式，列出与的坐标关系，用表示出，代入椭圆方程即可。（3）分别设出的坐标，表示出斜率化简整理即可。详解：(1)椭圆C的焦点在x轴上.由椭圆上的点A到F1,F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A,+=1,b2=3.c2=a2-b2=1.椭圆C的方程+=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:x=,y=,x1=2x+1,y1=2y.+=1,+=1为所求的轨迹方程.(3)类似的性质为:若M,N是双曲-=1(a0,b0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.证明:设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其-=1.又设