灰色系统辨识

1、J I A N G S U U N I V E R S I T Y系统辨识与自适应控制专业：控制工程姓名：XXX学号：灰色系统辨识第1章灰色系统的概念与基本原理客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了 解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维 逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之 为灰色系统。1.1灰色系统的概论灰色系统理论提出了一种新的分析方法一关联度分析方法，即根据因素之间 发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的 特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没

2、有过分的要求， 也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化 结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等 各方面，都取得了较好的效果。1.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结 构体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论 体系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。 以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策， 控制，优化为主体的技术体系。灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据

3、，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。 灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰 色量，并把随机过程看成灰色过程。第2章序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子定义2.1.1设X0 = (x0(1),刈(2), ,x0(n)为系统真实行为序列，而观察到的系统 行为数据序列为X = (x(1),x(2), ,x(n) = (x0(1) + 匕,x0(2) +82, ,x0(n) + 8 ) = X0 +8 其中，8 = (88;8)为冲击扰动项(干扰项)。X称为冲击扰动序列。 所以本章我们的讨论围绕：由XT X0展开(扰动还原真实)2.

4、2缓冲算子公理定义2.2.1设系统行为数据序列为X = (x(1), x(2), x(n)，若Vk = 2,3 , n, x(k) - x(k -1) 0，则称X为单调增长序列；若1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；若3k,k七2,3 ,n,有x(k)-x(k-1) 0,x(k)-x(k-1) v 0，则称 X 为随机振荡序列。设M = maxx(k)lk = 12,3, ,n ,m = x(k)l k = 12,3, ,n ，则称 M-m 为序列X的振幅定义2.2.2设X = (x(1), x(2), x(n)为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为XD

5、 = (x (1)d, x(2) d, , x (n) d)称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若D1,D2,D3都是序列算子，我们称D1D2 为二阶算子，并称XDD = (x(1)dd , x (2) dd , , x(n)d d )1 21 21 21 2为二阶算子作用序列，同理，D1 DR为三阶序列算子定义2.2.3称下述三公理为缓冲算于三公理，满足缓冲算于三公理的序列 算于D称为缓冲算于，一阶，二阶，三阶缓冲算于作用序列称为一阶，二阶， 三阶缓冲序列。公理1 (不动点公理)设X = (x(1), x(2), , x(n)为系统行为数据系列，D为序列

6、算于，则D满足x(n)d = x(n)。不动点公理限定在序列算于作用下，系统行为数据序列的数据x(n)保持不变。根据定性分析的结论，亦可使x(n)以前的若十个数据在序列算于作用下保持 不变。例如，令x( j)d 丰 x( j)且x(i)d = x(i)其中,j = 1,2 ,k -1 i = k,k +1, ,n.公理2.(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x (k), k = 1,2,，都要充分地参与算子的作用全过程公理3 (解析化、规范化公理)任意的x(k)d,(k = 1,2,)，皆可由一个统一的x(1), x(2), x(n)的初等解析式表达。定义2.2.4设X为原始数

7、据序列，D为缓冲算于，当X分别为增长序列，衰 减序列或振荡序列时：若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小， 则称缓冲算于D为弱化算于。若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大， 则称缓冲算于D为强化算于。2.3实用缓冲算子的构造定理2.3.1设原始数据序列X = (x (1), x (2), x (n )令缓冲序列XD = (x (1) d, x (2) d, x (n) d)其中 x(k)d = 1X(k) + x(k +1) + + x(n) ； k=1,2,，n,则当 X 为增 n - k +1长序列，衰减序列或振荡序列时,D为弱化算子，

8、并称为平均弱化缓冲算子(AWBO)证明：直接利用x(k)d,(k =1,2,)的定义，可知定理成立。推论2.3. 1对于定理1中定义的弱化算子D，令 XD 2 = XDD = (xd2, x(2) d2, x(n)d2)x(k)d2 = 1x(k)d + x(k + 1)d + + x(n)d, k = 1,2 n，n - k +1则D 2对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱化算子。定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为X = (x (1), x (2), x (n )XD = (x (1) d, x (2) d，,x (n) d)其中 x(k)d = x(1) + x +2

