1 公平的选举方法

1、2010年嘉应学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。如果发现抄袭，则要通报批评！我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/中选择一项填写）：B参赛队员（打印并签名）：_指

2、导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年6 月7日公平的选举办法摘要本文讨论的是某部门在某次评优中涉及的公平的选举问题。对于问题1,我们用饼图先粗略估计了评优的2个指标可能落入的单位为甲、乙、 丁。接着建立整数线性规划模型（ILP）来验证估计。我们讨论了只有领导投票和领导 与各单位人员都参与投票这两种情况。其中，只有领导投票时，指标落入的可能单位为 甲、乙；领导与各单位人员都参与投票时，指标可能落入的单位为甲、丁。结合实际， 指标最可能落入的单位为甲、丁。问题2, 3我们依然建立整数线性规划模型来估计指标可能落入的单位.建立模型求 解的结果为：选举可能落入的单位均为甲、乙。我们

3、用加权变异系数即威廉逊系数匕来 描述问题1、2、3的公平度问题。经过计算，得匕广0-41518,匕2=匕3 = 0.1038。可以 看出，问题2的选举方法提高了选举的公平度，但是问题3改变候选人的分配并没有提 高选举的公平性。问题四中，我们首先将模型转化为公平席位分配问题，对候选人名额进行按比例分 配到各单位中。为了进一步保证了候选人分配的合理性，我们采用Q值法来确定各单位 候选人的分配名额。用Q值法进行分配9名候选人及10候选人时，各单位所分配的候 选名额分别为3、2、1、2、1和3、2、2、2、1。接着将投票方式改进为每人选举两人， 但要求投票者只能填写1个本单位人员，1位其它单位人员，且

4、投票人在票上本人同意 的人名下书写数字1，表明支持这两个人，其余不填，最后清点所有候选人所得数字之 和（在统计数字之和时，我们将不填的记为0），数字之和最大的两个候选人当选。同时， 也用加权变异系数匕的值检验改进后的模型的公平性。经计算，得匕4 = 0.05878，数 值比较接近于0，说明问题四提出的选举方法是较合理的，而且也比较符合实际。关键字公平选举整数线性规划（ILP）威廉逊系数（即加权变异系数）Q值法问题重述某部门有5个下属单位，各单位人数情况如下:领导机构甲乙丙丁戊人数257545355025领导倾向2596352上面表中第3行“领导倾向”表示25个领导中有9人在投票中将把票投到甲单

5、位 候选人，6人投乙单位候选人，依次类推。在评选各类先进人物的时候，经常涉及投票的问题。一般各单位人员均倾向于本单 位，领导也有一定的倾向性。但领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候， 首先倾向于本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分 票投向其它单位成员。当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要。在某次评优中，该部门总共有2个指标。负责人让每个单位推荐2位候选人， 然后从这10个人中通过投票选出2人。投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2, 表明支持这两个人，1优先，2次之，其余不填。最后清点10个候选人所得数字之和， 数字之和最小的两个候选人

6、当选。假定每位候选人条件相同，估计这两个指标很大可能 落入哪些单位？该部门为了体现公平，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，1位其它单位 人员。按照这种办法再估计一下选举结果。这种办法是否提高了公平性。为了获得更大的希望，某个单位只推举1位候选人，你认为这种做法是否真的 有利，能否对结果产生影响。只考虑（1）单位甲推举1人，其它4个单位推举2人；（2） 单位丙推举1人，其它4个单位推举2人。提出比较公正合理的选举办法。问题分析考虑到，在现实生活的评优选举中，各单位人员及领导都存在一定的倾向性，一般 来说，各单位人员均倾向于本单位，领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时 候，首先倾向于本

7、单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的 部分票投向其它单位成员。当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要。 由于此次评优只有2个指标，我们假定，这是指标较小的情况，领导的倾向性非常明显。 在解决问题的时候，为了简化问题，我们用数字3表示不支持候选人，最后清点10个 候选人所得数字之和，数字之和最小的两个候选人当选。问题1：对于问题1，我们假定每位候选人条件相同，各单位人员都投本单位的候 选人，同时，领导也投给自己所倾向的单位的候选人。很显然，这两个指标很大可能落 入人数多且领导倾向大的单位。我们可以用饼图来进行直观估计两个指标最大可能落入 的单位。因为问题涉及的

