平面向量专题讲座

1、平面向量与空间向量专 题1 向量及运算是现代数学重要标志之一，其引入给中学数学带来了无限生机和活力，大大拓宽了解题的思路与方法。它以平面几何、直角坐标系、三角函数等知识为基础，融数、形于一体，它已成为中学数学知识的一个交汇点。因此，向量是高考命题中“在知识网络处设计试题”的很好载体。一、考试要求解读1平面向量：（考试要求）（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；（2）掌握向量加法与减法；（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量 的坐标运算；（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向

2、量的数量积可以处 理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并 且能熟练运用，掌握平移公式；2空间向量：（考试要求）（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘法；（2）了解空间向量的基本定理，理解空间向量的坐标的概念；掌握空间向量 的坐标运算；（3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量 数量积的公式；掌握空间两点间距离公式；（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；（5）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对 于异面直线的距离，只要求

3、会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。二、复习迎考策略1重视教材的基础作用，加强基本知识复习，做到概念清楚， 运算准确，书写规范。2平面向量与空间向量的数量积的性质和坐标运算是备考的重点，复习中 要注意培养准确的运算能力和熟练运用知识的能力。3空间向量，给传统的立体几何内容注入了新的活力，为几何推理运算化 开辟了新的途径而空间向量的坐标运算，更使得繁杂的立体几何问题 解决变得 思路顺畅，运算简捷。重视基础模型：直三棱柱正三棱柱、正 四棱锥、长方体；掌握基底法、坐标法。4对向量与解析几何、三角的综合题主要体现在题目的新颖上，教师 要通过对一定例题的分析，使学生实现 以新化旧，以生化熟的转化。

4、三、典型例题分析（1）注意平面向量与三角知识的联系；（2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势；（3）重视向量为工具处理立体几何问题；（4）构造向量，探索解题新思路。（1）注意平面向量与三角知识的联系 由于平面向量的数量积 ，使得向量与三角函数之间有着不可割裂的联系；另一方面，通过定义向量的坐标运算，可将三角函数的内容与向量内容综合。其中 为相互垂直的单位向量。例2 已知：的两个内角，是试求 的值。例3（2001年江西、山西、天津卷）设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于两点，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势例4（2002年全国新课程卷）平面直角坐标系中，

5、为坐标原点，已知两点若点 满足则点 的轨迹方程为：例5（2003年） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点满足 则点 的轨迹一定通过 的 ( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 分析： 分别表示与 方向相同的单位向量,表示 的平分线为方向的向量。 则 点必在 的平分线上，即轨迹一定通过 的内心，故选 B例6（200年上海卷）在以为原点的直角坐标系中，点分析：本题依托向量，既考查向量的长度，数量积和坐标等基础知识，又考查直线与抛物线的位置关系问题，通过向量和解析几何间的关系，陈题新组，考查基础知识和基本方法。标大于零。的直角顶点。已知且点的纵坐（）求向量的坐标；对称的两个

6、点？若不存在，说明理由；若存在，求 的取值范围；（）是否存在实数 ，使抛物线上总有关于直线解：则解得：又故经过原点 ，以以，其中例7(2003全国新课程卷）已知常数向量为方向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于。试问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由。分析：本题以向量为背景，把解析几何联系起来，立意新，角度好，既考查向量的坐标运算，又考查直线和圆锥曲线的方程，本题的关键是求出点 的轨迹方程。解：因此直线的方程分别为消去参数，得点 的轨迹方程为（3）重视向量为工具处理立体几何问题例8 已知正三棱柱的各棱长都等于， 是底棱 的中点， 是侧棱 上的点，且（

7、1）求异面直线 与 之间的距离；（2）求证：AA1B1C1BCMN123AA1B1C1BCMN123AA1B1C1BCMN方法小结：1）作、证、算2）设、求、证3）建、求、证横坐标取值范例9（2000年全国高考题）椭圆的焦点为 ，点 为椭圆上的动点，当 为钝角时，点围是1）运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直等问题（4）构造向量，探索解题新思路解：设 则 为钝角 2）运用向量共线的充要条件处理有关平行、共线的问题 运用向量共线的条件处理有关平行或共线问题比用斜率研究这类问题简捷的多，可免去对斜率是否存在的讨论；而且思路清晰，近乎程序化。设，则 与 共线或平行的充分必要条件为存在唯一的实数 ，使例10 已知常数，在矩形ABCD中为 的中点，点分别在移动，且为定点的距离和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。与交点（如图），问：是否存在两个定点，使点到这两个分析：依据题设条件，求出点是否存在两个定点，使得点 到两个定点的距离之和为定值。的坐标满足的方程，据此再判断OABCDFPGExy解：由题意得(1)(2)整