9、言-1) + 顷k),k = 1,2 ,n-1 TOC o 1-5 h z x (n) d = x (n)则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化算子。推论2.3.2设D为定理2中定义的强化算子，令XD 2 = XDD = (x(1)d2,x(2) d2,x(n)d2)，其中x(n)d 2 = x(n)d = x(n) * *x (1)d + x (2) d + + x (k - 1)d + kx (k) d、x (k) d 2 = , k = 1,2 , n -12 k -1 则D 2对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子：定理2.3.3原始数据序列和其缓冲算子序列分别为X

10、 = (x (1), x (2), x (n )其中x(顷-切()t忠宝n (n)，k-1，2，n，则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子 (WAWBO)定理2.3.4设X - ( x (1), x (2), x (n )为非负的系统行为数据序1_n 一 k+1ik列，令 XD - (x (1) d, x (2) d, x (n)d)其中 x(k)d x(k)x(k +1)口 (n)n-k+1 -仰 x(i) n 一 k+1, k -1,2 , n。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子，并称D为 几何平均弱化缓冲算子(GAWBO)

11、定理2.3.5设X - ( x (1), x (2), x ( n )为系统行为数据序列，各时点的权重向量为-(气， 气)，则XD - (x d, x (2) d, , x (n) d)其中 x( k) d = ) + *1x(k + D + +%x(n), k -1,2 , n。则当 XD 皆为 TOC o 1-5 h z +弱化缓冲算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子(WAWBO)。定理2.3.6设X - ( x (1), x (2), x (n )，各时点的权重向量为 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document -(S)0,令XD - (x (1)

12、d, x (2) d, x (n) d)其中x(k)d - x% (k气k + 1)口.产 (n)气 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 1rf1+气+1+ +气-日 x(i)气 + 气+1+ +气 ，k -1,2 , n i - k则当X D为弱缓冲算子，并称D为加权几何平均弱化缓冲算子(WGAWBO)。定理2.3.7设X - ( x (1), x (2), x ( n )为系统行为数据序列，令XD - (x (1) d, x (2) d, x (n) d)其中 Md =明;x()H。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并

13、称D为 平均强化缓冲算子(ASBO)定理2.3.8设X = ( x (1), x (2), x (n )为非负的系统行为数据序列，令 XD = (x d, x (2) d, x (n)d)其中x(k)d =x 2(k )x (k )产(k + 1匕.任(n)i n - k+1x 2(k )1 x (i ) n - k+1则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为 几何平均强化缓冲算子(GASBO)以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲 算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。 通常在建模之前根据定性分析结论对原

14、始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲 击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。2.4均值生成算子在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也 称空穴)，有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形 成异常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过 程中首先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空穴，生成新 序列的方法。定义2.4.1设序列X在k出现有空穴，记为0(k)，即X = ( x (1), x (2), x ( k 一 1), 0 (k ), x (k + 1), x (n )贝称x(k -1)和x(k

15、+1)为0(k)的界值，x(k-1)为前界，x(k +1)为后界当0(k)是由x(k-1)和x(k +1)生成时，称生成值x(k)为x(k-1), x(k +1)的内点定义2.4.2设序列X =(尤(1),尤,x (k - 1), 0 (k ), x (k + 1), x (n )为 k 处有空穴0(k)的序列，而0(k) =x*(k) = 0.5x(k -1) + 0.5x(k)称为非紧邻均值生成 数，所得序列称为非紧邻生成序列。定义 2.4.3 设序列 X = ( x (1), x (2), x (n )，若x*(k) = 0.5x(k -1) + 0.5x(k)，则称x*(k)为紧邻生成

