矩阵的相似变换

1、矩阵的相似变换 特征值与特征向量 二 特征值与特征向量的性质 三 相似矩阵的相关概念 四 对称矩阵的对角化1一 特征值与特征向量1.1 定义 设A是一个n阶的方阵，若对数 ，存在非零n维向量x，使Ax= x成立，则称是A的特征值，x是A的属于 的特征向量。注1 特征值问题是对于方阵而言的。 注2 特征向量必须是非零向量 1.2 特征值与特征向量的求法（1）若A= 为具体矩阵(即具体给出)求解步骤为：x 2第一步：求出方程 的所有根 ，即为 A的全部特征值第二步：对每个不同的 ，解其次方程组(A =0，求出一个基础解系 即为A的属于 的线形无关特征向量。 则为A的属于 的全部特征向量。注1 称

2、为A的特征多项式，其为 的n次多项式。 称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根 ）3所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值 的重数称为的代数重数，记做 注2 方程组 的解空间 称为A的属于 的特征子空间，而把 dim 称为 的几何重数，记作注3 特征值 的几何重数 与代数重数 满足1.3 设A为n阶方阵，A的n个特征值 对应的特征向量为 又设f( )为一多项式，则 f (A )的特征值为f( ), i = 1,2,3.n 且 所对应的特征向量 xi 也同 时为f( )所对应的特征向量。 4典型例题分析 1）特征值于特征向量的计算 例1 求A= 的全部特征值和对应的特征向量 所以A的全

3、部特征值为 5 当可知所以 就可写成令 的基础解 系 就是矩阵A对应于 的特征向量，全部特征向量为当 时 所以 可写 6如下形式 取 得取 得 均为A的二重特征值 的特征向量，全部特征向量为 其中 不全为零 7二特征值与特征向量的性质2.1 设 是方阵A的互不相同的特征值， 是分别与之对应的特征向量 ， 则 线性无关 2.2 属于同一特征值 的特征向量的任意非零组合 仍是属于 的特征向量 2.3 设n阶方阵A的n 个特征值为 ，则 8注1 若 是A的分别属于特征值 的特征向量， ，则 不是A 的特征向量注2 若 ，u 分别是A，B的特征值，则 未必是A+B的特征值 ， 也未必是 AB的特征值

4、注3 A 与 有相同的特征值，但特征向量 未必相同注4 正交阵A的特征值只能是1或-1 9三 相似矩阵的相关概念3.1 定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩 阵P，使 ，则称A相似与B。3.2 基本性质 自反性：A与A相似； 对称性：A相似与B，则B也相似与A； 传递性：A相似与B，B 相似与C，则A相似与 C 3.3 相似矩阵的性质 10若 ，即A相似与B，则（1）(3)( 2 ) (4) 从而A与B有相同的特征值 (5) 。11四 对称矩阵的对角化4.1 n阶矩阵A可对角化的条件 (1) A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量 （2）若A有n个互不相等的特征值，则A 可对角化 注 这是充分而非必要条件 （3）A可对角化的条件是对A的任一特 征值，有124.2对角化的方法 （1） 求出A的所有的特征值 其 中互不相等的特征值为 (r1）重特征根 ，将求出的的基础解系正交化,这样合并后得到