一元二次方程根的分布-精选

1、张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案一元二次万程根的分布一.知识要点二次方程ax2 bx c 0的根从几何意义上来说就是抛物线y ax2 bx c与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2 bx c 0的实根的情况，可从 y ax2 bx c的图象上进行研究.若在（，）内研究方程ax2 bx c 0的实根情况，只需考察函数y ax2 bx c与x轴交点个数 及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由 y ax2 bx c的系数可判断出 ，x1 x2,x1x2的符 号，从而判断出实根的情况.若在区间（m, n）内研究二次方程ax2 bx c 0,则需由二次函数图象与区间关系来确定.表一：（两根与0

2、的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,X10, X2 0X10, x200 x10 x2得出的结o o ob-2aof得出的结论o o b-2aoo o ob-2ao综合结论不讨论aoO O f aword.潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武表二：（两根与k的大小比较）word.潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m, n内两根有且仅有一根在 m, n内（图象有两种情况，只画了一种）得出的结论0f m 0f n 0bm - n2af m 0f n0f m f n0或f p0f p f q

3、0f q 0得出的结论f m 0f n 0bm n2af m 0fn0fm f n0或fp0fp f q0f q 0综合结论1不讨论aword.潮阳一中明光学校文科数学学案张盛武根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n外，即在区间两侧x1 m, x2 n,（图形分别如下)需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在m, n内有以下特殊情况:0,则此时f m gf n0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程2mxm 2 x 2 0 在区间1,3 上2mxm 2

4、x 2 x 1 mx 2 ,m 2即为所求;方程有且只有一根，且这个根在区间m, n内，即0,此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2x 4mx 2m 60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：由 f 3 gf 014m15 m 30得出15142由 0即16m4 2m 60得出m 1或m1时,根x3,02331满足题忌；当m 时，根x 33,0 ,故m 不满22足题意;综上分析，得出315- 一或m14word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案二.例题选讲(1)两个根在实数k的同一侧变式1 ：已知

5、方程2X2例1.已知方程4x2 2(m 1)x (2m 3) 0(m R)有两个负根，求 m的取值范围.m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。变式2：已知二次方程 mx2 (2m 1)xm 2 0的两个根都小于1,求m的取值范围.(2)两个根在实数k的异侧例2：已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 10有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。变式1：已知二次函数 y m 2 x22m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1,求实数m的取值范围。变式2：求实数m的范围，使关于x的方程x2 2(m 1)x 2m 6 0 .(1)有两个实根，且一个比2大，

6、一个比2小.(2 )有两个实根，且满足014 .(3 )至少有一个正根.word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案变式3:如果二次函数y=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.(3)在区间(m,n)有且只有一个实根2例3.已知一次万程 mx 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。变式：已知关于 x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(4)在区间(m,n)有两个实根例4：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在

7、区间(0, 1)内，求m的范围.变式1:已知方程2x2 - 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围.变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于(-3, 3),且其中至少有一个根小于1,求m的取值范围.word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案(5)在区间m,n有实根例5.已知a是实数，函数 f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函数y f (x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适 当运用.x+1例6.1 .求函数y =及(1x0(

8、1)当m0时，则 3 m 解得0V m 10 m综上所述，m的取值范围是m|mwi且mw。.(3)在区间(m,n)有且只有一个实根例3.已知二次方程 mx22m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1,求实数 m的取值范围。1解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0 gf 10 4g3m 10 m 1即3为所求范围。变式：已知关于 x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.解：条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1, 2)内，则word.张盛武潮

9、阳一中明光学校文科数学学案1f(0)2m10,m2mRf( 1)20,Af(1)4m20,m12f(2)6m505m6一 ，一 51实数m的范围是(5,).62(4)在区间(m,n)有两个实根例4:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.解：据 抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1x轴交点落在区间(0 , 1)内，列不等式组f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 11m 2,1m 2,m 1. 2或m 1、2,1 m 0.-1 0f(-3)0f(3)02a-1-3 3143-21-13 0 18+6(2 a-1)+a+20 18-6(2