16、数，由紧邻生成数构成 的序列称为紧邻均值生成序列。2.5序列的光滑性定义 2.5.1 设序列 X = ( x (1), x (2), x (n ), x (n + 1)，Z 是 X 的均值生成序列：Z = ( z(1), z (2), z( n )，其中 z(k) = 0.5x(k -1) + 0.5x(k)，X*是某一可导函数的代表序列，d为n维空间的距离函数，我们将X删去x (n + 1)后所得的序列仍记X，若X满足当k充分大时，x(k)尸x(i)i=1max x*(k) - x(k) max x*(k) - z(k)1 k n1 k n则称X为光滑序列，1，2为序列光滑条件。定义 2 p

17、 (k) =； k = 2,3, n尸 x(i)i=1为序列乂的光滑比。定义3序列X满足1 . P (k +1) 1; k = 2,3 , n -1 P (k)2. p (k) G 0,8 ;k = 3,4 , n3 . 8 0.5 则称X为准光滑序列。2.6级比生成算子定义1序列X =(工(1), x (2), x ( n )，则称x (k) x(k -1)为序列X的级比。2.7累计生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其 重要的地位。通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中 蕴含的积分特性或规律充分显露出来。定义 1 X0

18、(x0(1),x0(2), ,x0(n) ,D 为序列算子X0D = (xo(1)d,x0(2)d, 7x0(n)d)，其中x0(k)d =芫 x0(i);k =1,2,3, n。i1 则称D为X 0的一次累加生成算子，记为1 - AGO ( AccumulatingGeneration Operator),称r阶算子Dr为X0的r次累加生成算子，记为r-AGO, 习惯上，我们记X 0 D = X1 = (x1(1),x1(2), x1( n)X 0 Dr = Xr = (xr (1.r (2), U (n) 其中 xr(k)d = Y xr-1(i);k =1,2,3, ,ni=1 定义 2

19、.7.2 设 X0 = (x o(1), x o(2), x0(n) , d 为序列算X0 D= ( x(1)d ,x ( 2d , 0 x, n(其中)k =1,2,3, nxo(k)d - xo(k) - xo(k -1)2.8灰指数律定义 2.8.1 设序列 X = ( x (1), x (2), x (n )，若对于x(k) = ceak;c, a。0;k = 1,2 n 贝0称，X 为齐次指数序列。x(k) = ceak;c, a, b。0; k = 1,2 n,称 X 为齐次指数序列。定义 2.8.2 设序列 X = ( x (1), x(2)；, x (n )若.Vkq(k) =

20、 x(k) e (0,1，则称序列X具有负的灰指数规律。x (k -1)Vkq(k)= 卫八e(1,b，则称序列X具有正的灰指数规律。x(k -1)Vkq(k)=史2 ea,b,b-a =8则称序列X具有绝对灰度为5的灰指x(k -1)数规律。4. 8 0.5时，称X具有准指数规律。定理2.8.1设序列X0 = (x0(1), x0(2), x0(n)为非负准光滑序列，则X 0的一次累加生成序列X 1具有准指数规律：.注：定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础第3章灰色系统模型研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能， 协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行

21、具体的量化研究。这种 研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合，系统模型的建立，一般要经 过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型， 量化模型，动态模型，优化模型。在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返， 使整个模型逐步趋于完善。灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由 于这是本征灰色系统的基本模型，而且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为 灰色模型，记为GM(Grey Model)，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变 为随机性被显著削弱而且较有规律的生成

22、数，建立起的微分方程形式的模型，这 样便于对其变化过程进行研究和描述。3.1 GM(1,1)模型1. GM(1,1)的定义设原始数列x(0)为n个元素的数列m = (mm (2),知(n),其一次累加生成数列为坷=(x(i)(1),x(2),/(n),则定义x(i)的灰导数为(差分形式的导数，dt=k-(k-1)=1)d(k) = x(0) (k) = x(k) - x(1)(k -1)(3.1)令乙(1)为数列x(1)的紧邻均值数列，即z (k) = 0.5 x (k) + 0.5 x (k -1), k = 2,3, , n则z=(zd)(2), z，z(n)，于是定义GM(1,1)的灰微

