高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳

1、高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳一、考情分析 TOC o 1-5 h z 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几

2、何体的表面展开问题.折叠与 TOC o 1-5 h z 展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点.(2)平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发 生变化，我们称其为“不变量”.求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键.(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析 (一)平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于

3、画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起 点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1.折叠后的形状判断【例题1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围2 【分析】根据平面图形的特征 ，想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】【试题解析】可以.把横着的小方形折起后，再折竖着的小方形，则最上方的小方形与正方体的一个侧

4、面重合，导致正方体缺少一个侧面；把下方的小方形折起后，则上方的小方形中的第 1,2个重合，导致正方体的底面缺少，不能折成正方体；把中间的小方形当成正方体的底面，则右下方的小方形折叠不起来，构不成正方体.【练习】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）【例题2】将图1中的等腰直角三角形 ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形 ABCE口图2）,则在空间四边形ABC由，AD与BC的位置关系是（）A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【试题解析】在图1中的等腰直角三角形 ABC，斜边上的中线 AD就是斜边上的高，则ADL BC折叠后如图, AD与B

5、C变成异面直线，而原线段BC变成两条线段 BD CD这两条线段与 AD垂直，即AD! BD,AD1_ CD故ADL平面BCD所以ADL BC【练习】如图，在正方形ABCD43，点E,F分别为边BC,AD的中点，将 “BF沿BF所在直线进行翻折，将 8E 沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中()A.点A与点C在某一位置可能重合B.点A与点C的最大距离为 6A区C.直线AB与直线CD可能垂直D.直线AF与直线CE可能垂直.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的

6、结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例题3(体积问题)如图所示，等腰 ABC的底边AB =6厌,高CD =3,点E是线段BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EF，AB ,现沿EF将4BEF折起到zPEF的位置，使PE，AE , 记BE =x, V(x)表示四棱锥PACFE的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值?【试题解析】(1)由折起的过程可知，PE，平面ABC,S废bc =9和，S =匚1s x：皿5J皿12V(x)= 2x(9-lr) ( 0 x0 ,V(x)单调递增；6 Mx 34时 v(x)8 B.优6 D.的大小关系无法确定

7、【答案】B【试题解析】如图,在三棱锥力-EOD中，作AH 1平面BCD于比连8H刀，则日”分另IJ为4日/D与平面9C0所成的角.直线与平面9。所成角的角均小于直线 再口与平面所成的角,:.ABAD.过作 1 RJHN 1叫垂足分别为M.N,连力MB,则有AM 1, HC,AN 1.分别为一面角A-BC-nA-。 N 的平面角在中，CB = CD,设BD的中点为O,则C。为DC边上的中线由可得点H在CO勺左侧（如图所示）,HM HNAH又HmAH又d用为锐角,故选B.2.【四川省德阳市 2018届高诊】以等腰直角三角形 ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将AABD与AACD折成互相垂直的两个

8、平面，得到以下四个结论： BD _L平面ACD ;AABC为等边三角形；平面ADC _L平面ABC ;点D在平面ABC内的射影为AABC的外接圆圆心.其中正确的有（）A. B. C. D. 【试题解析】由于三角形ABC为等腰直角三角形，故BDLBBD1CD,所以BD 1平面ACD ,故正确，排除B选项.由于AD _L BD ,且平面ABD _L平面ACD ,故AD _L平面BCD ,所以AD _L CD ,由此可 知一 一一. ,三角形为等比三角形，故正确，排除D选项.由于M 二 DR 二 DC ,且AABC为等边三角形，故点D在平面ABC内的射影为AABC的外接圆圆心，正确，故选C .ff.