8、是求和最小问题，我们建立整数线性规划（ILP）模型来求解。问题2：该部门为了体现公平，在问题1的基础上，要求每位投票者只能填写1个 本单位人员，1位其它单位人员。各单位人员都把1投给本单位的候选人，同时，领导 也把1优先投给自己所倾向的单位的候选人。可以用加权变异系数即威廉逊系数来判断 公平度是否提高。问题3：为了获得更大希望，在问题2的基础上，改变了各单位推举的候选人数。 我们可以仿照问题1、2的做法来建立模型，依据所得结果，评价此种做法是否真的有 利于提高选举的公平度。模型假设1、候选人条件完全相同；2、指标较少，领导倾向性非常明显；3、各单位人员均倾向于本单位；4、无人弃权投票；5、每人

9、只能投两票，且不能将两票投给同一个人；6、投票人之间的投票互不影响，且投票方式一样。符号说明i1,2, 5分别表示甲、乙、丙、丁、戊单位N投票的总人数C常量表示不支持候选人所给的数字，我们设为：3打分别表示第i个单位的一号和二号候选人所得的数字之和Jil, i2分别表示第i个单位的一号和二号候选人b倾向于i单位的领导和i单位的投票总数七表示第i单位一号的获得的数字是“ 1”的票数七表示第i单位二号的获得的数字是“ 1”的票数匕.1表示第i单位投给第j单位的1号的数字是“1”的票数匕2表示第i单位投给第j单位的2号的数字是“1”的票数模型建立和求解1、问题一的模型建立和求解根据问题1的分析，我们

10、先采用饼图，将各单位人数及领导在各单位的倾向度人数 直观地表示出来，由饼图（附录1-1）可知，甲单位人数占的比例最大，其次是乙单位 和丁单位，据现实经验可知，评优的2个指标最有可能落入的单位为甲、乙、丁。这只 是我们的粗略估计，下面我们就建立整数线性规划模型来验证。令七来表示第i个单位的两名候选人所得的数字之和。建立目标函数：Min ziti=1 t=1为了统一，我们用i1，i2表示第i个单位的两名候选人;约束条件1是每个候选人所得的数字之和满足：G = 1,2,.5)约束条件2是倾向于i单位的领导和i单位的投票总数满足:G = 1,2,. 5)对此，可以通过建立一个整型规划模型来求解:男zx

11、 + x = b% Xi2均为整数变量(z )()1 2)(N - b )i1=(xx )+ cik z J i 2yi1i 2 k 2 1Jk N - b JiMini=1 t=1it(i = 1,2,5)G = 1,2,5)1.1根据以上分析，我们假设只有领导进行投票，各单位人员均不参与投票时，有 b =（9 6 3 5 2）,N=25.通过应用Lingo软件，运行程序（见附录1-2）求解的结果为：z = 66 z = 57 z = 69 z = 63 z = 72 z = 69 z = 70 z = 65 z = 73 z = 7111122122313241425152可知，落入单位为

12、甲（2）、乙（2），与初步估计吻合。1.2模型1.1的结果忽略了各单位人员，显然不太合理，那么我们对1.1的模型进行 改进，假设各单位人员均参与投票，且投票方式不变，此时的 b =（84 51 38 55 27），N=255.通过应用Lingo软件，运行程序（见附录1-3）求解的结果为：z = 681 z = 597 z = 714 z = 663 z = 727 z = 689 z = 710 z = 655 z = 738 z = 71111122122313241425152观察结果，易知，落入的单位为甲（2）、丁（2），与初步估计吻合。2、问题二的模型建立和求解根据问题2的分析，我们依

13、然建立整数线性规划模型来估计此种选举方法产生的结果。来表示第i个单位的两名候选人所得的数字之和。k / 2 J建立目标函数:Min Ziti=1 t =1为了统一，我们用i1，i2表示第i个单位的两名候选人;约束条件1是每个候选人所得的数字之和为:(z :(x )=i1k z Jr k七J， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,.5,) uN - x-乙uji 2i2ji2j=1 kj M kj=1)j Mi/+ 2*约束条件2是倾向于i单位的领导和i单位的投票人数满足:G = 1,2,. 5）对此，可以通过建立一个整型规划模型来求解:(z )(x )i1

14、=i1kz Jkx Jj=i%，+ 2*， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,5) uN - x- uji 2i2ji2k j=1J jMi/kj = 1Jj Mi/i=1 t=1(i = 1,2,. 5)Min zit%均为整数变量(i = 1,2,-5)2.1根据以上分析，我们假设领导及各单位人员均参与投票，且投票方式如问题2所 述，此时有b =（84 51 38 55 27），N=255.通过应用Lingo软件，运行程序（见附录2-1）求解的结果为：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = 765 z

