三次函数与四次函数

1、、学习目标2.13三次函数与四次函数三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。近年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。近年高考有多个省份出现了四次函数高考题，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。二、知识要点：W第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数(根的个数)、极值情况三次函数图象a对图象的影响说明可以根据极限的思想去分析当a0时，在x+8右向上伸展，X-8

2、左向下伸展。当aVO时，在x+8右向下伸展，X-8左向上伸展。与x轴有三个交点若b2一3ac0，且f(X)f(X)0,且f(X)f(X)0，既有一12个极值为0,图象与X轴有两个交点1。存在极值时即b2一3ac0，且f(x)f(x)0，既两个极12值同号，图象与X轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。1.f(X)0根的个数三次函数f(x)=ax3bx2cxd导函数为二次函数：f/(x)=3ax22bxc(a,0),二次函数的判别式化简为：=,若,则f(x)=0恰有一个实根；若b23ac0，且，则f(x)=0恰有一个实根；若b23ac0，且，则f(x)=0有两个不

3、相等的实根；若b23ac0，且，则f(x)=0有三个不相等的实根.说明(1)(2)f(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与X轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以b23ac0(或b23ac0，且f(x)-f(x)0).12f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2一3ac0，且f(x)-f(x)=0.12(4)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与X轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号所以b23ac0且f(x)-f(x)0),导函数为二次函数f/(x)

4、=3ax22bxc(a0)，二次函数的判别式化简为：二4b2-12ac=4(b2-3ac)，若，则f(x)在(-,)上为增函数；若，则f(x)在(y,x)和(x,)上为增函数，f(x)在(x,x)上为减函数，其中1212-b-b2-3ac-bb2-3acx=,x=.13a23a三次函数f(x)=ax3bx2cxd(a0),若b2-3ac0，则f(x)在R上无极值；(2)若b2-3ac0，则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在x=x处取得极大值，在x=x处取得极小值.12由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。课前检测:1.(09安徽理)设aVb,函数y(x-a)2(x-b)的图像可能是

5、x一9都相切，则a=2.3-(09重庆文)把函数f(x)x3-3x的图像Ci向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2若对任意的U0，曲线Ci与C2至多只有一个交点，则V的最小值为(09江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，点p在曲线C:y=x3-10 x,3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为(09福建卷理)若曲线f(x)ax3,Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是.四.典型例题；例1.讨论关于x的方程3x3+2C-必2-ax-3=0根的个数.例2：设a为实数，函数f(x)x3-x2-x,a.求f(x)的极值；当a在什么范围内取值时，曲

6、线y=f(x)与x轴仅有一个交点.例3.已知x=3是函数fx)=aln(1,x+x2-10 x的一个极值点。(1)求a；求函数f(x的单调区间；若直线y=b与函数y=f(x的图象有3个交点，求b的取值范围。第二部分：在四次函数中的应用由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题19例4：已知函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点。42(I)证明：27c0)求函数yf(x)的单调区间；若函数yf(x)的图像与直线y1恰有两个交点，求a的取值范围.只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次

7、函数问题，应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。五当堂检测1(09北京文)(本小题共14分)设函数f(x)x33ax+b(a丰0).(I)若曲线yf(x)在点(2,f(x)处与直线y8相切，求a,b的值；(II)求函数f(x)的单调区间与极值点.2(09江西文)(本小题满分12分)设函数f(x)x3对于任意实数X,f(x)m恒成立，求m的最大值；若方程f(x)，0有且仅有一个实根，求a的取值范围.(09全国理)本小题满分12分。(注意：在试题卷上作答无效)设函数f(x，X3+3bx2+3cx在两个极值点X、X，且XG一1，,xG1,21212(I)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(