高三文科数学知识点集中梳理(3-5)

1、高三文科数学知识点集中梳理（三）第三部分：数列、立体几何第八篇：数列：1数列的通项公式是指项与项数的关系式，求和公式是指前项和与项数的关系式；递推公式是指前后若干项之间的关系式：如。2等差数列定义：（为常数），即（）。成等差数列是的等差中项（算术平均数）。3等差数列通项公式：，变式：+；结构：（时是一次函数）。4等差数列性质：（1）若则，若，则；（2）（项数乘以中间项，适合前奇数项之和）；（3）。5等差数列前n项和：= ；结构：。（时是常数项为0的二次函数），如：已知：，则为等差数列，若，则从第二项起才是。须注意，解答题中要证明，下面等比数列类似。6等比数列定义：（为非零常数），即（）。成等比

2、数列是的等比中项。注意：1, 4的等比中项是；7等比数列通项公式：，变式：。结构：8等比数列性质：（1）若，则，若，则，（已知时可快速得到结果）。9等比数列前n项和：= ；结构：。如：，则是公比为2的等比数列，则从第二项起才是等比数列。10若为等差（等比）数列，则成等差（等比，时）数列。11等比数列中，若，则所有项同号；若 则各项正负相间。因此等比数列的奇数项同号，偶数项同号。12证明数列的方法：（1）等差：常数（2）等比：非零常数（3）递增：。13.数列的求和法：裂项相消法。错位相减法、分组（拆项）求和法。裂项相消：，则；（适用于：分子是常数，分母是等差数列前后两项之积）。错位相减：用于求形

3、如的前n项和；其中等差，等比；分组（拆项）求和：用于求形如的前n项和；其中、是等差或等比数列。14对于任意数列，=。15数列通项公式的求法：（1）已知或：（2）累加法：已知 时（形如：）；（3）累乘法：已知时。第九篇：立体几何：1理解多面体（棱柱、棱锥、棱台），旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的定义及它们的结构特征。2（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（2）正棱柱：底面为正n边形的 直 棱柱；（3）平行六面体：底面为平行四边形的四棱柱。3用斜二测画法作平面图形的直观图时，已知图形中平行于轴、轴的线段在直观图中分别画成与轴、轴平行的线段；已知图形中平行于轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于轴的

4、线段长度变为原来的一半 ；其他边的长度变化没有固定的规律。平面图形的直观图与原图的面积之比为。注意：原来90变为45，并不代表80变为40。4画几何体的三视图时，俯视图画在正视图正下方，侧视图画在正视图正右方，而且要满足正俯等长，正侧等高，侧俯等宽。5正三角形的边长为，则面积为，正六边形的边长为，则面积为。6各种几何体的表面积和体积：几何体侧面积表面积体积圆柱圆锥圆台（不要求记忆）+棱柱底面周长高2+棱锥各侧面面积之和底面积+侧面积棱台（不要求记忆）各侧面面积之和底面积+侧面积球无计算三棱锥的体积时，注意选择底面与高的多样性，利用等体积法可求点到面的距离。7对于半径为的球和，表面积之比；体积之

5、比。8.（1）公理1：一直线上有两个点在一平面上该直线在此平面上，用符号表示是（2）公理2： 不共线的三点 确定一个平面：3个推论：一直线及 直线外 一点；两相交直线；两 平行 直线；都可以确定一个平面。（3）公理3：两不重合的平面有一公共点它们有一过该点的公共直线；用符号表示是（4）公里4：平行于 同一 直线的两直线平行；用符号表示：。9.11直线与平面的位置关系10.空间等角定理：空间中两个角的两边分别对应平行此两个角相等或互补。13证明线线平行的方法：（1）初中平面几何的定理：如中位线，平行四边形，对应变成比例（跳过相似得平行）、平行公理等。（2）线面平行的性质定理：直线与平面平行，则过

6、直线的任一平面与平面的交线与直线平行。符号语言：。（3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与平面相交（交线分别为），那么它们的交线平行。符号语言：。（4）垂直于同一平面的两直线平行。14证明直线与平面平行的主要方法（定义法：证明两者没有公共点，此法一般不用）：（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行符号语言：。（2）面面平行的性质定理：平面与平行，则内的任意一条直线与平面平行。符号语言：。15证明面面平行的方法：（定义法：证明两平面没有公共点，此法一般不用）（1）面面平行的判定定理：如果平面内有两条相交直线（交于点O）分别平行于平面，那么平

