9.2.4 总体离散程度的估计（1）

1、总体离散程度的估计教材分析本节普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章924总体离散程度的估计，本 节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数 字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想 方法的理解。从而开展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.会用样本的极差、方差与标准差估计总 体B.通过用样本的数字特征估计总体的数 字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。C.培养学生收集数据、分析数据、归纳和 整理数据，增强学习的积极性。.数学建模：在

2、具体情境中运用极差、方差与标准差.逻辑推理：运用极差、方差与标准差进行推断.数学运算：极差、方差与标准差的计算.数据分析：运用极差、方差与标准差分析判断教学重难点.教学重点：方差、标准差的计算方法。.教学难点：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。课前准备多媒体教学过程教学过程教学过程教学设计意图一 23元+ 279z = 165.223 + 271 232752=右电（七一刃2+.（匕一刃2 U /=ij=1 2327=云（七一-+亍一刃2+（%一.+歹一刃23U /=ij=2323,Z（苍亍+亍彳）2=Z （玉_元）2 + 2（玉无）（亍-2）+ （X-Z）2Z=

3、1i=l2323由Z（七一元）=2%一 23亍=。，可得 /=1i=i23232（七一x）（x - z） =2（元-彳）Z（七一X）=0i=lz=l27同理可得E 2（匕9）（9为=0 j=i 1 2327/二京5一方+之一方 3U /=1j=i1 2327=苴2（七一无十无一为2+工（匕一歹+歹一为2U /=ij=i1 2327因此/ =示2（%君2+（元为2 +之（匕一切2十（歹一可21 5U z=i7=1123232727=-（七一元+（无一+之（匕-一切2u =1/=1j=ij=i男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.

4、625 = 165.2把的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得Y = 51.4862 = 23+(x-z)2 + 27s j +(y-z)2分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为其中两层的个体数量分别为ni,m,两层的平均数分别为Ti,方差分别为si, si,那么这个样本的方差为s2=-s?+(x 1- x)2+sH(x2- x)2跟踪训练1.在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各 组成一个评判小组，给参赛选手打分.在给某选手的打分中，专业 人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均 数和标准差为56.2和11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平

5、 均数和方差.解析:把专业人士打分I体记为知孙一,麴,其平均皴证为工，方差记为也掴眼裱打分样 本记为a方距其平内教为力方差诩版;把总体教据的鞘费记为I,方差记为上 TOC o 1-5 h z _ Q17那么总样本平均数为：Z =X47.4+X56.2=52.68(分)， / UXU18_12_总样本方差为：=对 (Xiz)2 + S 0; z )2 U i=l/=1=豕居+(mi2M+(力一1=8 3.72+(47.452.68)2+12 U.82+(56.2-52.68)2 = 107.6所以这名选手得分的平均数为52.68分，方差为107.6计算分层随机抽样的方差2的步骤确定 X 1, X

6、 2, s+, si,(2)确定x ；(3)应用公式 2=号国+( X 1 X )2+%d+( X 2 X )2.计算 S2.假设通过简单随机抽样，获得了 100户居民的月均用水量数据(单位：/)x-5 = 2.59, x+ 5 = 14.99, x 2s 3.61, x + 2s = 21A9.x-5 = 2.59, x+ 5 = 14.99, x 2s 3.61, x + 2s = 21A9.如下图，可以发现，这100个数据中大局部落在区间反 2s,x + 2sx-2s,x + 2s9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96

7、.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.72.420.59.55.53.715.717.02.65.73.84.15.52.36.016.05.37.88.14.313.36.fi1.37.04.91.87.14.63.221.6计算出样本平均数x28.0 10.213.817.9=8.79,样本标准差s大6.2

8、010.15.5x - 2s, x + 2s无s,五+ s内，在区间外的只有7个.也就是说，绝大局部数据落在内.样本标准差刻画了数据离平均数波动的浮动大小，平均数和标准差 一起能反映数据取值的信息.三、达标检测通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，开展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，开展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。1 .为评估一种农作物的种植效果，选了 块地作试验田.这块地的亩 产量（单位:kg）分别是X ，,X，下面给出的指标中可以用来评估这种2 n农作物亩产量稳定程度的是（）A.x X的平

9、均值 1 2 nB.x的标准差2 nC.x ,力的最大值 1 2 nD.x / ,H的中位数 1 2 n答案:B解析:在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量，它是反映数据集 中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程 度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度，故B可以用来评估这 种农作物亩产量的稳定程度;在C中，最大值是一组数据中最大的量， 故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中，中位数将 数据分成前半局部和后半局部,用来代表一组数据的“中等水平”，故D 不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度，应选B.2.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,123.假设

