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文档简介

1、单自由度系统的无阻尼受迫振动任学晶13010135机电学院【摘要】通过学习,我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减,直到最后振动停止,这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题,本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成,得出激振力频率与振幅之间的关系,对共振曲线进行分析,进而了解共振现象。【关键词】阻尼;受迫振动;共振;引言工程中的自由振动,都会由于阻尼的存在而逐渐衰减,最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动,这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如,交流电通

2、过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动,如图1所示;弹性梁上的电动机由于转子偏心,在转动时引起的振动,如图2所示,等等。图1图21.1简谐激振力工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力,简谐力F随时间变化的关系可以写成F=Hsin(wt+p)(1)其中H称为激振力的力幅;即激振力的最大值;w是激振力的角频率;9是激振力的初相角,它们都是定值。1.1振动微分方程如图1所示的振动系统,其中物块的质量为m。物块所受的力有恢复力F和激振力,e如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点,坐标轴铅直向下,则恢复力F在

3、坐标轴的投e影为F=一kxe其中k为弹簧刚度系度。设F为简谐激振力,在F坐标轴上的投影可以写成式程为(1)的形式。质点的运动微分方m=-kx+Hsin(=0m2k0若0mm0,则由式(5)知,m值越大,振幅b越大,即振幅b随m单调上升,当m接近m0时,b将趋于无穷大。若汽,习惯上把b都取其绝对值,并视受迫振动叮与激振力相反。这时,随m增大,b减小。当m趋于无穷大时,b趋于零。2.2共振曲线有上述则可得振幅b与激振力频率m的关系,得到的曲线即为共振曲线。如图4所示。图4共振现象在上述分析中当巴时此时这种现象称为共振。如图5所示。图5事实上当巴,式没有意义微分方程的特解为:x=Btcos(wt+p

4、)(8)20将此式代入(3)中,得:B=-JL2w0故共振时受迫振动的运动规律为tcos(wt+9)0(9)它的幅值为7hb=t2w0由此可见,当二时,系统共振,受迫振动的振幅随时间无限的增大。0例题如图6所示为一长为l无重刚杆OA,其一端O铰支,另一端A水平悬挂在刚度系数为k的弹簧上,杆的中点装有一质量为m的小球。若在店A加一激振力F=Fosint,其1一一中W=20,为系统的固有频率。忽略阻尼,求系统的受迫振动规律。解:设任一瞬时刚杆的摆角为,根据刚体定轴转动微分方程可以建立系统运动微分方程为:(1丫2丿=-kl2p+Flsin0kl24kW2=0/l、cmm()2则上述微分方程可以写为e+rn2甲=hsinto则其特解为he=2一20sint将2o代入上式,可得h.e=sin3t=2

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