新教材高一数学必修第二册暑假作业第05练《余弦定理》（解析版）

1、第05练 余弦定理【知识梳理】知识点一 余弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccos A，b2a2+c22accos_B，c2a2+b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；a：b：csinA：sinB：sinC；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A，cos B，cos C解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；

2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角一选择题（共8小题）1中，角、所对的边为，若，则ABCD【分析】由已知直接利用余弦定理求解【解答】解：中，角、所对的边为，由，得，故选：【点评】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题2在中，则A1B2CD【分析】由已知直接利用余弦定理求解【解答】解：在中，由，得，则故选：【点评】本题考查余弦定理的应用，是基础题3在中，内角，的对边分别为，且，则ABCD【分析】化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可得的值【解答】解：因为在中，内角，的对边分别为，且，所以，所以，因为，所以故选：【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4

3、在中，则ABCD【分析】直接利用余弦定理求出，然后求出的大小即可【解答】解：因为在中，设、所对的边分别是、，若，由余弦定理可知，所以故选：【点评】本题考查余弦定理的应用，解三角形的知识，考查计算能力，属基础题5的内角，的对边分别为，已知，则ABC3D【分析】根据已知条件，先求出，再结合余弦定理，即可求解【解答】解：，则，故，解得故选：【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题6中内角，所对的边分别为，已知，则ABC3D7【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果【解答】解：由于，利用余弦定理：；故：故选：【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题7已

4、知的内角、的对边分别为、，若的面积为，则ABCD【分析】直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果【解答】解：的面积为，所以，整理得；由于；故故选：【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题8在中，角，所对的边分别为，且，则ABCD【分析】利用余弦定理可求的值，可求【解答】解：由，可得，故选：【点评】本题考查余弦定理的应用，属基础题二多选题（共4小题）9在中，角，的对边分别为，若，则角可能等于ABCD【分析】由已知利用余弦定理可得，将各个选项的的值代入，求解的值即可判断【解答】解：因为，又由余弦定理，若，则，化简可得，故错误；若，则，

5、化简可得，故正确；若，则，化简可得，故正确；若，则，化简可得，故正确故选：【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10在中，若，则角的值可以为ABCD【分析】利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，转化求解即可【解答】解：在中，若，可得，所以，解得或故选：【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基础题11在中，内角，的对边分别是，下列结论正确的是A若，则为等腰或直角三角形B若，则C若，则D若，则符合条件的有两个【分析】选项，利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，推出或，得解；选项，由余弦定理，即可得解；选项，根据“大边对大角”和正弦定理，得解

6、；选项，利用正弦定理求得，再由“大边对大角，知角只有一个，得解【解答】解：选项，由正弦定理及，知，所以，所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，即选项正确；选项，由余弦定理知，因为，所以，即选项错误；选项，因为，所以，由正弦定理知，所以，即选项正确；选项，由正弦定理知，所以，解得，又，所以，所以角只有一解，即符合条件的只有1个，故选项错误故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题12在中角，的对边分别，则下列说法正确的是A为锐角三角形B面积为或C长度为6D外接圆的面积为【分析】由，得，又，所以，又，所以，解得或，从而即可对选项逐

7、一判断【解答】解：由，得，又，所以，又，所以，解得或，故选项错误；当时，所以为钝角，选项错误；当时，；当时，选项正确；，所以，所以外接圆的面积为，选项正确，故选：【点评】本题主要考查余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题三填空题（共6小题）13已知中，角，所对边分别为，且满足，则【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果【解答】解：，直接利用余弦定理，转换为，整理得，由于，所以故答案为：【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题14内角，的对边分别为，若的面积为，则【分析】化简已知得，解方程可求，进而求得【解答】解：，由余弦

8、定理得，结合，得，所以，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题15在中，角，所对的边分别为，已知，则【分析】由题意，利用余弦定理求得，从而求得的值【解答】解：中，角，所对的边分别为，由余弦定理可得，即，再把代入，可得则，故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于中档题16已知在四边形中，且则7【分析】在中，利用余弦定理求得的长，再由正弦定理求出的值，利用，初步确定的范围后，即可得；进而可得的值，以及，从而求出，不妨设，由，可得，根据两角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解【解答】解：中，由余弦定理得，因为，所以，由正弦定理知，所以，所以或，因为，所以，若

9、，则，不符合题意，所以可得，且，所以，因为，所以不妨设，因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，所以故答案为：7【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17的内角，的对边分别是，已知，则若，则的面积为 【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：由于，则，由于；所以；故故答案为：【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题18在中，若，则【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解【解答】解：，故答案为：【点评】本题主要考查