10、该样本的平均值为1, 那么样本的方差为（）A.电B.C.V2 D.2解析:由平均值为1可得竺笺工=1,解得。=-1,所以样本方差s2=3X吟2位=2,应选D.答案:D3.(多项选择)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统 计图如下图，那么以下选项判断不正确的有()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差从频数2-0 3456789 10 环数J频数3pi2-.Un.O 3456789 1(乙解析:由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,69所以

11、甲、乙的成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、 乙 的成绩的方差分别为2x(4-6)2+(56)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2=25x(5-6)2+(5-6)2+(56)2+(6- 556)2+(9-6)2二苔C对;甲、乙的成绩的极差均为4,D错.*3答案:ABD4甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击工程选拔赛，四人的平均成绩 和方差如下表所示： 假设要从这四人中选择一人去参加该运动会射击工程比赛，最正确人选是.（填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个）中乙丙T平均环数又8.38.88.88.7方差63.53.62.25.4答案:丙解析:分析表格数据可知

12、，乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小， 说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最正确人选为丙.计算数据54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根据简化公式进行计算，也可以把每个数据减去一个数，用找 齐法计算.解：（解法一 *2 = 542 + 552 + 532+562 + 572 + 582=3。83. 17* =55.5,故 52=3 62=2.92.（解法二）每个数据减去55得到新的数据组-1Q.2,1,2,3,该组数据的方 差与原数据组的方差相等，且/ = 1+。匕；+4+9W.*, % = 6J+-2+i+2+3=0.5,故 s2=3.17-0.52=2.92. 6.在一次科技

13、知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：请根据 你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣, 并说明理由.分数50607080901OO人数甲组251O13146乙组441621212解甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比 较看，甲组成绩好些.(2) X 甲=12+5+10+13+14+6(50 x2 + 60 x5 + 70 x10 + 80 x13 +90 x14+100 x6)=7x4 000=80, 。VZT 乙 j, - juCOx4 + 60 x4 + 70 x16+80 x2 + 90 x12 + 4十4十十2十12r 1Z100 x12)

14、=7x4 000=80.蝇= 2+5+10；13+14+612x(5080)2+5x(6080)2+10 x(7080)2+ 13x(80-80)2+14x(90-80)2+6x(10080)2 = 172,在=4+4+16+2+12+12Ux(5080)2+4x(6080)2+16x(7080)2 +2x(8080)2+12x(9080)2+12x(10080)4=256. 甲=X乙，svs 甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在 80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分) 的有26人.从这一角度看，甲

15、组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩 大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同 时，乙组得总分值的人数比甲组得总分值的人数多6人.从这一角度看, 乙组的成绩较好.四、小结.极差的定义及特征:.方差、标准差的定义及特征总体方差、总体标准差的定义样本方差、样本标准差的定义.会求方差、标准差，并做出决策.方差的运算性质：.会求分层抽样的方差五、课时练通过总结，让学 生进一步巩固本节 所学内容，提高概括 能力。教学反思本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样 本的数字特征估计总体的数字特征以

16、及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计 学思想方法的理解。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。 从而开展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。核心素养目标一、温故知新一、温故知新众数定义:一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应 的样本数据）称为这组数据的众数.特征:一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数 据的集中趋势.（2）中位数由回顾知识出 发，提出问题，让学 生感受到对反映样 本数字离散程度的 估计量；极差、方差 与标准差学习的重 要性。开展学生数学 抽象、直观想象和逻 辑推理的核心素养。由回

17、顾知识出 发，提出问题，让学 生感受到对反映样 本数字离散程度的 估计量；极差、方差 与标准差学习的重 要性。开展学生数学 抽象、直观想象和逻 辑推理的核心素养。义:一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最空 间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当 数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.恃征:一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.平均数B义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据孙加的平均 1 2 n数为备=吃+丁特征:平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任 何一

18、个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具 有的性质,所以与众数、中位数比拟起来,平均数可以反映出更多的关 于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均 数在估计总体时的可靠性降低.1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横 坐标。2、利用频率分布直方图（频率分布表），求样本的平均数、中位数 和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.2、在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。3、平均数是频率分布直方图的“重

19、心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。三种数字特征的优缺点名称优点缺点众数表达了样本数 据的最大集中点； 之溶易得到它只能表达样本数据中 很少的一局部信息;无法 客观地反映总体特征不受少数几个极端数据,即排序中靠前或靠后的儿位个数据的影响;对极端值不敏感数容易得至小便于利用中间数据的信平能反映出更多关任何一个数据的改变都会均于样本数据全体引起平均数的改变,数据越数的信息“离群”，对平均数的影响越 大二、情境与问题样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”, 其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表 达样本数据中的