23、分方程模型为d (k) + az (1)( k) = b即x (0) (k) + az (k) = b(3.2)其中x(0)(k)为灰色导数，a称为发展系数，z(k)为白化背景，b为灰色作用量。将时刻k = 2,3, ,n代入到式(22)x (0) (2) + az (1)(2) = b(3.3)x (0) (3) + az (3) = b x (0) (n) + az (1)(n) = b令X(0) (2)K = X (0):_ x(o)(n) _K是数据向量，B是数据矩阵，程为由最小二乘法可以求得u = TOC o 1-5 h z F1 a- z(1)(3) 1,、,u=_，B=:(3.4

24、)_-z (1)( n) 1_u是参数向量，贝ljGM(1,1 )模型可以表示为矩阵方K = Bu(3.5)，-八、，、.-(a, b )t = ( BtB )-1 BtY(3.6)2.GM(1,1 )的白化型对于GM(1,1)的灰微分方程(3.2)，如果将X(0)(k)的时刻k = 2,3, ,n视为连续连续的变量t，则数列X (1)就可以视为时间t的函数，记为X (1) = X(1)(t)，并让灰导数xg对应于导数咎，背景值顼)对应于如。于是得到GMS)的灰微分方程对应的白微分方程为(3.7)dx (1)+ ax =b dt称之为GM(1,1)的白化型。值得注意的是：GM(1,1)的白化型

25、(3.7)并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接 推导出来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度 高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之 亦然。第4章灰色预测预测就是借助于过去的探讨去推测，了解未来。灰色预测就是通过原始数据 的处理和灰色模型的建立，发现，掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定理预测。灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测， 同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区 内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。

26、这些工作实质上是将“随机过程” 当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中 都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。4.1灰色预测方法设已知参考数据列为刘=3。)孙(2), , x(0)()，其1次累加生成数列为X =(x (1),x (2), x(1)( n)=(X(1),x(1)(1)+ x(0) (2), X(n -1) + x(0) (n) k其中 x(1)(k) = Z x(0) (i), k = 1,2, ,n。均值数列i=1

27、z (k) = 0.5 x (k) + 0.5x (k -1), k = 2,3, , n则z=(z(1)(2), z(1)(3),z(n)于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为 x (0) (k) + az (1) (k) = b对应的白微分方程为(4.1)dx (1)7+ ax =bdtx (0) (2)x (0) (3)x (0) (n)-z (1)(2)1-z (1)(3)1-z (1)( n)1由最小二乘法，求得使得J(U) = (Y - Bu)T (Y - Bu)达到最小的值的u = (a,b)T =(BtB)-1 BtY，于是方程(27)的解为x(1)( k +1)=(为)(1

28、)一” )e -ak + , k = 1,2, , n -1(4.2)a a 4.2灰色预测的步骤Stepl、灰色数据的处理与检验，首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理，设参考数列为x(0)= (x(0)(1)g(2),x(0)(n)，计算数列的级比 从 k) = *1), k = 2,3, , n(4.3)x (0) (k)如果所有级比人(k)都落在可容覆盖(e-二en+1)内，则数列x(0)可以作为模型 GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列x做必要的变换处理，使其落 入可容覆盖内。及取适当的常数c，做平移变换 TOC o 1-5 h z y(0) (k) = x(0) (k) + c, k = 1,2, n(4.4)则使数列 y(0) = (乂0) (1),y(0) (2), 乂0) (n)的级比 人 (k) = , k = 2,3, n(4.5)yy (0) (k)Step 2、建立模型按照4.1中的方法，建立GM(1,1测可以得到预测值x(1)(k +1) =