陕西省西安电子科技大学附属中学2016届高考数学研讨会-数学压轴题的解题思路与方法

1、高考数学压轴题的解题思路和方法 周接夏 汪贵宏2015年11月29日关于“压轴题”的几点说明：1.一题压的轴变为多题压轴；2.解析几何题重点在于几何问题代数化的转化的训练；3.函数导数题重点体现创新能力的考查，有一定难度；4.和数列的结合往往增大了压轴题的难度;5.我省与全国卷相比，压轴题比较稳，体现在考查知识点、方法上稳中有进。2/66一、总体认识（研究考纲教材考题）二、规律探索（总结解题思路方法）三、应对策略（教学辅导实践反思）压 轴 题 函数、导数、方程、不等式综合题3/66一、总体认识（一）考纲的角度（二）教材的角度（三）试题的角度4/66（一）考纲的角度（二）函数概念与基本初等函数5

2、函数与方程 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数5/66（十三）不等式2一元二次不等式（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图6/66（一）考纲的角度（文）（十六）导数及其应用（4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.（理）（十七）导数及其应用（4）能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单

3、复合函数（仅限于形如 复合函数）的导数.7/66导数及其应用（文理）（5）了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）. （6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）（7）会用导数解决实际问题.（一）考纲的角度8/66（二）教材的角度 从高等数学的角度，导数概念的起点是极限，从数列的极限函数的极限导数。新课标教材（北师大版）对于导数的引入做了一定的简化，从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，旨在强调导

4、数的几何意义，从而顺利的过渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的工具性作用。9/66 从函数的角度，四个二次（二次函数,二次方程及其根的分布、二次不等式、二次三项式）它们在高考中占有重要的地位,二次函数是高中新课程中一个最基本的函数，其有关性质仍是我们研究函数性质最基本、也是最主要的简单基本初等函数，而二次函数的定义域及值域的考查也以灵活多变的方式出现、三次函数、指数函数、对数函数、对勾函数、分式函数、分段函数在考题中多有出现,应予特别关注.10/661.设问特点；2.交叉知识点；3.函数模型；4.数学思想方法；（三）试题的角度11/66近5年来陕西卷压轴题试题

5、特点年份设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2011年单调区间最值恒成立单调性最值不等式含lnx的分数函数分类讨论2012年零点存在性参数范围数列单调性零点存在定理数列放缩不等式多项式函数分类讨论化归转化12/66年份设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2013年参数值公共点个数比较大小导数几何意义最值 型函数分类讨论2014年函数表达式参数范围比较大小最值，单调性定积分数列含lnx的函数分类讨论数学归纳法2015年函数零点比较大小零点存在定理数列放缩多项式函数分类讨论化归转化近5年来陕西卷压轴题试题特点近5年来新课标全国卷压轴题试题特点年份设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2011年

6、知切线求值恒成立求参数范围导数几何意义不等式证明含lnx的分数函数分类讨论构造函数2012年解析式单调区间参数最大值单调区间不等式含 型的函数分类讨论构造函数14/66年份设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2013年知切线求值证明不等式导数几何意义最值单调性 型+二次函数分类讨论构造函数2014年知切线求值证明不等式导数几何意义最值单调性 +lnx型函数分类讨论构造函数分离参数2015年知切线求值 零点个数零点存在定理切线单调性lnx型+多项式函数分类讨论数形结合近5年来新课标全国卷压轴题试题特点15/66年份设问特点涉及知识点函数模型数学思想方法2013年求单调区间证明不等式零点存在定理

7、切线单调性 +lnx型函数分类讨论构造函数2014年求单调区间参数最大值ln2近似值基本不等式最值单调性 型函数分类讨论构造函数分离参数2015年证明单调性恒成立求参数范围最值单调性 型+二次函数分类讨论构造函数近3年来新课标全国卷压轴题试题特点16/66热点1：利用导数的几何意义处理曲线的切线问题；热点2：利用导数研究三次函数,分式函数,指对 函数的性质问题；热点3：利用导数研究函数的单调性、单调区间、 以及已知函数的单调性，确定函数中的 参变量变化范围等问题；热点4：利用导数处理含参数的恒成立不等式问题； 热点5：利用导数解决实际问题中的最优化问题.试题热点：17/66 通过研究2010至

8、2015年新课标全国卷、陕西卷的15道压轴题，不难发现，这类题主要遵循“化简构造函数求导判断单调性证明恒不等关系”这样的解题流程。但难点在于：第一，构造函数时并不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很大的求导计算量，甚至无法继续解答；第二，即使构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很难理清分类讨论的依据。18/66二、规律探索（总结解题思路方法）（一）重视两大类解题方法 构造函数 分离参数（二）重视数形结合的新趋向 （三）重视三次函数的研究（文科） 19/661.构造函数 函数是高中数学课程学习的核心内容，能够在基本初等函数的基础上构造新的函数解决相应问题，是考生再创造能力和化归转化能