9、已知梯形CEPD如下图所示，其中口口 = 8,处二6,4为线段0的中点，四边形岫8为正方形，现沿AB进行折叠，I I I使得平面PABE，平面ABCD,得到如图所示的几何体.已知当点F满足=时，平面def，平面PCE,DA. B. C. D.【答案】C【试题解析】因为四边形 ABCD为正方形，且平面PA3E，平面A8CD，所以PA.AB.AC两两垂直，且PA/BE，所以建 立空间直角坐标系（如图所示）,又因为pd = & ce = 6,所以p9口44）口40。口（0屈）4皿0）, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document I

10、I II则 F（4XA0），DE 二 & - 4，DF =（4 尢- 4,0）,CE =（5 - 4.2）,EP =（- 4 a2）,设平面 以F 的法向量为 m 二仅乂方,则由 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document I 4k* 4y += 0 m - （1A-2X - 2）1I严巴二。得Iy”。，取，平面PCE的法向量为廿（xm，则由唱二得少 +个|取m-DFn EP = 0. 八 + 2” 口，I .， HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 、工十x _ m n = 1 + X + 2（2 - 2）

11、= 5X 3 = 0 /口3 -因为平面DEFJ平面PCE，所以，斛得X = g.故选C.如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是（）A.点M到AB的距离为-22B. AB与EF所成角是9091C.三棱锥C -DNE的体积是16D. EF与MC是异面直线【答案】D【试题解析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，A中M到AB的距离为10MC2正确；EF/MC,D错误.】1 , 一 1_ X _, X 1X1X 1 =一，C,A正确；AB与EF所成角是90, B正确；三棱锥C DNE的体积是 2一.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以E, C,。四点为

12、顶点的三棱锥体积最大时 ，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）度A.90B.60C.45D.30【答案】C【试题解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD垂直平面 ABC时三棱锥的体积最大.设AC的中点为O,则/DBO即为所求，而ADOB是等腰直角三角形，所以jDBO=4v，故选c.【辽宁省辽阳市 2018学届高三第一次模拟】 如图，圆形纸片的圆心为 O,半径为6cm,该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O, E, F , G , H 为圆 O 上的点，|_ ABE, LBCF, CDG , 1ADH 分别以 AB, BC, CD, DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB, B

13、C , CD, DA为折痕折起L ABE , LBCF, LCDG , LJADH，使得E , F , G, H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积 的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 .【答案】50正一 3cm27【试题解析】如图:11xx连接0它AB于点I,设E,F,G,H重合于点P,正万形的边长为x(XA0),则OI=, IE = 6 22因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以一三 二 2，解得x = 4,设该四棱锥的外接球的球心0026 OP = 464=273炉=(2 布-，解得R=-5，外接球的为Q,半径为R,则.【山东省济南市2019届高三上学期期末】 在正方形用?

14、。中，点E,F分别为的中点，将四边形CDFE沿项翻折，使得平面CDFE 1平面ABEF,则异面直线与CF所成角的余弦值为b10连接FC,与DE交于0点，取BE中点为N,【试题解析】连接ON,CN易彳导ON/ BD / CONt是异面直线 即与“所成角设正方形的边长为2,FC 5BDOC= . . ,ON=. UUrcos / CON=4 = 41UY30 故答案为：.12.如图所示,在四边形ABCD中，=AD = CD71D=nIbD_CD ,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体 A-BCD,使平面A，BD_L平面BCD ,则下列结论正确的是(1) AC _L BD ;逸rc二町(3) CA

15、与平面ABD所成的角为30 :(4)四面体A 一 BCD的体积为一.6【答案】(2) (4)【试题解析】平面 A/BD _L平面BCD二CD _L平面aBD，CA，与平面A/BD所成的角为NCA,Dv AD-CD:. ACAD -，四 面 体A7 - bcd的 体 积 为F=Ls，h = l乂Lxl = L,，：* = 皿=LD8=#，ACBD，综上(2)(4)成立.3 皿 3 269.如图，矩形ABCD中，AB =2AD , E为边AB的中点，将AADE沿直线DE翻折成&ADE ,若M为线段AC的中点，则在 MDE翻折过程中，下面四个选项中正确的是 J 填写所有的正确选项)(1) | BM

16、|是定值(2)点M在某个球面上运动(3)存在某个位置，使DE _L A1C(4)存在某个位置，使MB/平面ADE【答案】(1) (2) (4)【试题解析】取 CD中点F ,连接MF , BF ,则MF /DA1，BF /DE ,，平面MBF /平面ADE ,13MB/平面ADE ,故（4）正确；由乙4四二dFB , MF = 为定值，FB = DE为定值,由余弦定理可得二庆+向】-2MF，FB cos AIFB ,mb是定值，故（i）正确； B是定点,M是在以B为圆心，MB为半径的圆上 故（2）正确； AC在平面 ABCD中的射影为AC , AC与DE不垂直，.存在某个位置，使DE _L Ai

