《二次函数》核心知识

1、PAGE PAGE 3二次函数知识基本概念: 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，），对称轴是直线x=，抛物线是轴对称图形，在抛物线上纵坐标相等的两个点必是对称点，据此也可以推出对称轴。如抛物线y=ax2+bx+c经过（3，5）和（1，5），则顶点横坐标为，对称轴是直线x=函数值问题1、a0 当x时，xy当x时，y最小值=当x时，xy1、a0 当x时， xy当x时，y最大值=当x时，xy待定系数法求二次函数解析式若已知抛物线顶点为（h, k），或已知当x=h时，y最大（小）值=k，则设函数解析式为：y=a（xh）2k 顶点式（1）若已知抛物线以原点为顶点（相当于顶点为（0，0）

2、，则设函数解析式为：y=a x2（2）若已知抛物线以y轴为对称轴（相当于顶点为（0，k），则设函数解析式为：y=a x2k（3）若已知抛物线的顶点在x轴上（相当于顶点为（h，0），则设函数解析式为：y=a（xh）22、若已知抛物线经过三个独立点，则设函数解析式为：y=ax2+bx+c 一般式3、凡提及“抛物线与x轴两交点”， （其中x1，x2表示抛物线与x轴两交点的横坐标）则设函数解析式为：y=a（xx1）（xx2）交点式，平移问题1.方法一：“上下、左右、加减”，例如：将抛物线y=3x24x+5先向下平移7个单位，再向左平移9个单位，则新的抛物线的解析式为y=3（x9）24（x9）+57，（

3、注意9与7的位置）2.方法二：根据二次函数的顶点式来求解，例如：将抛物线y=x24x+5先向下平移7个单位，再向左平移9个单位，求新的抛物线的解析式。做法如下：先将抛物线y=x24x+5化为顶点式y=（x2）21，易知其顶点为（2，1），先向下平移7个单位，再向左平移9个单位后，顶点应为（7，6），则新的抛物线的解析式为y=（x7）26。（此法也可以不用先将抛物线y=x24x+5化为顶点式，而是运用顶点坐标的公式先求出其顶点，然后根据平移条件得出新抛物线的顶点坐标，最后再写出新抛物线的解析式）图象信息 1、（1）a0开口向上；a0开口向下。（2）两个二次函数的a值相等或互为相反数，则对应的两个

4、抛物线的形状相同。（3）越大，开口越小 2、c为纵截距，决定抛物线与y轴交点的位置，c即为抛物线与y轴交点的纵坐标 3、a、b同号0对称轴在y轴左侧, a、b异号0对称轴在y轴右侧 总之，“左同右异”，另：b0对称轴为y轴、b24ac0抛物线与x轴有两个交点，且两交点间距离 b24ac0抛物线与x轴只有一个交点 , b24ac0抛物线与x轴没有交点例如：a0，且抛物线的顶点在x轴上方，则b24ac0（为什么？）六、例1：若抛物线经过y=ax2+bx+c经过点（3，5）和（2，5），则方程ax2+bx+c-5=0的根为 例2：已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a，b，c，2a+b，a

5、+b+c，a-b+c的符号. 解：（1）开口向上a0（2）左同b0（3）与y轴交于负半轴c（4）对称轴在（1，0）左侧11又a0 b2a2a+b0（5）x=1时，y0。代入得y=a12+b1+c= a+b+c0（6）x=1时，y0。代入得y=a（1）2b（1）c= abc0（2013湖州）如图，在1010的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A16 B15 C14 D13 解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=-x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且