15、= 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765观察结果可知，选举落入单位为甲（1）、乙（1）。结果与问题1的模型2不一致。 这两种投票方式，哪一种公平度较高，值得我们探讨。下面就公平性问题我们利用威廉 逊系数即加权变异系数探究。2.2公平性的探究威廉逊系数即加权变异系数:加权变异系数加权变异系数又叫威廉逊系数，1965年由美国经济学家J Williamson首先用来衡 量区域间经济发展的差异，其计算公式为：式中：V为加权变异系数；xi为第i区域的人均GDP； X为各区域人均GDP的 平均值，即x=Z xi/n； n为区域的个数；p为各区域人口总

16、数；pi为第i区域的人口 数量，即p=Z pi，pi/p为第i区域人口占总人口的比重（权重系数）。加权变异系数越大，区域间经济发展的差异越大；反之，加权变异系数越小，区域间经 济发展的差异越小。因为这个指标是衡量区域的差异性，在本题中不同的选举方式会产生不同的结果， 即存在差异，故我们引入这个系数来衡量各单位的差异性。而各单位的候选人得的票是 数字“2”的数目又决定着其能否得选。故我们将采用衡量得到的票是数字“2”差异来 衡量各单位的公平性。下面将改赋予公式中的各变量的含义为：匕为加权变异系数即是得票是数字是：“2”的差异程度；xi为第i单位某个候选人的得票是数字是：“2”的平均数目；X为所有

17、候选人 的得票是数字是：“2”的平均数目，即X =Z xi/n； n为单位的个数；p为投票的总人数，即p=Z pi； pi为第i单 位的人口数量，pi/p为第i单位投票人占总投票人的比重（权重系数）。问题一甲乙丙丁戊Xi:为第i单位某个候选人的 得票是数字是：“2”的平均 数目4225.51927.513.5x-:为所有候选人的得票是数字是：“2”的平均数目，即25.5X=Z xi/nxi-x-:16.50-6.52-12(xi-x-)2:272.250742.254144Pi:为第i单位的人口数量8451385527P:为投票的总人数，即p=Z pi pi/p255为第i单位投票人占总投 票

18、人的比重(权重系数)0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:89.682406.2960780.86274515.24706sum(xi-x-)2*pi/p:Vw1:为问题一的加权变异系数即是得票是数字是：“2”的112.0880.41518差异程度问题二：甲乙丙丁戊Xi:为第i单位某个候选人的 得票是数字是：“2”的平均 数目21.37525.527.1252528.5x-:为所有候选人的得票是数 字是：“2”的平均数目，即25.5x=Z xi/nxi-x-:-4.12501.625-0.53(xi-x-)2:17.015602.6406

19、250.259Pi:为第i单位的人口数量8451385527P:为投票的总人数，即P=Z pi pi/p:255为第i单位投票人占总投 票人的比重(权重系数)0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:5.6051500.3935050.0539220.952941sum(xi-x-)2*pi/p:Vw2:为问题二的加权变异系数即是得票是数字是：“2”的7.005510.1038差异程度3、问题三的模型建立和求解从问题3的分析中得知，我们依然建立整数线性规划模型来估计此种选举方法产生 的结果。来表示第i个单位的两名候选人所得的数字之和。3.1由

20、于甲只推荐了一名候选人，故z 12没有表示任何的意义；只是为了模型的式子的整齐性，才引入的一个记号。建立目标函数：-z12Min*切zi=1 t=1 lt)为了统一，我们用i1，i2表示第i个单位的两名候选人;约束条件1是每个候选人所得的数字之和为:r+ c N -kz=x+1111z=+812r z r x i1=i1+kzi2 k xi 2 J2*2乙j11j=2Uj11j=2)r * uji1j=1+ cN - xi1-*u ji1j=1* uN - x-* uji 2i2ji2k j=1J /i/kj=1Ji i/(i = 2,5,)约束条件2是倾向于i单位的领导和i单位的投票人数满足

21、:x. + x. = b对此，可以通过建立一个整型规划模型来求解:(i = 2,5)Min-z12z11z12X11+ 2f uj11j=2=+8(z)(Xi1 i1zi2JXi2J+ 2*X11Xi + Xuijtj=iXi1Xi2+ C(N -Ix u 11j11 J(f uji1j=1+ c(N - xi1-fu ji1j=1f uji 2 j=1 m JN - xi2I-f uji2j=1Jj Mi/j=2均为整数变量(i = 2,5,)(i = 2,5)(i = 1,2,.5)根据以上分析，我们假设领导及各单位人员均参与投票，且投票方式如问题2所述， 此时有b =（84 51 38

