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1、单自由度系统的无阻尼受迫振动任学晶13010135机电学院【摘要】通过学习，我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止，这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题，本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成，得出激振力频率与振幅之间的关系，对共振曲线进行分析，进而了解共振现象。【关键词】阻尼；受迫振动；共振；引言工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如，交流电通

2、过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动，如图1所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起的振动，如图2所示，等等。图1图21.1简谐激振力工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力F随时间变化的关系可以写成F=Hsin(wt+p)(1)其中H称为激振力的力幅；即激振力的最大值；w是激振力的角频率；9是激振力的初相角，它们都是定值。1.1振动微分方程如图1所示的振动系统，其中物块的质量为m。物块所受的力有恢复力F和激振力,e如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力F在

3、坐标轴的投e影为F=一kxe其中k为弹簧刚度系度。设F为简谐激振力，在F坐标轴上的投影可以写成式程为(1)的形式。质点的运动微分方m=-kx+Hsin(=0m2k0若0mm0，则由式（5）知,m值越大，振幅b越大，即振幅b随m单调上升,当m接近m0时，b将趋于无穷大。若汽，习惯上把b都取其绝对值，并视受迫振动叮与激振力相反。这时，随m增大，b减小。当m趋于无穷大时，b趋于零。2.2共振曲线有上述则可得振幅b与激振力频率m的关系，得到的曲线即为共振曲线。如图4所示。图4共振现象在上述分析中当巴时此时这种现象称为共振。如图5所示。图5事实上当巴，式没有意义微分方程的特解为:x=Btcos（wt+p

4、）（8）20将此式代入（3）中，得：B=-JL2w0故共振时受迫振动的运动规律为tcos(wt+9)0(9)它的幅值为7hb=t2w0由此可见，当二时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限的增大。0例题如图6所示为一长为l无重刚杆OA，其一端O铰支，另一端A水平悬挂在刚度系数为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在店A加一激振力F=Fosint，其1一一中W=20，为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。解：设任一瞬时刚杆的摆角为，根据刚体定轴转动微分方程可以建立系统运动微分方程为：(1丫2丿=-kl2p+Flsin0kl24kW2=0/l、cmm()2则上述微分方程可以写为e+rn2甲=hsinto则其特解为he=2一20sint将2o代入上式，可得h.e=sin3t=2

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