10、a-1)+a+202a-1-333+ 21或43故a的取值范围是(-* , 3-中令26 .113+ 21U426,11 ) .变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于(-3, 3),且其中至少有一个根小于1,求m的取值范围.解：原方程即为(x + 1)(x + 3m-2)=0 ,所以方程两根分别为-1,2-3m,而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足-32-3 m3(6)在区间m,n有实根例5.已知a是实数，函数- 、 一 2f (x) 2ax 2x 3 a ,如果函数y f (x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.解析1:函数y f (x)在区

11、间-1 , 1上有零点，即方程f(x) 2ax2 2x 3 a =0在-1 , 1上有解,word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案a=0时，不符合题意，所以 aw0方程 f(x)=0 在-1 , 1上有解f( 1) f(1) 0 或af( 1) 0af (1)41 a08a(3 a) 011.1所以实数a的取值范围是2解析2： a=0时，不符合题意，所以f (x) 2ax2 2x 3 a=0 在-1 ,丫或a 5awQK1上有解，(2x21)a 3 2x在-1 , 1上有解2x2 1 十在-1 , 13 2x上有解，问题转化为求函数y2x 1-1 , 1上的值域；设 t=3-2x , x

12、C -1 , 1,则 2x 3 t , 3 2x任1,5, y(t 3)2 2设 g(t) t7-.g(t)tt2 7V1 , (t26),1,历时，g(t)0 ,此函数g(t)单调递减,t (77,5时，g(t)0,此函数g(t)单调递增,，y的取值范围是3,1, f (x)2ax2 2x 3 a =0 在-1 , 1上有解 - 3,1 a 1 a(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适 当运用.例6.1 .求函数解：原函数即为x+1y = x2-3x+2(ix2)的值域.y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=

13、0, 由题意，关于x的方程在(1,2)上有实根.易知y0,令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1,则f(1)= -20, f(2)= -3013y+1 0m+1f(0) f(1)0 或0 4 1m0f(1)0f(x) = 2x2-(m+1)x+m,则当且仅当m2-6m+1 0-1m3m/2 且 mOm0word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案故m的取值范围为 (-,0) U (0, 3-2平.例6.3.设关于x的方程4x 2x 1 b 0(b R),(1)若方程有实数解，求实数 b的取值范围；(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设 2x t

14、,原方程化为二次方程t2 2tb 0，但要注意t 0,故原方程有解并不等价于方程t2 2t b 0有解，而等价于方程t2 2t b 0在(0,)内有解.另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于 值域.x的方程a f(x)有解，则a f(x)的解：(1)原方程为b 4x 2x 14x2x 1(2x)2 2 2x (2x 1)2 1当b 1,)时方程有实数解； 当b 1时，2x 1,，方程有唯一解 x 0;当 b 1 时， (2x 1)2 1 b 2x 1 71 b.2x 0,10,2x1的解为 x log 2 (1、1瓦)；令 11 b 0,1b 11 b 0

15、,当1 b 0t,2x 1 丁石的解为x 10g2(1 %彳元)；综合、，得1)当1 b 0时原方程有两解：x 10g2(1 J1 b)；2)当b 0或b1时，原方程有唯一解 x 10g 2 (1 qT不)；3)当b 1时，原方程无解。变式：已知方程 m 22x (2m 1) 2x m 0在(，1)上有两个根，求 m的取值范围.解：令 t 2x,当 x (,1)时，t (0,2).由于t 2x是一一映射的函数，所以x在(，1)上有两个值，则t在(0,2)上有两个对应的值.因而方程mt2 (2m 1)t m 0在(0, 2)上有两个不等实根，其充要条件为word.张盛武潮阳一中明光学校文科数学学案由(1)得:由(2)得:10,由(3)得:29由(4)得:m的取值范围为2 1 (9?1.已知二次方程(3m 1)x2 (2m 3)x m 40有且只有一个实根属于(-1,1),求m的取值范围.解：易知xi = -1是方程的一个根，则另一根为m-4x2=赤,所以原方程有且仅有一个实根属于(-1, 1)当且仅当-10-1 003 .5， ,m 4 , m的取值范围为 (-,-2)u( 4 ,+ ).2.已知二次方程(2m 1)x22mx (m1)0有且只有一个实根属于(1, 2),且x1,x 2都不是方程_2(2