7、行符号语言：。16.垂直关系的定义：（1）线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意一条直线。（2）直二面角的定义：平面角是直角的二面角。（3）面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角 ，则称这两个平面互相垂直。17.证明线线垂直的方法：（1）初中平面几何相关定理：计算角度、勾股定理逆定理、等腰三线合一、矩形、菱形、正方形性质、直径所对的圆周角为直角，一边上的中线等于这边的一半等。（还有）（2）线面垂直的性质定理：直线垂直于平面，则它垂直于内任一直线。（3）若两个平面垂直，则这两平面内分别垂直于交线的两条直线垂直（少用）。18.证明线面垂直的方法：（定义法：证明直线与平面内

8、任意一条直线垂直，很少用）（1）线面垂直的判定定理：如果直线和平面内的两条相交直线（交于点O）垂直，那么垂直于平面。符号语言：。（2）面面垂直的性质定理：平面互相垂直，那么在内垂直于它们交线的直线垂直于平面符号语言：。（3）两平行直线中有一条垂直于平面，另一条也垂直于平面：。19.证明面面垂直的方法：（面面垂直的定义：证明二面角的平面角是直角，较少用）。（1）面面垂直的判定定理：如果平面过另一个平面的一条垂线，两个平面垂直。符号语言：。20. 异面直线所成角：已知两条异面直线，经过空间任一点O作直线，我们把与所成的锐角或直角，叫做异面直线所成的角（或夹角）。两直线垂直分为相交垂直与异面垂直。求

9、异面直线所成角的大小的主要方法是：几何（平移法）（借助余弦定理）； 21直线l和平面所成的角：斜线l和它在平面上的射影所成的 锐 角，当l时，=90；当l或l时，规定=0；故直线和平面所成的角0，90。求线面所成角的方法：（1）几何法，格式如下：直线PO平面，OA是PA在内的射影，PAO是PA与平面所成的角。往往须先证线面垂直。22二面角：从一公共直线（棱）出发的两个平面所组成的图形：在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则AOB称为二面角的平面角，范围是。计算二面角的平面角的方法：（1）几何法：步骤：一作二证三计算（前面两种角也一样）。格式：，是二

10、面角的平面角。23.计算空间中点到平面的距离的方法：（1）几何法：可转化为求棱锥的高，用等体积法；（2）直接法：直接找到垂线段，它的长度即为距离，但此法往往要先证线面垂直。高三文科数学知识点集中梳理（四）第四部分：解析几何第十篇：解析几何：1倾斜角：直线的向上方向与x轴正方向之间的夹角， ，已知两点坐标，斜率k=tan=（当x= x时，k不存在，lx轴，=90，方程为x= x）tan在，均为 增 函数，在锐角或钝角范围内都是斜率随着倾斜角的增大而 增大 。2直线方程：（1）点斜式：， （2）斜截式：；（3）截距式：，（4）一般式：（不同时为0）。（5）两点式：略最重要是点斜式，如直线，虽然是动

11、直线，但是它恒过。在设点斜式方程之前先要明确该直线是否有斜率，不确定则需分类讨论。3两直线位置关系的判别：条件与与相交平行,，重合,，垂直4（1）两点间的距离：=；中点坐标。（2）到直线的距离d=； （3）两平行线Ax+By+ C=0与Ax+By+ C=0间的距离d=。（若A、B不同则先化为相同）（4）与直线Ax+By+=0平行的直线的方程可设为；垂直呢？ 。5直线系方程表示过直线与直线的交点的直线束。6圆心为，半径为的圆的标准方程为：；7点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：当时，点在圆外；当2时，点在圆上； 当时，点在圆内。8二元二次方程：表示圆的充要条件是； 圆心坐标为；半径为。圆恒过原点

12、。9若圆与x轴相切，则，与y轴相切呢？。10求圆的方程的方法有几何法和待定系数法（可设标准方程或一般方程）。11直线与圆的位置关系：（1）几何法：设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则 相离；相切；相交。（2）代数法：由直线方程与圆方程联立方程组，消去得一元二次方程，若判别式为，则 相离 0 。（3）数形结合法：作出直线与圆，由图观察：如直线与圆的位置关系。12若某直线与半径为的圆相交，圆心到直线的距离为，则直线与圆相交所得弦长。13P是圆C（半径为r）外一点，CP=，则切线长PQ=。14圆与圆的位置关系：设两圆的圆心为、，半径分别为、，则内含内切相交外切外离条件公切线条数0123415求两圆（

