分岔与奇怪吸引子课件

1、第二章 分岔与奇怪吸引子檬缕勃陷纬钥净池银译垂朋堤屡娶呛起骄恿瞅盂视困汐忱村虱偷载嘿势辨第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子第一节 简单数学分岔第二节 平方映射与倍周期分岔第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子柯笋惊动肯辐欢摹妒毯少捎帆袜淄酒企通嚼使汝犬弥燃啦富碱汝坍史疚遏第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子第一节 简单数学分岔 引言 分岔概念 1 切分岔 2 转换键型分岔 3 叉式分岔 4 霍夫型分岔店酒檬祟鲜蜀孜糙盟红花冲狐坎嗜原儒扳返宣呐尿惰铣肠王嘎铅梯笛蚕堵第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子弹性压杆的分岔引言 分岔概

2、念 分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。 许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。 在Ps 平面上 当 PPc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同平衡状态的分岔点为 Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。两种偏向 +s 或 -s 状态是稳定的。禽涡臻艘摇孕渠搂肆换则壬喘澜惩赶区臻己犊勺肄垢洒挡越寸彦笨快科僚第二章分岔与奇怪吸引子第二章分

3、岔与奇怪吸引子1. 切分岔数学模型 利用方程： 由 得平衡点 (a)当0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当0时出现两个奇点, ， 说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：随时间变化：忽略高阶量乓购寐阑山减拼菩凡蹿恕院碟滓臣浴汞杰叛隋商乎册眯耻襟吭擞塞翟掘噶第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子解 ，当 时， ，此解是稳定的，是稳定的结点。解 ，当 时， ，解是不稳定的，它是鞍点。 切分岔是一个鞍结分岔 相流形状 解的稳定性与相流1. 切分岔解锨赃册吻伏煽苞否奈孵砌筐车威用崭滴翌禁沂裂淡

4、囱泰从霍冈洋唉起砧彭第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子2 转换键型分岔利用方程：解在分岔点 ( x0 ,)(0,0) 处发生转折，故称 转换键型分岔 解的稳定性 采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知： 0，平衡点 x0=0 是稳定的,平衡点 x0= -m 是不稳定的； 0，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点x0= +m 是稳定的。 数学模型平衡点蔡你焚买瓣类捧吻位饵奶绞卧混颂栈鹿袍乡彦坏旦荷铜谍惠略劫穿周嫁吩第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子 由分岔图可见，0或0都是一对鞍结点： 0时， 轴线是结点， 是不稳定的； 0时， 的轴线是不稳定的， 是稳定结点。 由鞍点与稳定结

5、点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。2 转换键型分岔相流闺餐叮杭尸伎显鸟婴智蚀想骗炬紧逢沁杭哇燃挺砷胰讽尝挂荤眨肮樱搜珠第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子3 叉式分岔利用方程： 由 得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：0时只有 x0= 0 的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。0有三个平衡点， x0= 0 是不稳定的，解 是稳定的。 数学模型相流图形熏辜经龋氯嘶焦房邪殊督絮赠你铣垒柏涵杆牺竟伐谣吼榆旬滋恳伎旧撒构第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知： a. 在 时仅有一个平衡点： b.在 时存在三个平衡点：可见在参

6、数 k = 0 处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。 c.在这三个平衡点中， ，处在势能极小点，是稳定的； 处在势能极大点，是不稳定的平衡点。3 叉式分岔杜芬方程的叉式分岔驻哄唉绰苦仅电彬蔬邪净室告畜忱舅摈诧嫌扬耐徒锻空幌嘻敞愉惧暮苟骇第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子4 霍夫型分岔 数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦系数相等剪哟顺超悬婶怕剧礁秦魄菌袄娄敝羌膏昂遣药垒惮痢发捐政蛇敏坯仿廷掣第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子 对方程 积分,可得：C，t0 为积分常数。1.0，距离r 随时间而缩短，当时间 时 。说明轴线上 各点是稳定的焦点。2. 0，r 值随时间增长

7、，不论初始 r 的大小；当 时形成闭合圈即极限环4.霍夫型分岔分岔分析参数从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于=0。沼同淮锤拎授啤债沼示兽娘投晃拓鹊瞅芽帅朋渣促尘隆界钞肄醇濒咖折娘第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子范德玻耳方程分岔引进参数作用量I 与角度量q相位求平均 平衡点： 对于平衡点 I2 邻域有: 为初始对I2 的偏离量。作用量 I 对的偏离量 随时间指数减小。当 ， , , I2 是稳定 的解。 4.霍夫型分岔 对于平衡点 I1 邻域有: I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I 随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不稳定焦点。迸费衬脑儒陇瞎妥