10、余弦定理，考查计算能力，属于基础题一选择题（共3小题）19在中，的对边分别为，若，当角最大时，则ABCD【分析】角化边可得，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得取最小值时最大，进而得到，求得，即可求得【解答】解：由可得，所以，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为，此时角最大，且有，故，又，所以，故选：【点评】本题考查余弦定理的应用，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题20已知锐角外心为，面积为，角，所对的边分别为，满足，若，则的最大值为ABCD【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式先求出，然后结合向量数量积的定义及性质进行化简，再由基本不等式可求【解答】解：由，得，即，因为为三角形内

11、角，所以，因为锐角外心在三角形内部，设，分别为，的中点，又，所以，同理，得，联立得，化简得，当且仅当时取等号，解得或，由得，所以，所以，即故选：【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的定义及性质，基本不等式求解最值的综合应用，属于中档题21在平面四边形中，则的最小值为ABCD【分析】先设，在中正弦定理和余弦定理结合求出，再在中结合余弦定理以及辅助角公式即可求解【解答】解：设，在中，由正弦定理得即，由余弦定理得，且，中，由余弦定理得，当时，取得最小值故选：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题二填空题（共1小题）22已知在四边形中，且则7【分析】在中，利用余

12、弦定理求得的长，再由正弦定理求出的值，利用，初步确定的范围后，即可得；进而可得的值，以及，从而求出，不妨设，由，可得，根据两角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解【解答】解：中，由余弦定理得，因为，所以，由正弦定理知，所以，所以或，因为，所以，若，则，不符合题意，所以可得，且，所以，因为，所以不妨设，因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，所以故答案为：7【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题三解答题（共1小题）23如图，在平面四边形中，（1）证明：；（2）记与的面积分别为和，求的最大值【分析

13、】（1）在，中，由余弦定理可得，即可得证（2）由题意利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求得，利用余弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其最大值【解答】解：（1）证明：因为在平面四边形中，所以在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，所以，即（2）因为与的面积分别为和，所以，则由（1）知：，代入上式得，所以当时，取到最大值14【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，余弦函数的性质以及二次函数的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题一选择题（共2小题）24在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为ABCD【分析】根据余弦定理和的面积

14、公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围【解答】解：中，由余弦定理得，且的面积为，由，得，化简得，又，所以，化简得，解得，或（不合题意，舍去），所以，由，且，解得，所以，所以，所以，设，其中，所以，当且仅当时，即时取最小值，由于，且函数在，上单调递减，函数在，上单调递增，又，所以，故选：【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理转化能力，属于难题25在非等腰中，内角，满足，若关于的不等式对任意，恒成立，则角的取值范围为A，B，C，D，【分析】首先整理式子，可得，由非等腰，可得，则：在，恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：，

15、再利用三角函数的性质，即可得解【解答】解：在中，由，代入可得：，所以：，整理可得：，即：，因为非等腰，所以，代入，两边同除，可得：，在，恒成立，可得，即，又因为，则，所以，即，又因为非等腰，所以，所以，故选：【点评】本题考查了解三角形，考查了三角形的性质及恒等变换公式，考查了转化思想和基本不等式，本题解题的关键是对原式的处理，使之能使用基本不等式，而不能走进一元二次不等式的误区，进行讨论，属于较难题二填空题（共1小题）26已知在中角，所对的边分别为，若，则；设为边的中点，当取得最大值时，的面积是【分析】利用正弦定理把转化为，可求值；利用，两边平方，再结合余弦定理可求得的面积【解答】解：（1）由

16、正弦定理可把转化为，得：，故在中，；（2）是中点，由余弦定理得：，当且仅当 “时取“”此时底边上的高，故的面积为【点评】本题考查正余弦定理的应用、三角形面积公式、基本不等式、向量加法几何意义及向量数量积运算，考查数学运算能力，属于难题三解答题（共2小题）27随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有，三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；（1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）某一时刻太阳与，三点在同一直线，此时地到直线的距离为，求的最大值【分析】（1）根据，分别在与中利用余弦定理，可得且两式联解即可得出用表示、的式子，再根据基本不等式与实际问题有意义建立关于的不等式组，解之即可得到的取值范围；（2）根据是的中线，利用三角形的面积公式算出，解出，设，由于在区间，上是增函数，可得当时，有最大值，由此可得当时的最大值为10【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，又，所以在中，由余弦定理得，得，可得：，得，又因为：，所以，即，又，即，所以（2）是的中点，可得，故，又，得设，所以，又，在上都是增函数；所以，在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上