13、相交）的公共弦所在的直线方程，只需将两圆的方程 相减 。16求过圆外一点A作圆C的两条切线，两切点所在直线方程：先求出以 AC 为直径的圆的方程，然后将两圆的方程相减即可。17三种圆锥曲线的定义：（以下都是以平面内作为前提）圆锥曲线定义备注（1）椭圆（）称为焦距，为焦点（2）双曲线称为焦距，为焦点（3）抛物线（F不在定直线上）为焦点，表示P到准线的距离注意：（1）中若动点满足=，点的轨迹是线段AB；则无轨迹。（2）中 = 1 * GB3 “绝对值”去掉，即与两个定点的距离之差为非零常数（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线的一支 ； = 2 * GB3 当时表示以为端点的两条射线；当时，没有轨

14、迹；当时，表示AB的垂直平分线。等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线。（3）抛物线的焦点到准线的距离称为焦准距。若F，则该动点的轨迹是过F且垂直于的直线。18椭圆：长轴长：，短轴长：，焦距：， 双曲线：实轴长：，虚轴长：，焦距：。标准方程 图形范围对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点焦点顶点 ， ， 离心率e=(),其中c=e=(),其中c=渐近线无19判断焦点位置的方法：（1）椭圆：大分母对应的轴；（2）双曲线：正系数对应的轴。（3）抛物线：一次项对应的轴：如：，焦点在轴上，化为，焦点为。20（1）椭圆的方程形式： ，时，焦点在上。（2）双曲线的方程形式： ，时，焦点在上。21离心率为定

15、值为定值中某两个的比值为定值（椭圆与双曲线有同样的结论）。22 与共渐近线的双曲线方程=（不为0）；为负值时焦点所在的轴不同。23双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于（此结论小题可用）。24是椭圆的焦点，点P在椭圆上，则PF1F2的面积为，若改为双曲线则面积为。（这两个结论小题可用，大题时可用余弦定理解决）。25.抛物线的几何性质（p的几何意义是 焦准距 ，焦点的横（纵）坐标是一次项系数的。）图形焦点准线对称轴轴轴轴轴26.直线过抛物线的焦点F，交抛物线于两点，则焦半径|=，焦点弦长|AB|=，垂直于对称轴的弦（通径）长=，是最 短 的焦点弦。27求轨迹方程的主要方法有（1）直接法；（2）定义法

16、；（3）坐标转移法；（4）参数法。28判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法：方程组、消元、判断的符号（注意二次项系数含有参数时须分0与非0讨论）从而知道直线与圆锥曲线的位置关系。29对直线与圆锥曲线相交所得的弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”。（1）斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则。（2）当斜率不存在时，可求出交点坐标，易求得弦长。30.求圆锥曲线的方程的方法：（1）定义法：已知焦点及曲线上一点；（2）待定系数法。高三文科数学知识点集中梳理（五）第五部分：统计概率、算法、复数、选做部分第十一篇：统计与概率：1抽样方法有：（1）简单随机抽样：从含N个个体的总体中，逐个随机地抽取n个个体，

17、且每次抽取时，总体内每个个体被抽到的机会相等的抽样方法。分为：1）抽签（抓阄）法：2）随机数法。（2）系统（等距）抽样：总体中的个体个数N较大时，先将总体均衡分成n组（n为样本容量），每组有个个体（若Z时，用简单随机抽样剔除几个，得个体，使Z）再按预先制定的规则，从每一部分等距离抽取1个个体的的抽样方法。注：每个个体被抽到的概率相等，都是。得的号码为a，a+k，a+2k，a+（n1）k成等差数列。 （因此可用通项公式来解决问题）（3）分层抽样：将总体按其属性特征分成若干类型（层），然后在每个类型中按比例抽取一定的样本。2频率分布直方图的纵坐标表示频率/组距，每一组的频率等于该组对应的矩形的面积

18、，因此所有矩形的面积之和等于 1 。频率=频数数据总数=纵坐标组距。3在样本的频率分布直方图中，估计平均数、中位数、众数的方法：（1）平均数：频率分布直方图中各小矩形的面积乘以小矩形底边中点的 横 坐标之和。（2）中位数：作一条垂直于横轴的直线将所有矩形的面积 平分 ，则就是中位数。（3）众数：最 高 矩形的“上底”的 中 点的横坐标。4茎叶图：茎是中间的按从小到大排列的一列数，表示除“个位”外的其他数。叶是从茎旁边生长出来的且一般按从小到大顺序排列“个位”数。5方差=，反映数据的离散程度，越 小 越稳定、整齐。标准差：方差的算术平方根，S=0；当且仅当x= x= x时取等号。6若一组数据的平