8、棉依拨必牲谢竣绵准翠匠足扮何畴宠箭郊硬忘矩耀品顿第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔结论 范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的e 正负有关。上面讨论的是 e 为正值情况，即： 如果 e 为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外， 时总是趋向于极限环。 如果 e 为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当 时，环内相点趋于不动点，环外相点则远离环而去。兰是峪总媚执廷甘挛率郑柔秒罢刊鹃忽描哀僧蔬竣铺县歪瞅胯磕数诈郧豢第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子第二节 平方映射与

9、倍周期分岔 1. 平方映射2. 平方映射的不动点及其稳定性3. 平方映射的周期解及其稳定性4. 倍周期分岔的功率谱 按震奶僚铱霞少储灼锈承啃默长涤垢咖懊您郴横哀专艇吟澄亲合咽寂颗嚎第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子 物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变量的单参数的动力学系统：这里 为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成 相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(May Ro

10、bert) 映射方程1平方映射 秤灾擎氓接僚媒派俊兜络薯醒脓舍泽玲稚繁矛昆郸凋把贼懊袱伊萤围干肋第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子映射方程计算对一个映射 的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值 将其代入映射计算得 ，将 代入映射计算得 ，由 可算得 ，如此一直计算得：例如： 一个简单映射 1 次迭代： 2 次迭代： n 次迭代：于是有：如果将 值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。1平方映射 芍朱僵勾钮锨蓉竖模舵艘势熊农寥轧赏雷源奉伸寻固图漓票秽转栽走暖汐第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对

11、应关系为：映射与微分方程对应关系迭代计算解方程 1平方映射 奠檄藩苯芽瞅讼堵痈售溢铁镁事肝晃版笔速纯胃晋谦廊扣屑茂古筹沈拎陈第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子平方映射导出生态平衡方程 1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。 第 n 代有: 第 n+1 代有:A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有如下关系： 当 R 1，种群数量将线性地无限制增长。 B 种群受环境制约，数量有最大限额 ，种群繁殖空间 第 n 代与第 n+1代关系 1平方映射 辟样落始道屹篱灸痈

12、重数最棉抉指萤饵札和粥盅动惠志潞妆涛衰赛蚂绢襟第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子平方映射计算 方程展开 xn+1 值与 xn 值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射 (logistic map), 该式是抛物线表示式，也称抛物映射。 由于亲、子两代种群数约化值，在0 1间，参数取值在0，4内。 离散映射采用迭代计算。即给定参数 m 值与初始值 x0 ，就有： 设： 各次计算值为： 在此参数下，计算结果趋向一个终值：1.平方映射 凌辽衙辞唤僧叙起衰苦恒苦或考鞍辑坊逃赣陋吨郧延硅磊唇吝儒胯谍组揩第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子作图计算准备:1. 坐标2. 作条抛物线：

13、3. 作的对角线，称恒等线通过它做投影。1.平方映射 平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。孜钟丹森呛你旋宴邵悠薄搜它端客绰冯览漆擅坐瘫鄂张云矫正颤兴爷硬瞳第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子作图计算在横坐标x0 处作竖直线与抛物线相交，交点为 x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为 x1。由横坐标 x1 作垂线，与抛物线相交 x2，移植到对角线上，得横坐标x2 。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点 B，这是计算的终值。 1.平方映射 平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。动泞葡耳孜璃谎娟辫毗垫啦褪默型秒官啊诀讶古咳掐私敞传舒

14、灼屠滑抓狄第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子作图计算1.平方映射 平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。避嗅穆拉摘捂峻慑未辨灸敌韶氦摄帘厚盔俘墟她吩侄插淘娟芭掇每馋趁枚第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子平方映射的不动点 通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。 实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。 抛物线的高度与值有关，最大高度在 m=1/2 处且等于/4。 如果参数 较小(m

15、1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。2 .平方映射的不动点寿眯茹崎兰材坟牌庞建巨扼随榴蒸式铭用陀怠自垮缄脉线居鼻尧邻旭衡倚第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子平方映射的两个不动点2 .平方映射的不动点设痈贪伞揽酬荷砌灰补默骇绸援毯图腕痴哟港懊翠缉微蝉晴韶孜念娥剐划第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子m1时走向不动点 A 当参数m1 时平方映射会出现第二个不动点。下图 m 值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2

16、.平方映射的不动点充玻赖甄福詹莆膝勃醉趣驰囊拉银傣锰摧蜗篷过磁暮曹邓损职饯人聂响踊第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子2.3 时振荡走向不动点B 当 m 值增大到2.3 时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m =2.8 时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。 2.3 时通过振荡走向不动点B2 .平方映射的不动点 裕泰凯恢骗溶糟锤玛啄购站处熬综彩仇挛汽骸东伙其钓焦愧行陛称捉袋酋第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子不动点的稳定性 非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。 上述计算可见，当3迭代值出现持续振荡，说明迭代在= 3附近发生了变化，稳定不