9、力的体现，也能体现出了考生对函数基本思想的准确理解。因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。 事实上，近五年的新课标全国卷压轴题均可用构造函数的方法来解答。20/66 如何构造函数 ？ 构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而证明不等式。 而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估21/66（2）构造函数后分类讨论的依据是什么？1、导函数零点的存在性2、导函数零点大小的不确定性3、函数最值问题取得的可能性4、导函数零点分布的不确定性实质：四个二次的回归22/6623/66作差法构造函数 24/66作差法构造

10、函数 两次利用作差法构造函数 29/66分离指、对函数构造函数 放缩、控元构造函数 作差法构造函数是历年高考压轴题中最常用的方法，在陕西近5年的理科压轴题均是利用作差法构造函数。 另外，由于陕西省高考数学压轴题是三个设问，所以涉及的分类讨论较简单，无需分离参数； 34/66 近6年新课标全国、卷的9道压轴题均可用构造函数的方法求得最值.但如2013、2011、2010这三年新课标卷导数题即使构造函数正确，也存在分类讨论相当复杂的情形，考生难以继续作答. 可以利用分离参数法简化构造函数，使得问题简单求解.2.分离参数37/66洛必达法则3.数形结合 导数除了其正负决定增减之外，还可以结合极值得到

11、函数的大致图像，意味着导数可以和图像问题结合，即是压轴题中较多零点个数问题的本质. 41/66结合草图看零点个数 对近6年新课标全国卷的研究，我们可以发现，若要用常规思维方法解决这类问题，有一定的难度，但若能够渗透数形结合的思想方法，则很多同学都容易接受因此我们在日常的教学中，应引导学生经历用数形结合思想解决数学问题的过程，积累这方面的经验，培养数形结合的能力47/66 在高考中，尤其是文科数学中对导数的考查，三次函数是一个不错的载体。在文科数学课本选修1-1中，也大量的以三次函数为载体对导数的应用进行训练，大小共出现了23题次。 新课标全国卷中，2013年文科第11题与理科第10题为同一题目

12、，其中涉及到一个冷门：三次函数的对称中心；2014年文科第2l题纯粹考查三次函数。4.三次函数（文科） 只要深刻掌握三次函数的图象特征和性质，就能找到明确的解题思路。 一轮复习及模考中暴露的问题没养成解答函数题定义域先行的良好习惯;对“恒成立”问题与“能成立”问题的识别 与练习不够;有关函数应用，对“对勾函数”f(x)=x+a/x (a0)和双曲函数f(x)=x-1/x理解不到位；文科三次函数练习不到位，理科ex ,ln x型函数 的求导应用有待加强；51/66三、应对策略（教学辅导实践反思）1.准确定位，研究学生，提高针对性；2.重视知识的归纳梳理策略； 3.重视例题选择和解法示范策略； 4

13、.重视解题后的反思策略 5.数学尖子生的培优方法。1.准确定位，研究学生，提高针对性高考的考查要求与学生的实际水平 依据学生水平以及内容价值，对所授内容进行合理定位 教学进度与教学难度 全局意识，统筹安排整学年的复习，牺牲“难度”也不要牺牲“进度”，保证完成既定的复习进程教师的“讲”与学生的“学” 充分了解学生的学习情况，课堂的“练”，要练在要害处；课堂的“讲”，要讲在学生的需求点上，缩小问题的切口，一节课着力解决一个或若干个问题 数学复习时，不应只是把所学过的数学知识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行整理，还要把平时所学的各个单元的局部的分散的零碎

14、知识，解题的思想方法，解题的规律进行数学联结，从而使学生能从整体上，系统上，网络上把握知识、思想和方法。2.重视知识的归纳梳理策略 对基础知识、基本技能的系统复习不是对数学知识的简单重复，而是从规律上，从内在联系上，从外部联系上形成一个网络在复习中，要精化每一个概念，夯实每一点基础知识，掌握好每一个思想方法。 56/663.重视例题选择和解法示范策略 在复习时，例题的选择很重要。对例题的选择标准要注意典型性、示范性、综合性、灵活性和探究性，每一个题目都应该是一类题的代表，要做到由题及类，触类旁通，“量不在多，典型就行，题不在难，反思就灵” 高考试题是经过命题组反复推敲，不断打磨命制的，因此，使

15、用好历年高考试题是最好的选择。例如，含参数的二次函数的最值问题在复习题及高考试题中屡屡出现，但是，学生每次遇到时还是把它看作是生题，原因就在于这种例题肯定讲，但是精讲不够，可能只是就题论题，另一方面就是再遇到这类问题时，没有注意化归。 让学生每时每刻有数学问题在思考！4.重视解题后的反思策略 在高考复习时，关键的问题是解决盲目解题的问题，常常遇到这种情形，学生每天都做了许多题，但是过一段时间，前面做过的题目全忘了，无效劳动太多。 如何解决呢？关键的一点就在于反思， “功夫不是下在多解题上，而是用在解题后的反思上”，要让学生懂得“好题第三遍才能真正明白”的道理，那么，反思什么呢？59/66 （1）对审题的反思（2）对解题思维过程的反思（3）对解法多样化的反思（4）对题目本身及解法本身的规律的反思 通过反思,做