19、均数为，方差为，则的平均数为，方差为，即方差的大小与无关，是原来方差的倍。注意：任一组数据的方差、标准差都是非负数。7函数关系与相关关系的区别在于关系是否明确，明确关系（如：有明确的解析式）为函数关系。在坐标系中，从左下角往右上角分布的叫正相关，从左上角往右下角分布的为负相关；线性相关：样本点分布在某直线附近，其回归直线恒过样本点中心。求回归直线方程得方法叫最小二乘法。回归直线方程为：x ，=8相关系数r1，1：反映两变量间线性相关程度；当r 0时称正相关。越接近1，线性相关性越强。r的符号与回归直线方程=x+中的的符号同。相关指数R0，1：表示解析变量x对预报变量y的贡献率；值越接近1，线性

20、相关性越强。9越大，则两变量有关的把握越 大 ，无关的概率越 小 。10事件A的概率P（A）：当试验次数n很大时，事件A发生的频率=逐渐稳定在0，1中的某个常数附近。必然事件的概率为 1 ，概率为1的事件不一定是必然事件（填是否一定）。11（1）包含关系：事件AB：若事件A发生，则事件B一定发生。（2）相等关系：事件A=B：A_B_且B_A_。（3）和事件：事件A（或+）B：当且仅当事件A或B发生才发生的事件。（4）交事件：事件AB（或AB）：当且仅当事件A且B发生才发生的事件。（5）事件A与B互斥：AB=，即事件A、B在任一次试验中不可能同时发生。A与B互斥时：P（AB）= P（A）+ P（

21、B）1（6）事件A与B对立：AB=且AB=I（必然事件）；A、B在任一次试验中有且仅有_1_个发生。A的对立事件记为，P（）=。对立是互斥的特殊情况，对立一定互斥，互斥不一定对立。12古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个出现的机会相等的概率模型。P（A）=。13几何概型：基本事件总数无限个，每个事件发生的概率，只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例的概率模型，P（A）=14求几何概型的概率（先明确有多少个变量）的基本步骤：（1）设题中的变量；（2）确定所有基本事件所对应的区域；（3）确定符合条件的区域：通常是列出不等式，作出其的区域；（4）套公式计算。15（1）一次性抽取

22、，不分先后：选2共有种方法；选3共有种方法；（2）逐一抽取不放回：选2共有种方法，（3）逐一抽取且放回：选2共有种方法。（4）第1小组有m个元素，第2小组有n个元素，从两个小组中各取一个元素，共有mn种方法。第十二篇：算法、复数、极坐标与参数方程：1程序框图中的三种结构：顺序结构，条件结构，循环结构，其中顺序结构任何程序框图中都有，循环结构中一定包含条件结构。条件结构体现数学思想中的分类讨论思想。2循环结构分为直到型和当型，直到型遇到“是”退出，当型遇到“否”退出。3程序框图或程序语句中，“=”叫赋值号，把右边的值赋给左边。4算法案例：（1）求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法或更相减损

23、术：如：6111与4171的最大公约数是 。（2）求多项式的值的方法是秦九韶算法，最高次为n次，则进行了n次加法，n次乘法运算。如：，计算时， 。（3）进制互化：十进制数化为k进制数的方法是短除法。如：十进制数87化为四进制数为 ，化为十进制数为 。5. 复数当时为虚数；当=0时，为实数；当=0，时为纯虚数；为复数的实部，为复数的虚部（注意别把虚部写成），叫的模。复数与叫互为共轭复数，。实数与虚数统称为复数，用符号C表示。6坐标平面叫做复平面，轴就是实轴，轴就是虚轴，实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除了原点外）都表示纯虚数。7虚数单位i满足i=，是周期为4的函数，函数值可能为。8复数相等：当且仅当实、虚部分别相等时，两复数相等。9复数的几何意义：点Z（a，b）一一对应 复数z=a+bi 一一对应 向量。10（a+bi）（c+di）=（ac）+（bd）i；（a+bi）（c+di）=+i； （a+