导数与微分知识点

1、第二章导数与微分一、导数1导数的定义:由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出设函数y=fG）在点X的某领域内有定义，自变量x在x处有增量Ax,相应地函00数增量Ay二f（X+Ax）f（x）。如果极限00limAy=AxtOAxTOC o 1-5 h z十f(x+Ax)f(x)limoo-AxtOAxdf(x)xdx0dydxx=存在，则称此极限值为函数fG）在xo处的导数（也称微商），记作广5），或y等,并称函数y=fG）在点x处可导。如果上面的极限不存在,x=x010则称函数y=f（x）在点xo处不可导。注：函数fG）在xo处的导数，就是导函数f（X）在点在x0处的函数值，

2、即fr（xo）=f（x）lx=x0。多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f（x），而不是具体的方程时。2、单侧导数右导数：左导数：)1-f(x)-f(x)f(x+Ax)f(x)fVx=lim4=limoo-+0 xxxtxo+oAxto+f(x)=limf(x)f(xo)=limfC0+心)-fW)oxxxtx00Axt0AxAx则有f）在点x处可导of）在点x处左、右导数皆存在且相等003、导数的几何意义如果函数y=fG）在点xo处导数f心0）存在，贝y在几何上f心0）表示曲线y=fG）在点（xo,f（x。）处的切线的斜率，即:=K=tana切线方程：yf(x0)=f(x0

3、)(xx0)法线方程：yf（xo）=f,1）（xxoXf（xo）Ho）0注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1,即：K切*K法=-1设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S=fC），如果f（to）存在，则fC）表示物体在时刻t时的瞬时速度。004函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y=fG）在点x0处可导，则fG）在点x0处一定连续，反之不然，即函数y=fG）在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y=f6）=|x|，在x0=0处连续，却不可导。5、求导a）、基本初等函数的导数公式C=0（C为常数）(xu)=uxu-1(u为实数)(logx)=1-axlna(Inx

4、)=x(ax)=axIna(ex)=ex(sinx)=cosx(cosx)=一sinx(tanx)=sec2x(cotx)=一csc2x(secx)=secxtanx(cscx)=一cscxcotx1(arcsinx)=1x2(arccosx)=11一x2(arctanx)=11+x2(arccotx)=11+x2注：正正余负b）、函数的和、差、积、商的求导法则u(x)土v(x)=u(x)土v(x)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)Cu(x)=Cu(x)(C为常数)u(x)u(x)v(x)一u(x)v(x)v(x)v2(x)C=-Cv(x)(v(x)丰0,C为常数)u(x)v

5、2(x)c）、复合函数的求导法则设y=f（u）,u=Q（x）,则复合函数y=fQ（x）的导数为dxdudxdy=dydu或f叩(x)=广(u)(x)、反函数的求导法则设y=f(x)是x=申(y)的反函数，则dy注：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；先求出原函数的导数的倒数，再把里面的y换成反函数的x。例：求函数y=log_r的导数.解x在打内单调*可导,且(棵)=八In口工a在？y(0卄乂)内有;ayyInoxlna11特别地(Inx/=-0y=exlnx解出ylny=xlnxy=Inx+1解出yy、参数方程求导法fx=p(t)dydydtdy10(t)参数万程p(t).02(r)即d2y=

6、屮(t)0(t)一屮(t)0”(t)dr203(t)二、微分1、定义设函数y=fG)在点x0处有增量Ax时，如果函数的增量Ay二f(x0+Ax)f(x。)有面的表达式Ay=A(xIax+o(Ax)0(Axt0)其中AG。)为Ax为无关，厶)是AxT0时比Ax高介的无穷小，则称f(x)在xo处可微，并把Ay中的主要线性部分A(xo)AX称为f(x)在xo处的微分，记以dyx=x0 x我们定义自变量的微分dx就是Ax。2、可微与可导的关系f(x)在x处可微of(x)在x处可导。=A(xo)Ax=广W)dx且dy00 x=x0一般地，y=f(x)则dy=fr(x)dx所以导数f()=dy也称为微商，就是微分之商的含义。dx微分公式：dy=f(x)dxdy/dx=f(x)3、微分的几何意义Ay=f(x0+Ax)f(x0)是