22、55 27），N=255.通过应用Lingo软件，运行程序（见附录3-1）求解的结果为:z11426 z12 =+8 z21 579 z22 663 z 765 z 689 z 765 z 65531324142z 765z52 711观察结果可知，选举落入单位为甲（1）、乙（1）。结果与问题2的模型的结果是一致的。3.2由于戊只推荐了一名候选人，故z32没有表示任何的意义；只是为了模型的式子的整齐性，才引入的一个记号。建立目标函数:（-z32Min企2 zi=1 t=1 J为了统一，我们用i1，i2表示第i个单位的两名候选人;约束条件1是每个候选人所得的数字之和为:Z31Z32J )GAfl

23、ilv )、：cJ+ 2*J31 7=1+ u ) + cN-x31Vj=J31 4fy 、JU j=l+ cN-xily )-JuJUJ=1罗2iuJi2厅i7N-x -12ji2j=l /7=1+C0=x +31y y)一 u-JuJ31J31j=4)约束条件2是倾向于i单位的领导和i单位的投票人数满足:x = b313x + x = bil i2 ii = 1,2,. . 卫 3)对此，可以通过建立一个整型规划模型来求解:Min冬jI, J-z36Z31=x +31j=l+乙J31j31j=4)+ c N x u -31u -Ju；31;317=4z32+co(Z(Xa zl)+ 2*(

24、y )(N-xy 一jililjilj=lj=l+ c乙UN-x-乙”2il”2* j=/、j、i7j/i7j=ii = 1,2,丰 3)x = b313Xzlj=l t 件i七均为整数变量根据以上分析，我们假设领导及各单位人员均参与投票，且投票方式如问题2所述， 此时有b =（84 51 38 55 27），N=255.通过应用Lingo软件，运行程序（见附录3-2）求解的结果为：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = +s z = 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765观察结果可知，选举落

25、入单位为甲（1）、乙（1）。结果与上一种的模型以及问题2的模 型的结果是一致的。我们用加权变异系数法对问题三的公平系数进行了分析，发现加权变异系数匕与问 题2的匕相等，说明问题三的这种做法并没有提高选举的公平性。故对于某个单位只推 荐一名候选人的做法对结果不会产生影响。可见，如何提高选举的公平度是值得我们探 讨的。下面我们将建立新的模型对就公平性问题进行进一步分析与完善。4、问题四的模型建立和求解存在公平的分配方法吗“比如加惯例”分配方法是有缺陷的，按照相对不公平度 最小的原则，Q值方法是合理的，然而还有其它衡量公平的指标及分配方法，于是，我 们先提出一组描述公平分配的公理，然后寻求满足这些公

26、理的分配方法。设第i方人数p （i = 1,2,.,m），总人数i=1 ，待分配席位N，分配结果为in = n （N,p ,p ）。记q = Np /P，显然若q均为整数，则n = q当q不全为整数是记lq ， TOC o 1-5 h z i i1miiii i ii -IqJ分别为q,向下取整和向上取整，下面是一组公平分配的公理:公理一公理二公理三应减少。q n q ,即 n 必取 HJ二者之一。n （N,p，,p ）n（N +1,p，,p），即总席位增加时n不应减少。i1m i1m若p Y p,p = p （j。i），则n（N,p，,p ） nN,p，,p），即人数增加时n 不i i j

27、ji 1 m i 1 mi公理四 n，n之间的转移不应使|n - q |+ n - q减少。i ji i i j“比例加惯例”方法显然满足公理一，但是不满足公理二。Q值方法满足公理二，但是它不满 足公理一。由于满足上述公平分配公理的方法根本不存在，只能退而求其次，研究去掉某些公理的 分配方法。为了提高选举的公平度，我们的模型从以下两个方面进行改进。4.1改变候选人的分配因为投票选举问题涉及的是在一定候选人中进行的投票选举问题，因此，我们可以 将此问题模型转化为公平席位分配模型。为了使公平性达到最高，应该是每个单位都有候选人。为了讨论问题的方便，我们 只考虑候选人数为9和10（候选人数改变时，方