20、少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本 中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大,当样本数 据质量比拟差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置, 可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很 多时候还不能使我们做出有效决策.因此，我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.方差、标准差通过具体问题， 让学生感受反映样 本数字离散程度的 估计量；极差、方差 与标准差学学习解 决实际问题中的运 用，开展学生数学抽 象、逻辑推理的核心 素养。通过具体问题， 让学生感受反映样 本数字离散程度的 估计量；极差、方差 与标准差学学习解 决实际问题中的运 用，开展

21、学生数学抽 象、逻辑推理的核心 素养。.思考(1)平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时 也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端 的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的,因此，只用平均数还难以 概括样本数据的实际状态.例如:有两位射击运发动在一次射击测试中各射靶10次,每次命 中的环数如下：甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙:9 578768677如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗？提示:经计算得土甲=卷(7+8+7+9+5+4+

22、9+10+7+4)=7,同理可得到二7 他们的平均成绩一样.难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的 频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗？提示频率分布条形图如下：从图上可以直观地看出他们的水平还是有差异的，甲成绩比拟分(2)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与 标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢？提示:通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均 数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类 似的.只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.考虑一个容量为2的样本孙其样本的标准差为第，如果记 环弩,那么在数轴

23、上H和0有什么几何意义?由此说明标准差的大小 对数据的离散程度有何影响？提示三和a的几何意义如下图,显然，标准差越大，那么a越大,数据的 离散程度越大，数据较分散;标准差越小，那么，越小，数据的离散程度越 小，数据较集中在平均数进I勺周围.填空假设一组数据是即盟,现,用完表示这组数据的平均数.我们用每 个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|%何（注12.,）作为为 到元的“距离”.可以得到这组数据汨论,用到土的“平均距离为 -1 n-Z |为-刈.为了防止式中含有绝对值,通常改用平方来代替，即 ni=l18友）2,我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们171O还把方差写成三

24、三 n i=l由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了 使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即工g （阳2,我们称为这组数据的标暹差.0二1如果总体中所有个体的变量值分别为九丫2,加,总体平均数为匕 那么称俨=Z （匕为总体方差,5=5为总体标准差.与总体均值类 N i=l似，总体方差也可以写成加权的形式如果总体的N个变量值中，不同 的值共有个，不妨记为 九%,打，其中匕出现的频数为1 k 的=1,2,.火）,那么总体方差为仔=1x*匕-YRN i=i（3）如果一个样本中个体的变量值分别为样本平均数为歹, 那么称6=- 8-歹）2为样本方差,S=V为样本标准

25、差.ni=l对标准差和方差的理解（1）样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度, 标准差越小，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之，标准 差越大，说明各样本数据在样本平均数的周围越分散.通过实例分析，让 学生掌握反映样本 数字离散程度的估 计量；极差、方差与 标准差的计算方法， 并熟悉的应用，提升 推理论证能力，提高 学生的数学抽象、数 学建模及逻辑推理 的核心素养。假设样本数据都相等，那么5-0.当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来 估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差

26、反映了 一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感;方差那么 反映了一组数据围绕平均数波动的大小,为了得到以样本数据的单位 表示的波动幅度,通常用标准差样本方差的算术平方根来描述.标准差的大小不会越过极差.(6)方差、标准差、极差的取值范围为0,+oo).当标准差、方差为。时, 样本各数据全相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性.(7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程 度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但 在解决实际问题时，一般采用标准差.(8)在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本 平均数估计总体平均数一样

27、，通常我们也用样本标准差去估计总体标 准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.做一做.判断以下说法是否正确，正确的在后面的括号内打“牝错误的打“X”.标准差、方差越大，数据的离散程度越大;标准差、方差越小，数据的离散程度越小.()算两组数据的方差一样大，那么说明这两组数据都是相同的.()答案:VX.对划艇运发动甲、乙在相同的条件下进行了 6次测试，测得他们每次 的最大速度(单位:m/s)如下：甲 27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁更优秀.解：元甲=1x(27+38+30+37+35+31)=33,s2 =甲-x(27-33)2+(38-33)24-(30-33)2+(37-33)2+(35-33)24-(31-33)2=-x94-15 TOC o 1-5 h z 61M乙屋(33+29+38+34+28+36)=33,s2 =-x(33