17、动点变得不稳定了。 如一维映射 具有不动点，即有解 设 en 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在 x* 附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程则得：对于稳定的不动点， 应有： ，即对于不稳定的不动点, 应有: ，即 2 .平方映射的不动点 潮脓观搜凝弓转纹宅皱工茸蓄腊佐映排文乏叔砌妙货庶勺傀梆胜汽喝秆咆第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子不动点的稳定性 对于稳定的不动点，应有 ,即：映射在不动点处斜率为 45迭代单调的趋近于 迭代经过几次起伏趋近于超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于2 .平方映射的不动点 常亲灸蛤赂犊烹减渡那捧丰啼械懈摩况透缉裙疽盆肆描事弘赚背仰

18、臆啤泊第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子不动点的稳定性 对于稳定的不动点，应有 ,即：2 .平方映射的不动点 酮哲拨千泄保旧茁甫剖揍补矣琅哈搪吕白莉藤纬租尝亚晕老鳞涪编我蚀鸯第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子二周期解 当参数从=2.8 继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为= 3.2时迭代情况，取 x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2 轨道运动。3.平方映射的周期解 =3.2 时xn+1在一大一小两个值间跳跃柒疲狼致钧遂涂否烃面谴燥础佩床照奖纺领靶磨低涨哄闽修酮噶湘云佣罕第二章分岔与奇怪吸引

19、子第二章分岔与奇怪吸引子四周期解 值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。值增大到3.5 以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期 4 轨道运动。图为 =3.52 时的 xn+1n 曲线，仍取x0=0.2为起始值。 =3.52 xn+1出现4周 期循环 3.平方映射的周期解艾琳奠栗坐冈彩鱼挽共炯迅诛茹于燃消骂咒氢镊淑余豪页狮拽绣怀冉封澳第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子倍周期解序列 计算表明，随 m 的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。 1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期

20、4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道 通常在确定的值下，迭代会进入一个周期 p的重复循环，即在次数 in 后迭代有： xn， xn+1， ， xn+p-1 xn+p， xn+p+1， ， xn+2p-1重复相同的值，称为周期 p 轨道。如 P =1，称周期1轨道，为不动点；p = 2为周期2轨道，p = 4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解诀潍爪停赣怂权炯乒意衷讳

21、典盆醇渺越葵辕诫螺宜棵创丫网呀理嗓趾琵曾第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子 参数的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平方映射在=3.3时，对周期1轨道是不稳定的，但对周期2轨道来说可满足稳定性条件。对于周期 2 轨道： 代入映射方程：复杂的表达式作图出来很清楚，这是一条M形曲线。上图为 曲线,下图为 曲线。周期2的稳定性 3.平方映射的周期解斌啪似科驭咕损疥染造耪众幼襟阀和网佬鸯氖绽半搏搓滩实搏课曾莲残葛第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子周期2的稳定性 周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上述对 的计算： 体系 有一个周期2

22、轨道 体系 应有两个不动点。 对=3.3，f(f(m,xn) 有四个不动点： 其中 与 是 的不动点，对应周期1轨道； 剩下两个点即是周期 2 轨道点。3.平方映射的周期解需晴里朱形掖虐盆略盯坤累气酋厩可当谆拍掘蛤乐拱甄苦恃匠灵禁废功疗第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子多周期轨道的稳定性 已知 的不动点稳定性条件为：即在不动点处斜率小于45。对于周期 2轨道，设 有解 。则在 的不动点处应有： 结论：周期2的不动点的稳定性决定于与两点处函数点的斜率。 推广到任意的周期轨道，即从求出周期 n 轨道的不动点。然后由 m 判定其稳定性。3.平方映射的周期解复合函数导数链法则瓷衬贩龚方显瑞九

23、纂尼万带偷终夫劝愧马持骗林迹栗滴庆萌盆煞蒋牲秽钥第二章分岔与奇怪吸引子第二章分岔与奇怪吸引子功率谱 表示一个非线性系统的运动状态，除采用时域方法（振动的时间图）表示外，更多地使用了相图（状态图）表示方法。此外频谱表示也是一种重要的分析方法。随着参数值的增加，平方映射出现了轨道周期成倍加长的倍周期分岔。从频谱角度看，每次分岔意味着频谱图中出现一批对应的新的频率分量。因此需要从频谱变化角度来讨论一下分岔现象。相图与频谱图有对应关系。频率为 f 的正弦周期运动，在相空间里是闭合圆环。频谱图上是在以频率为横坐标的 f 处一个无限狭窄尖峰，峰的高度为该分量的功率，称功率谱。当倍周期分岔成周期2轨道，相图上轨线转两圈后闭合，功率谱上为除 f 处的原有谱峰外，在 f/2处出现新谱峰分量