28、法不改变）的情况。我们先运用最简单 的按比例分配方法，按每个单位所占单位总人数比例进行分配，可得各单位所占候选人 数位。当候选人数为9时，各单位所分配的候选名额分别为3、2、1、2、1；当候选人 数为10时，各单位所分配的候选名额分别为3、2、2、2、1。但是，这种分配方法是有缺陷的。下面我们用Q值法来重新检验当候选名额为9和 10的分配问题。我们引入公式八P 2.Q,-皿(J* 1)，1 -1，.，m(4-1)i i其中弓表示第i个单位人数，.表示已占有名额。先按照比例计算结果将整数部分的5席分配完毕，各单位所分配的候选名额分别为 2、1、1、1、0。利用公式（4-1）分配第6个名额，计算7

29、52_452_=亦=9335 乙=E = 1012.5,。丙=心。丁=n125025 2= 湍土）=8，Q戊的值最大，因此把第6个名分给戊单位。依此种方法一直分配 下去，得到的结果为：第7个候选名额分配给乙单位，第8个候选名额分配给丁单位， 第9个候选名额分配给甲单位，第10个候选名额分配给丁单位。用Q值法进行分配9名候选人及10候选人时，各单位所分配的候选名额分别为3、2、1、2、1 和 3、2、2、2、1。4.2改变投票方式在保证了候选名额分配合理的前提下，为了使选举达到更公平，我们对投票方式做 了改变。根据上面的结果，由于我们假设候选人条件完全相同，当候选人有优先次序之 分时，各单位人员

30、都会将优先票投给本单位的候选人。这样的投票方式就会使人多的单 位有优势，我们将投票方式改进为每人选举两人，但要求投票者只能填写1个本单位人 员，1位其它单位人员，且投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，表明支持这两 个人，其余不填，最后清点所有候选人所得数字之和（在统计数字之和时，我们将不填 的记为0），数字之和最大的两个候选人当选。若出现数字之和最大的大于等于3人时， 统计领导的投票的数大的当选。倘若还是一样是，将进行对这几个数字之和最大的候选 人进行二轮投票，投票方式不变。下面，我们依然采用加权变异系数法来检验当候选人数为10，指标依旧为2时此种 投票方法的公平性。不过此时我们采用衡量得

31、到的票是数字“ 1”差异来衡量各单位的 公平性。下面将再次赋予公式中的各变量的含义为：、为加权变异系数即是得票是数字是：“1”的差异程度；xi为第i单位某个候选人的得票是数字是：“1”的平均数目；X为所有候选人 的得票是数字是：“1”的平均数目，即X =z xi/n； n为单位的个数；p为投票的总人数，即p=Z pi； pi为第i单 位的人口数量，pi/p为第i单位投票人占总投票人的比重（权重系数）。将数据代入公式（计算见附录（4-2），所得结果为：Vw3=0.05878.与Vw2比较，有Vw3 Vw2，显然公平度提高了。结果令人比较满意。结果分析在问题一中，我们讨论了只有领导投票和领导与各单

32、位人员都参与投票这两种情 况。其中，只有领导投票时，指标落入的可能单位为甲、乙；领导与各单位人员都参与 投票时，指标落入的可能单位为甲、丁。从现实情况考虑，进行评优时，为了体现公平， 采用的投票方式一般都是民主投票，因此各单位的人员是要参与投票的，指标最可能落 入的单位为甲、丁。对于问题1、2、3,我们用加权变异系数来检验改变投票方式后的公平度是否提高。 经过计算，我们发现问题2较问题1的匕小，因此公平度有提高，但是问题3与问题2 的匕值几乎一样，也就是说，问题3的改变推举候选人的方式，对问题2中的选举方式 中产生的结果几乎没影响。这是意料之中的。从按比例分配角度出发，我们就可以基本 肯定，造

33、成这个结果的原因首先是各单位推选候选人的方法不合理。基于这个原因，问题四中，我们首先对候选人名额进行按比例分配到各单位中。我 们采用Q值法来检验各单位的分配名额，进一步保证了候选人分配的合理性。也就是在 这一前提下，我们对投票方式及计数方式也进行了改变进，使公平性进一步提高。从改 进模型后计算的V值上我们也可以看出，问题四提出的选举方法是较合理的，而且也比 W较符合实际。模型检验在现实生活中，涉及投票评优选举时，投票选举的结果往往都是落在人多的单位， 而我们在问题1，2, 3中建立的模型也能反应这一特点。投票选举都应该秉承“公平、 公正、公开”的原则，从这点考虑，我们在问题四中建立的模型是比较

