空间几何体外接球和内切球

1、方法技巧专题3空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体(以 P ABCD为例)的高过底面的外心(即顶点的投影在底面外心上)：(1)先求底面 ABCD的外接圆半径 r ,确定底面 ABCD外接圆圆心位置 O ;(2)把O垂直上移到点O,使得点O到顶点P的距离等于到 A、B、C、D的距离相等，此时点 O是几何体外接球球心；(3)连接OA,那么R OA ,由勾股定理得：R2 r 2 OO TOC o 1-5 h z 1、已知正四棱锥 P ABCD的所有顶点都在球 O的球面上，PA AB 2,则球O的表面积为()A. 2B. 4C 8D. 162、在三黏t P ABC中.PA PB PC 2.

2、 AB AC 1, BCJ3 ,则该三棱锥的外接球的表面积为 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document c164A. 8B. _C32/ 3D. HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 3327【二】高不过外心高不过心一顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥 P ABCD , PA 底面ABCD(1)先求底面 ABCD的外接圆半径 r ,确定底面 ABCD外接圆圆心位置 O ;(2)把O垂直上移到点O ,使得 OO 1PA 此时点O是几何体外接球球心；2(3)连接OA,那么R O

3、A,由勾股定理得：R2 r2 OO 2 r2 ( P&.1、长方体A? ? ? ? Ai? i? 1? 1的8个顶点在同一个球面上，且A? =?, A?=1 ,则球的表面积为.2、已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为3,外接球表面积为16 ,则正三棱柱 ABC AB1C1的体积为（C. -9343、已知P , A , B , C , D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD /BC , AB DC AD 2BC PA 4 , PA面ABCD,则球O的体积为（A,空B,空334、已知三棱柱 ABC A B C的侧棱与底面垂直,1 1 1C. 16 2D. 16AA BC

4、2, BAC1二则三棱柱 ABC A B C外接球的1 114体积为（）A 12 . ,3C-6j3d.乖5、四棱锥P ABCD的底面为正方形ABCD ,9一的同一球面上，则 PA的长为（）2A. 3B. 26、四棱锥A BCDE的各顶点都在同一球面上，AB= CB= BE= ED= 2,则此球的表面积等于（A. 25B. 24PA 底面 ABCD , AB2 ,若该四棱锥的所有顶点都在体积为_ 1C. 1D. _2AB 底面BCDE ,底面 BCDE为梯形，BCD 60 ,且) HYPERLINK l bookmark53 o Current Document C. 20D. 16a2 b2

5、c2R 2O的表面上，则此球的表面积为18,则这个球的体积为【三】长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径：R a （a为正方体棱长）；233、长方体的同一顶点的三条棱长分别为a, b, c ,外接球的半径:1、若一个长、宽、高分别为 4, 3, 2的长方体的每个顶点都在球 2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是4、棱长为1的正方体ABCD A1B1c1D1的8个顶点都在球 O的表面上，E, F分别是棱AA1 , 口口1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为

6、（2A 2【四】棱柱的外接球B. 1D- .2直棱柱外接球的求法一汉堡模型1.补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同2.作图：构造直角三角形，利用勾股定理d1 a1)第一步：求底面外接圆的半径:r（ a为角A的对边）；2 sin A2)第二步：由勾股定理得外接球半径:r2 （h）2 （h为直棱柱侧棱高度）2直三棱柱ABC A1B1C1中，已知A? T ? ?, A? = 3 , ? ? = 4 , AA1 = 5 ,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上则该球的表面积为2、直三棱柱ABC A1B1cl的所有棱长均为？糜,则此三棱柱的外接球的表面积为（A. 12B. 16C

7、. 28D. 36且球的表面积是 40 , AB AC AA ,3、设直三棱柱 ABC A1B1cl的所有顶点都在一个球面上,BAC 120,则此直三棱柱的高是【五】棱锥的外接球类型一：正棱锥型（如下图1,以正三棱锥为例，顶点 P的投影落在 ABC的外心上）1)求底面外接圆半径：r 1 a （a为角A的对边）；2 sin A2)求出AH2_r,求出棱锥图度h3PHP PAAH3)由勾股定理得外接球半径：R Joh|22AHJh R2 (2r)2 .3p图1图2类型二：侧棱垂直底面型（如上图2）2）棱锥高度h 1aPA ；1）求底面外接圆半径：r HD a （a为角A的对边）；2 sin A一

8、一2 h 23）由勾股定理得外接球半径 ：R ：r （_）2类型三：侧面垂直于底面-切瓜模型题设二平面FdFl平而历ABLBC 为小陶直役）留一步、由图知珠心口必为32出的外。.即AA4在大阐面上,先求出小腐面 直桂业7的长；第二米,在A/S勺大小为7D. 3兀A. _ Tt315、四面体 SABC 中，AC BC , SA平面ABC , SA J6，AC 7 , BC J3 ,则该四面体外接球的表 TOC o 1-5 h z 面积为（） HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 3216A. B.C. 16D. 32【六】墙角型途径1 :正四面体、

9、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4 :若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.”2 h2 c2、 一， 一，一一、墙角型外接千半径：R h_c-（a, h,c分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（A._2_3)D. 4 32、已知四面体 A? ? ?的四个面都为直角三角形，且 A? T平面？ ? ? , A?

10、 = ?=? ? = ?,若该四面体的四个顶点都在球0的表面上，则球0的表面积为（）3n? 3n4 . 3n1? n3、已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是正视图现图便视图 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark151 o Current Document A. 24B. 20C. 16D. 12 HYPERLINK l bookmark153 o Current Document 4、在三麴隹P - ABC中，PA PB PC 1, PA、PB、PC两两垂直，则三棱锥 P ABC的外接球的表面 积为（）A.

11、 12B. 6C 4D. 3【七】空间几何体内切球愿没：求任意三械雄晌内切球半径（寻体板法）第一巾、先求出四个表面的而花的整个柞体的诔和:1、正三棱锥的高为1,底面边长为2 J6,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.2、若三棱锥 A BCD中，AB CD 6,其余各棱长均为 5 ,则三棱锥内切球的表面积为则该几何体的外接球半径与内切球3、一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为 2的等腰直角三角形,半径之比为（） TOC o 1-5 h z 4、球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是（）B . 2 :1C . 3: 2【八】球与几何体各棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性