新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第26讲 外接圆问题（解析版）

1、第26讲 外接圆问题一解答题 1已知抛物线，是的准线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）当点在轴上时，求切线，的方程；（2）设圆是的外接圆，当圆的面积最小时，求圆的方程【解答】解：（1）抛物线，准线的方程，点在轴上，设，且，由，求导，解得，切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，（2）如图：设点，设过点与抛物线相切的直线方程为，由，即切线，互相垂直即是直角三角形，的外接圆直径为弦当圆的面积最小时，即是最短时，此时垂直轴，的外接圆圆心为，圆的方程为2已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切（）求动圆的圆心轨迹的方程；（）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，两条切线相交于

2、点，求外接圆面积的最小值【解答】解：（）设点到直线的距离为，依题意设，则有化简得所以点的轨迹的方程为（）设，代入中，得设，则，所以因为，即，所以所以直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以，即为直角三角形所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为3已知椭圆的两个焦点分别为和，、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且求椭圆的离心率；设直线上有一点，在的外接圆上，求的值【解答】解：（），且，是和的中点，不妨设，由，代入得：，即椭圆的离心率；（）由（）知，得，椭圆的方程可设为若，则，线段 的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点

3、是外接圆的圆心因此，外接圆的方程为直线的方程为，于是点的坐标满足方程组：，由，解得故；若，则，同理可得4已知椭圆经过点，且其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与轴的正半轴相交于点，经过点的直线与椭圆相交于另一点，且满足，求外接圆的方程【解答】解：（1）椭圆经过点，椭圆的离心率为，即联立解得：，椭圆的方程为；（2）椭圆的方程为，设，则，且，即，联立解得：，或，或，当为时，的外接圆是以为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为：；当为时，设的外接圆方程为：，则，解得，此时外接圆的方程为：，综上所述，的外接圆的方程为：或5已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过抛物线的焦

4、点（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，过作两条直线和，其斜率分别为、，满足，它们分别是椭圆的上半部分相交于，两点，与轴相交于，两点，使得，求证：的外接圆过点；（3）设抛物线的准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的中点为，点在上的投影为，求的最大值【解答】（1）解：由已知，设椭圆的方程为，则，离心率为，椭圆的方程为；（2）证明：由题意，并且和，关于轴对称，与，与也分别关于轴对称，的方程代入椭圆方程，可得，或，或，直线是椭圆的上半部分相交，和的方程分别为或，令，可得，四点共圆，的外接圆过点；（3）设，则，由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得，时，的最大值为6如图，在平面直角坐标系

5、中，已知，直线与线段、分别交于点、（）当时，求以，为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；（）过点作直线交于点，记的外接圆为圆求证：圆心在定直线上；圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由【解答】解：（）设椭圆的方程为，当时，中点为，所以，椭圆的标准方程为；（）证明：直线；所以可得，直线交于点，设的外接圆的方程为，则圆心坐标为圆心在定直线上；由可得圆的方程为：整理可得，且联立此两方程解得，或，圆恒过异于点的一个定点，该点的坐标为，7已知的边边所在直线的方程为点关于点的对称点为，点在边所在直线上且满足求边所在直线的方程；求的外接圆的方程；若点的坐标为，其中为正整数试讨论在的

6、外接圆上是否存在点，使得成立？说明理由【解答】解：，又在上，为，（1分）又边所在直线的方程为，所以直线的斜率为（2分）又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为即（3分）与的交点为，所以由解得点的坐标为，（5分）（6分）又（7分）从外接圆的方程为：（8分）若在的外接圆圆上存在点，使得成立，则为线段的垂直平分线与圆的公共点所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点由，知的斜率为，线段的中点为线段的垂直平分线为（10分）圆的圆心到直线的距离为（11分）当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点当时，此时直线与圆相离，不存在满足条件

7、的点（14分）8过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（） 证明：为定值；（） 记的外接圆的圆心为点，点是抛物线的焦点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由【解答】解：（）证明：法1：由，得，所以所以直线的斜率为因为点，和，在抛物线上，所以，所以直线的方程为（1分）因为点在直线上，所以，即（2分）同理，（3分）所以，是方程的两个根所以（4分）又，（5分）所以为定值（6分）法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为，（1分），消去得，由，化简得（2分）所以（3分）由，得，所以所以直线的斜率为，直线的斜率为所以，即（4分）又，（5分）所以为定值（6分）（） 法1：直线的垂直平分线方程为，

8、（7分）由于，所以直线的垂直平分线方程为（8分）同理直线的垂直平分线方程为（9分）由解得，所以点（10分）抛物线的焦点为，则由于，（11分）所以所以以为直径的圆恒过点（12分）另法：以为直径的圆的方程为（11分）把点代入上方程，知点的坐标是方程的解所以以为直径的圆恒过点（12分）法2：设点的坐标为，则的外接圆方程为，由于点，在该圆上，则，两式相减得，（7分）由（）知，代入上式得，（8分）当时，得，假设以为直径的圆恒过点，则，即，得，（9分）由解得，（10分）所以点（11分）当时，则，点所以以为直径的圆恒过点（12分）9已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（1）当的

9、坐标为时，求过，三点的圆的方程；（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；（3）证明：以为直径的圆恒过点【解答】解：（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，因为到的中点的距离为2，从而过，三点的圆的方程为（2）证明：抛物线，导数为，可得，是上的任意点，点处的切线的斜率为；（3）证明：设切点分别为，切线的方程为，即，切线的方程为，即，又因为切线过点，所以得，又因为切线也过点，所以得，所以，是方程的两实根，由韦达定理得，因为，所以，将，代入，得，则以为直径的圆恒过点10（2020广州一模）已知点是抛物线的顶点，是上的两个动点，且（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，即，因为，而，所以，解得，满足判别式大于0，即直线方程为，所以恒过可得点在