34、合理的。因为一 般情况下，投票时各单位人员均倾向于本单位，而且领导也有一定的倾向性。但领导的 倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候，首先倾向于本单位，当指标相对多的时 候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。当候选人条件完 全相同的时候，这种倾向性就显得更重要。我们首先在分配候选人时保证了相对公平性，这也是投票公平的前提。我们对投票方式也进行了限制，这有利于减小由倾向性而造成 的选举不公平。模型评价与改进方向1 .模型的评价从我们建立的模型来看，无论是理论上或者是和现实的接近性上，都是比较合理的， 我们主要从模型的假设合理性、建模的创造性和结果的正确性对其作出客观的评

35、价：我们针对问题作出了满足条件的一些假设，对于问题一，利用饼图，首先粗糙的 估计可能落入甲和乙。然后建立了整数线性优化模型对估计检验。结果符合度很高。但 是由于我们的假设和选举的方式存在着一些不合理。故对问题二和问题三修改了假设和 选举方式，并引入了加权变异系数来衡量公平度，验证对改变的假设和选举方式提出的 合理性。面对问题四时我们从公理一到公理四中得知在现实生活中不存在绝对的公平选 举方式和分配方法；所以我们提出了满足公理二比较公平的Q值法来进行分配候选人的 方法，然后不分优先投票，并检验其公平度更高。模型的改进方向由于我们的模型是建立在我们的假设和选举的方式上的。故存在着一定的不足， 忽略

36、很多影响的因素，把模型理想化和简单化。故我们的模型可以在对假设和选举的方 式的改进。使得更切合实际。例如：选举的问题很复杂，必须考虑到人与人之间的各种关系。我们直接是从总共推举十名候选人中去选的，并且所有的人都进行投票，没有 考虑到弃权的情况。没有区分领导与单位的人员的不同作用。参考文献姜启源谢金星叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社,2004年杨启帆何勇谈之奕，数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评（1999-2004）， 杭州：浙江大学出版社，2005.5张成刚王秀丽，电力技术经济基于修正加权变异系数的电力调度公平性指标， 第21卷第五期，2009.10刁在筠刘桂真宿洁马建华，运

37、筹学（第三版），北京：高等教育出版社，2007.1黄可坤网站 HYPERLINK 嘉应学院数模课件附录附录1-1:饼图(1. 1)各单位人数(1.2)领导倾向单位人数附录1-2：:min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+16火c;z12=2*x11+x12+16火c;z21=x21+2*x22+19火c;z22=2*x21+x22+19火c;z31=x31+2*x32+22火c;z32=2*x31+x32+22火c;z41=x41+2*x42+20火c;z42=2*x41+x42+20火c;z51=x51+2*

38、x52+23火c;z52=2*x51+x52+23火c;x11+x12=9;x21+x22=6;x31+x32=3;x41+x42=5;x51+x52=2;附录1-3：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+171火c;z12=2*x11+x12+171*c;z21=x21+2*x22+204*c;z22=2*x21+x22+204*c;z31=x31+2*x32+217*c;z32=2*x31+x32+217*c;z41=x41+2*x42+200*c;z42=2*x41+x42+200*c;z51=x51+

39、2*x52+228*c;z52=2*x51+x52+228*c;x11+x12=84;x21+x22=51;x31+x32=38;x41+x42=55;x51+x52=27;附录2-1：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z12=x12+(u212+u312+u412+u512)*2+(255-(x12+u212+u312+u412+u512)*c;z21=x21+(u121+u321+u421+u521)

40、*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x22+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x22+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x31+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x31+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x32+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x32+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x41+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x41+u141+u241+u341+u541)*c;z42=

41、x42+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x42+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x51+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x51+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x52+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x52+u152+u252+u352+u452)*c;x11+x12=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u212+u231+u232+u241+u242+u251+u25

42、2=45+6;x31+x32=35+3;u311+u312+u321+u332+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+x42=50+5;u411+u412+u421+u422+u431+u432+u451+u452=50+5;x51+x52=25+2;u511+u512+u521+u522+u531+u532+u541+u542=25+2;附录3-1：min=z11+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z21=

43、x21+(u121+u321+u421+u521)*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x21+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x21+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x22+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x22+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x31+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x31+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x32+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x32+u1

44、41+u241+u341+u541)*c;z42=x41+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x41+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x42+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x42+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x51+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x51+u152+u252+u352+u452)*c;x11=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u231+u232+u241+u242+u251+u252=45+6;x31+x32=35+3;u311+u321+u322+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+