新教材高一数学必修第二册暑假作业第06练《复数的概念》（解析版）

1、第06练 复数的概念【知识梳理】知识点一 虚数单位i、复数的概念【虚数单位i的概念】 i是数学中的虚数单位，i21，所以i是1的平方根我们把a+bi的数叫做复数，把a0且b0的数叫做纯虚数，a0，且b0叫做实数复数的模为【复数的运算】复数的加法，若Ma+bi，Nc+di，那么M+N（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加复数的乘法，若Ma+bi，Nc+di，那么MN（acbd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为解：根据定义，可知1zi（1）z4+2i，即z（1+i）4+2i，z3i这个题很好地反应了复数的一般考法

2、，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法【复数的概念】形如a+bi（a，bR）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则a+bi为实数；若b0，则a+bi为虚数；若a0，b0，则a+bi为纯虚数2、复数相等：a+bic+diac，bd（a，b，c，dR）3、共轭复数：a+bi与c+di共轭ac，b+d0（a，b，c，dR）4、复数的模：的

3、长度叫做复数za+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|a+bi|一选择题（共12小题）1已知，为虚数单位），则A，B，C，D，【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题2设，其中，为实数，则A，B，C，D，【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解【解答】解：，即，解得故选：【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题3已知为实数，为虚数单位，若是纯虚数，则ABC1D2【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及纯虚数的定义，即可求解【解答】解：为纯虚数，解得故选：【点评】本题主

4、要考查复数的运算法则，以及纯虚数的定义，属于基础题4已知，且，其中，为实数，则A，B，C，D，【分析】根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出、的值【解答】解：因为，且，所以，所以，解得，故选：【点评】本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题5复数的虚部与实部的和为ABC1D7【分析】结合复数的运算法则，先化简，再结合虚部和实部的定义，即可求解【解答】解：，其虚部与实部的和为故选：【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及虚部与实部的定义，属于基础题6已知，若，则ABCD1【分析】根据复数的定义即可求出【解答】解：，若，则，解得故选：【点评】本题考查了复数的定义，属于基础

5、题7复数的虚部为A3BCD【分析】直接利用虚部的定义得答案【解答】解：复数的虚部为故选：【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题8已知，为虚数单位），则实数的值为A0B1C2D3【分析】利用复数的运算法则可得，再根据复数相等列出方程，求出，的值可得答案【解答】解：，为虚数单位），则实数故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9复数是虚数单位）的实部为AB0C1D【分析】结合复数的运算法则，以及实部的定义，即可求解【解答】解：，实部为故选：【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及实部的定义，属于基础题10已知复数为虚数单位），若，则实数A2B2或C4

6、D或4【分析】根据复数的定义可得，求解即可【解答】解：由题意得，解得，故选：【点评】本题考查了复数的定义的应用，属于基础题11若复数为纯虚数为虚数单位），则实数的值为AB0C1D或1【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解【解答】解：复数为纯虚数为虚数单位），解得故选：【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题12复数的虚部是A1BCD【分析】根据复数的虚部的定义判断即可【解答】解：的虚部是，故选：【点评】本题考查了复数的虚部的定义，是基础题二多选题（共7小题）13若复数，则下列正确的是A当或时，为实数B若为纯虚数，则或C若复数对应的点位于第二象限，则D若复数对应的点位于直线上，则【

7、分析】对于，结合实数的定义，即可求解，对于，结合纯虚数的定义，即可求解，对于，结合复数的几何意义，即可求解【解答】解：对于，当或时，故为实数，故正确，对于，若为纯虚数，则，解得，故错误，对于，复数对应的点位于第二象限，解得，故正确，对于，复数对应的点位于直线上，解得或，或，故错误故选：【点评】本题主要考查实数和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题14已知复数满足方程，则A可能为纯虚数B方程各根之和为4C可能为D方程各根之积为【分析】由，得或，分别解出即可得出结论【解答】解：由，可得：或，由，解得，由，配方可得，解得，故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程的解法，考查

8、了推理能力与计算能力，属于基础题15已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为AB的虚部是4C是纯虚数D在复平面上对应点在第四象限【分析】由已知结合复数的运算及复数的概念检验各选项即可判断【解答】解：因为，所以，正确；的虚部为，错误；为纯虚数，正确；对应的点在第四象限，正确故选：【点评】本题主要考查了复数的基本概念的应用，属于基础题16已知为虚数单位，以下说法正确的是AB复数的虚部为2C复数在复平面对应的点在第一象限D为纯虚数，则实数【分析】结合复数的基本概念及复数的几何意义分别检验各选项即可判断【解答】解：，故正确，复数的虚部为，故错误，复数在复平面对应的点为在轴上，故错误，为纯虚数，

9、可得，可得，故正确，故选：【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念及几何意义，属于基础题17下列命题中，真命题为A复数为纯虚数的充要条件是B复数的共轭复数为C复数的虚部为D复数，则【分析】根据纯虚数的定义判断，根据共轭复数的定义判断，根据虚部的定义判断，根据复数的运算性质判断【解答】解：复数为纯虚数的充要条件是且，故错误，复数的共轭复数是，故正确，复数的虚部为，故正确，复数，则，故，故正确，故选：【点评】本题考查了复数的相关定义以及复数的运算，是基础题18已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是ABCD【分析】根据复数的运算性质以及有关定义分别判断即可【解答】解：与是共轭虚数，则设，

