运输问题模型

1、运输问题模型二0一0年四月1运输问题的一般描述设某种物资有m个产地A1,A2,Am，和n个销地B1,B2,Bn,其中Ai的产量为ai,Bj的销量为bj，产地Ai运往销地Bj的单位运价Cij,i=1,2,m;j=1,2,n.求尽可能满足销地需求且总费用最小的运输方案。2运输问题的数学模型可以分以下3种情况讨论：1. 产销平衡问题2. 销大于产问题产大于销问题解：设产地Ai运往销地Bj的运量为31.产销平衡问题的数学模型产销平衡时，各个产地的物资总和正好满足所有销地的需求，运输问题的数学模型为42. 销大于产问题的数学模型销大于产时，各个销地的需求不一定能够得到满足，运输问题的数学模型为52. 产

2、大于销问题的数学模型销大于产时，各个销地的需求一定能够得到满足，但各个产地的物资不一定全部运走。运输问题的数学模型为6运输问题本质是一个线性规划问题运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1矩阵，其中大部分元素为零。计算运输问题我们有比单纯形法更好的专门求解运输问题的算法。7产销平衡运输问题的求解定理 产销平衡运输问题一定存在最优解 。8产销平衡运输问题的Lingo模型MODEL:sets:row/1.m/:a;arrange/1.n/:b;link(row,arrange):c,x;endsetsdata:a=a(1) a(2) a(m);b=b(1) b(2) b(n);9C=c(1,1) c(

3、1,2) c(1,n), c(2,1) c(2,2) c(2,n), c(m,1) c(m,2) c(m,n);enddataOBJmin=sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j);for(row(i):sum(arrange(j):x(i,j)=a(i););for(arrange(j):sum(row(i):x(i,j)=b(j););for(link(i,j):x(i,j)=0;);END10产销不平衡运输问题也有类似的Lingo模型11产销平衡运输问题的初始解1. 西北角法在运价表的西北角选择运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成

4、零的剩余列元素或划去运量变成零的剩余行元素。121314151617填上x33=1后,自然少去一列(第3列),这时不要再去掉第3行。注意到每填一个数据恰好减少一行或一列。1819总共填写m+n个数据填上去的m+n个数据为基变量20产销平衡运输问题的初始解2. 最小元素法选择运价表中最小运价，运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成零的剩余列元素或划去运量变成零的剩余行元素。212223242526填上x14=4后,第4列自然被去掉记住每填一个数据减少一行或一列。27283. 位势法求检验数对每个基变量xij，计算ui和vj，使 ui+vj=cij 其中u

5、1=029303132再计算非基变量检验数ij=cij-（ui+vj）333411=-4 x11每增加一个单位，目标函数可以减少4个单位。目标可以减少，说明当前解不是最优解35闭回路法调整选x11进基，找到闭回路 x11 x14 4- x21 x24 2+ 3-36闭回路法调整为了保证所有xij非负，x11最多增加3。取x11=3 x11 +3 x14 4-3 x21 x24 2+3 3-33738重新计算检验数39404122=-1 x22每增加一个单位，目标函数可以减少1个单位。目标可以减少，说明当前解不是最优解42闭回路法调整选x22进基，找到闭回路 x12 5- x14 1 + x22

6、 + x24 5- 43X22最多增加5 x12 5-5 x14 1 +5 x22 + 5 x24 5-5 44X22进基，x12和x24经过调整同时变成零。但是要注意只有一个变量出基。例如：令x12出基得调整后的运输表为：4546重新计算检验数47484950所有非基变量检验数均非负，当前解为最优解最优解为： X11*=3，x14*=6，x22*=5，x32*=3，x33*=4，其余xij*=0最优目标值为Z*=32+67+53+34+42=8351运输问题数学模型的应用实例设某制造企业根据合同要求，从当年起需连续三年在年末提供3套型号规格相同的大型设备，已知该厂的生产能力及生产成本如下表所

7、示：52生产能力与生产成本表年度 正常生产可 加班生产可 正常生产 完成设备数 完成设备数 成本(万)第一年 2 3 500第二年 4 2 600 第三年 1 3 550 设加班生产情况下每套设备成本比正常生产时高70万元,每套设备不及时交货积压一年的维护费用为40万元。该厂现库存有2套设备，希望第三年末完成合同要求后还能储存1台设备，问如何安排生产，才能使总成本最低。53解：设xj为初始存货用于第j年交货的设备数 yij为第i年正常生产用于第j年交货的设备数， zij为第i年加班生产用于第j年交货的设备数， cj为初始库存设备第j年交货时每台设备维护费， aij为第i年正常生产到第j年交货的

8、每台设备成本费， bij为第i年加班生产到第j年交货的每台设备成本费。上述生产计划问题的数学模型为：54记A为正常生产时的费用矩阵55B为加班生产时的费用矩阵C=（0，40 ，80）56生产计划问题的Lingo模型为MODEL:sets:row/1,2,3/;arrange/1,2,3/:c,x;link(row,arrange):a,b,y,z;Endsetsdata:c=0,40,80;a=500,540,580,0,600,640,0,0,550;b=570,610,650,0,670,710,0,0,620;enddata57OBJmin=sum(arrange(j):c(j)*x(j)+sum(link(i,j):a(i,j)*y(i,j)+sum(link(i,j):b(i,j)*z(i,j);sum(arrange(j):x(j)=2;sum(arrange(j):y(1,j)=2;sum(arrange(j):z(1,j)=3;y(2,2)+y(2,3)=4; z(2,2)+z(2,3)=2; y(3,3)=1; z(3,3)=0;); for(link(i,j):y(i,j)=0