17、C错误，故（3）错误.10.【四川省广元市高 2018届第二次高考适应性统考】如图 ，在矩形ABCD中，AB = 4, AD = 2, E是CD的中点，以AE为折痕将ADAE向上折起，D变为D,且平面D AE _L平面ABCE .(I)求证： AD _L EB ;(n)求二面角 A-BD -E的大小.【答案】(I)证明见解析；(n) 900.【试题解析】(I)证明：AE = BE = 2Ji, AB=4, AB： =AE： + BE* , AE .LEB,取 ae 的中点 m，连结 md,则AD=DE=20Mly 1AE ,平面 D AE _L 平面 ABCE , MD _L平面 ABCE ,

18、 MD _L BE ,从而 EB _L 平面 ADE, AD_LEB，(n)如图建立空间直角坐标系 ，14则 A (4,2,0)、C(0,0,0). B(0,2,0)、D，(3,1,T2),E(2,0,0 ),从而房=(4,0,0 ) , ED = (3tM ,BE =(1-2,0).设H=(x，Vi z I为平面ABD 的法向量，。可以取康n- BA = 4x-0则口1 -BD = 3兀t +W?设口：=X，对为平面BD E的法向量,小(口,一力ri、BE = 2x-2v = 0则n、- BD= 3x-v+/2z = 0因此,ni n2 =0,有ni 1血,即平面ABD _L平面BD E ,

19、 故二面角A-BD-E的大小为90.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1,已知菱形AECD的对角线AC.DE交于点F,点E为线段4日的中点/营=2,，氏4 二 60将三角形 川)E沿线段Dff折起到16后的位置，pc = q,如图2所示.(I )证明：平面PHC -L平面FCF ;(n)求三棱锥E-P8C的体积.【试题解析】(I )折叠前，因为四边形4E8为菱形，所以小C1 DE -所以折叠后 邛工PF,DE上CF,又PFFCF二F,FFF仁平面POF,所以DE 1平面FCF因为四边形力ECD为菱形，所以AE/lKtAE - 1)(：15又点E为线段Hi?的中点,所以 所以四

20、边形DEHC为平行四边形.所以 .又DE 1平面PCF,所以RC 1平面POF.因为仁平面PBC,所以平面PBC 1平面PCF.（n ）图 1 中，由已知得再产二 二 2 ,BC = BE=1, “BE = 60。所以图2中，PF=CF = -,又PC=千所以 pr + CF2 = pc 所以 PFl CF又平面产CF,所以产产又 8CCCF = C,u 平面 B CDE,所以PF _L平面RCDE,I11所以,X181所以三棱锥日的体积为-.【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图,在多边形1EPC。中（图1） ,HE6为长方形为正三角形百= 3君（：=342,

21、现以打匚为折痕将.也折起，使点2在平面?1日8内的射影恰好在八户上（图2）图1（I）证明：FDJ平面产H日；（II）若点F在线段PR上，且PE=：PH,当点Q在线段4。上运动时，求三棱锥Q -ERC的体积. Is【试题解析】（I）过点P作P。1月氏垂足为。16由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD ,F0工平面同日。.四边形人白。为矩形，：AB LAD.又同O CPO = O, ：.AB 1 平面 PAD,，、工-.又由AS = 3,1P廿=3a,可得PA = 3,同理P口二3 .又同。=3姆，.P/ + PD = m . .p?! _LP仇且PA n AB = A,：. PD _L 平面

22、PA8.(n)设点E到底面Q日匚的距离为h,AB1则“ EBCVS QBC =丹Q附 乂 力1BE 2由PE田，可知前=不JJ IJ13.【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】 如图所示,在边长为2的菱形A6CD中，DC = 60、现将d/JDC沿4边折到AAPC的位置.17p(1)求证：PB 1 AC ;(2)求三棱锥体积的最大值【试题解析】(1)如图所示,取AC的中点为0,连接闱、OB,易得A,，町AClOH,puno8 = ,AC1平面即日，又PB三面POBa AC PB(2)由(1)知AC1平面POH.且在功长为2的菱形月8口)中,所以AC = 2. PO = OB =

