2022年新高考数学二轮提升数列专题第15讲《数列性质：最值问题》（解析版）

1、第15讲 数列性质:最值问题 参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知数列的通项公式，若或为数列的最小项，则实数的取值范围是AB，C，D，【解答】解：由题意，数列的通项公式的对称轴为，或为数列的最小项，故选：2（2021秋雁峰区校级月考）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是A，BCD【解答】解：在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，即，解得故选：3（2021秋淮北期中）设等差数列满足，公差若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项取值范围是A，B，C，D，【解答】解：由，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，即有，则，由，对称轴方程为，

2、由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，得：，首项的取值范围是，故选：4（2021春武侯区校级期中）设等差数列满足：，且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：，即，即，即，即，即，则，由对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，解得：首项的取值范围是，故选：5（2021春威宁县期末）对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值” ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：由可得：，当时，两式相减可得：，所以，所以，所以数列是等差数列由对任意的恒成立可得：且，即且，即，故选：6（202

3、1秋南明区校级月考）已知数列的前项和为，且，则的最小值为A1B2C3D4【解答】解：根据题意，数列中，当时，当时，综合可得：，则，当时，取得最小值1；故选：7（2021秋西城区校级月考）等差数列的前项和为，前项积为，已知，则A有最小值，有最小值B有最大值，有最大值C有最小值，有最大值D有最大值，有最小值【解答】解：在等差数列中，由，得，可得，则当，而，当时，有最小值；等差数列的前三项小于0，自第四项起大于0，且大于1，当时，有最大值，为故有最小值，有最大值故选：8（2021辽宁开学）若数列满足，则的最小值为ABCD【解答】解：，可得：时，时，；时，的最小值为或，故选：9（2021秋深圳月考）已

4、知数列的通项公式，则数列前项和取最小值时，的值是A6B7C8D5【解答】解：由题意，令，即，解得，令，即，解得，故当时，当时，当时，为递增的等差数列，恒成立，当时，前项和取得最小值故选：10（2021安徽模拟）已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为ABCD【解答】解：由题意可得，解可得，或（舍，故，当时，当，则的最小值为故选：二填空题（共3小题）11（2021秋玄武区校级月考）已知为等差数列，的前项和为，则20时，最大【解答】解：设等差数列的公差为，由，可得，解得，则，当时，；当时，所以当时，最大故答案为：2012（2019秋浦东新区校级月考）已知数列是公差不为0的等差数列，且，当6时，数列

5、前项和取最大值【解答】解：设数列公差为，根据题意可知：，可得，当时，数列前项和取最大值6故答案为：613（2016长春四模）等差数列的前项和为，已知，则使取最小值的等于6或7【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，令，当时，取得极值，当时，递减；当时，递增；因此只需比较（6）和（7）的大小即可（6），（7），故的最小值为故答案为：6或7三解答题（共3小题）14（2021新疆模拟）在平面直角坐标系中，已知三个点列、，其中、满足：向量与向量共线，且点列在方向向量为的直线上，（1）试用与表示；（2）若与两项中至少有一项是的最小值，试求的取值范围【解答】解：（1）由、，得：，向量与向量共线，即又在方向

6、向量为的直线上，即，；（2）二次函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线又在与两项中至少有一项是的最小值，故对称轴在内，即，15（2021秋海曙区校级期中）已知数列中，（1）若，求数列中的最大项和最小项的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围【解答】解：（1）当时，结合函数的单调性可知：；中的最大项为，最小项为（2）对任意的，都有成立，并结合函数的单调性16（2021黄州区校级模拟）数列前项和，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：当时，数列为等比数列；（3）在题（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围【解答】（1）解：数列前项和，当时，（4分）（2）证明：