10、则，故错误，故正确，故正确，故错误，故选：【点评】本题考查了复数的运算性质，考查复数的有关概念，是基础题19下列四种说法中正确的有A复数是纯虚数B复数中，实部为1，虚部为C复数的共轭复数为，则的一个充要条件是D为虚数单位）【分析】根据纯虚数的概念，可判断的正误；根据实部虚部的概念，可判断的正误；根据充分、必要条件的概念结合复数相等，可判断的正误；根据复数的性质，可判断的正误【解答】解：对于：复数的实部为2，故不是纯虚数，故错误；对于：复数中，实部为1，虚部为，故错误；对于：设，则，若，则虚部为，此时，充分性成立，若，则，则，此时，必要性成立，所以的一个充要条件是，故正确；对于：因为，所以，故正

11、确故选：【点评】本题考查复数的运算，考查学生的运算能力，属于基础题三填空题（共8小题）20若，则【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解【解答】解：，解得，故答案为：【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题21已知，则0【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数相等的条件，即可求解【解答】解：，则，故故答案为：0【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数相等的条件，属于基础题22已知，则1【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解【解答】解：，解得故故答案为：1【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题23若复数是纯虚数，则实数3【分析】根据已知条件，结合

12、纯虚数的定义，即可求解【解答】解：复数是纯虚数，解得故答案为：3【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题24已知，则实数1【分析】根据实数的定义求出的值即可【解答】解：，解得故答案为：1【点评】本题考查了实数的定义，考查方程思想，是基础题25的共轭复数为 【分析】由共轭复数的定义，即可求解【解答】解：由共轭复数的定义，可得的共轭复数为故答案为：【点评】本题考查了共轭复数的定义，是基础题26若是关于的实系数方程的一个根，则3【分析】把直接代入方程，结合复数的运算可求【解答】解：由题意得，即，所以故答案为：3【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题27已知，复数是纯虚数，则【分析】直接

13、由实部为0且虚部不为0求解得答案【解答】解：是纯虚数，解得故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题一选择题（共3小题）28已知复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则下列说法正确的是AB复数在复平面内对应的点在第一象限CD【分析】由为纯虚数，可得，故，判断各个选项，即可求解【解答】解：为纯虚数，解得，故错误，复数在复平面内对应的点在第二象限，故错误，故正确，故错误故选：【点评】本题 主要考查了纯虚数的概念，以及复数模公式和几何含义，属于中档题29给出下列命题（1）实数的共轭复数一定是实数；（2）满足的复数的轨迹是椭圆；（3）若，则；（4）若“，是不全相等的实数”，

14、则；（5）若“，是不全相等的实数”， ，不能同时成立其中正确命题的序号是A（1）（2）（3）B（1）（3）（4）C（2）（3）（5）D（3）（4）（5）【分析】（1）利用共轭复数的定义即可判断出正误；（2）满足的复数的轨迹是线段，即可判断出结论；（3）利用复数的周期性即可判断出结论；（4）若“，是不全相等的实数”， ，必有一个不等于0，即可判断出结论；（5）若“，是不全相等的实数”， ，可能同时成立，即可判断出结论【解答】解：（1）实数的共轭复数一定是实数，正确；（2）满足的复数的轨迹是线段，因此不正确；（3）若，则，正确；（4）若“，是不全相等的实数”， ，必有一个不等于0，则，正确；（5）

15、若“，是不全相等的实数”， ，可能同时成立，不正确其中正确命题的序号是（1）（3）（4）故选：【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义、周期性、不全相等的含义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题30已知，是复数，下列结论错误的是A若，则B若，则C若，则D若，则【分析】由，可得，即可判断出正误；，利用共轭复数的性质可得，即可判断出正误；，又，即可判断出正误；若，取，即可判断出正误【解答】解：，则，正确；，则，正确；，又，则，因此正确；若，取，则故选：【点评】本题考查了共轭复数的性质、模的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题（共1小题）31当复数为实数时，实数3【分析】利用

16、复数的虚部为0，实部有意义，求解即可【解答】解：复数为实数时，可得，解得或（舍去）故答案为：3【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题，注意实部有意义是易错点一解答题（共3小题）32已知复数，若，求的取值范围【分析】利用两复数相等的充要条件得，消去，再利用二次函数的单调性、正弦函数的单调性有界性即可得出【解答】解：，由两复数相等的充要条件得，由二次函数的性质知，的取值范围是，【点评】本题考查了两复数相等的充要条件、二次函数的单调性、正弦函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，属于中档题33（1）实数分别取什么值时，复数是实数，虚数，纯虚数；（2）设，求【分析】（1）先由复数的实部等于0，虚部等于0解出的值，然后根据复数是实数、虚数、纯虚数的定义得到的取值；（2）把要求解的式子通分，然后代入的值进行化简，再设出复数，平方后利用复数相等求出，最后代入化简过的式子得到结果【解答】解：（1）由，得：或由，得：或所以，要使复数是实数，则或；要使复数是虚数，则且；要使复数是纯虚数，则（2）设，由，得