23、|志体积轼化为Vp ABC = VA POB + VC叫用_ 1“ C 1 V 9 v 1 v Tv国”口门一 口门门4 =SiPy|j = - X 2 X - X v J X v3sinzPOW = SHIZPOW ,当POB=90。时，/耽的最大值为1.14.【云南师范大学附属中学 2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，4D = 4百,CD = 4, A ABC是边长为8的正三角形,把 RBC沿AC折起到 PAC的位置,使得平面PAC 1平面ACD如图所示乙所示，点O,M,N分别为棱AC,PA,AD的中点.(1)求证：八D，平面PONQ)求三棱锥P-MN。的体积.

24、【试题解析】(1)如图所示，: AFC为正三角形，0为AC的中点,18:平面PAC 平面ACD,平面PAC门 平面ACD = AC,:.P0 1 平面 ACD,-/ A口 仁平面 ACD,.二：.一门1.：1；.、，: D - 4, Ai. - ：,.t AC* 二知/ + CD即AD 1 CD.7 0,N分别为棱AC,AD的中点,:卜” D,._ AD,d . p。n on = o:，AD 1 平面 PON1(2)解：由 AD 1CD,AD = 4昆 CD = 4,可得 Sami = 2X4x4%3 = 8、3,丁点。N分别是AC AD的中点，1二 SdW= 4*八仙=2，ACP是边长为8的

25、等边三角形，： -l .,又不 M为PA的中点，工点M到平面ANO勺距离h =入后vm ano =不对0 h = J入5x入百=4.又 v- ANO = 3S ANO 口P = 3 X 2、,4 X 4弗=8,MNO =% AON 。AMO = 8 - 4 二 415.【湖北省荆门市2019届高三元月调研】 如图，梯形力BCD中CD,过儿&分别作力E LCD#/_L 8, 垂足分别一一匕口 = 5,已知DE = 1,将梯形4HCD沿八及BF同侧折起，得空间几何体 W- BCF ,如图 .19(1)若/F1BD,证明：DE _L W ABFE -若口ECF,CD=干,线段月B上存在一点P,满足“

26、与平面月匚D所成角的正弦值为 求”的长.【试题解析】(1)由已知得四边形 ABF既正方形，且边长为2,在图2中，入FLEE,由已知得 AF VBD,BECyBDB, ：-AF1 平面 BDE.又。仁平面 BDE AF DE,又 AE _L DE, AE D AF = A, a DE .L 平面 ABFE.(2)在图2中，力生小.工日0打门产=即小上面DEFC在梯形DEF计，过点D作DM/EF交CF于点M连接CE7T由题意得DM=2, CM = 1,由勾股定理可得DC -L匚尸，则=-,CE = 2 ,过E作讶仃1 EF交DC于点G可知GE EA EF两两垂直，以E为坐标原点，以后/肝，网分别为

27、x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系I则42,川江火220)(03/3),0(0.- J2),* =(-21 廊二亏).ACAD士 2设平面ACD勺一个法向量为I20zo = (2,m - lh - 3) 设小P = m,则P(Z m 0), (0 01n 2),得卬设CP与平面AC所成的角为,|m|42sintf = |cos != = j/ = n=m = tGJ?+2032所以於 -1116.【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图(1)直角梯形(如图2),使ABCD,AB/CD,曰MH = 90, AH = 4, AD = CD = 2 ,E 为 AH 的中点，沿EC 将梯形 ABCD 折起 二:1 口 - 士。1图1也(1)证明：HE 1平面小乩P ；(2)求点E到平面的距离.【试题解析】(1)由已知可得21BCF为直角三角形，所以B占1CE.又乙 RED = 90，所以 RE 工 ED,CECED = E所以BE 1平面AECD .(2)因为HE 1平面/I占CD, HE u平面小