光电子学与光子学翻译

1、光电子学与光子学2.2-2.3翻译 2.2平面波导中的模间色散和波导色散 A.波导色散图和群速度 一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。从0导最大值的每一个m对应于一个不同的解和一个可能的传播常数m。可以看到，即使是单色光波入射，每种模式都以一个不同的传播常数传播。图2.7的实验给人们留下的印象是，轴线光波的反射次数最少，因此到达端面的速度更快（更短）于高阶模式光波。高阶模式光波沿着波导方向z字形曲折传播，传播路径更长。然而，这种观点有两个严重的误解。第一，波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度vg。第二，高阶模式渗透进入包层较多，包层折射率较低，因此光波传播较快。 从第一章可以知

2、道，群速度vg由d/d决定，其中是频率，是传播常数。对每一个模式m，模式角可以明显由式（2.1.3）的波导条件求取，即取决于光波波长（也是频率）和波导特性（n1,n2,a）。因此，m=m （），m=k1sinm=m（）是关于的函数，给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。可以看到，即使折射率为常数（与频率或波长无关），一个给定的模式群速度vg仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。 根据式（2.1.3）的波导条件，在给定折射率（n1和n2）和波导尺寸（a）的条件下，可以计算出每个m和的m值，并可以得到波导的与m的关系图，即色散图，如图 2.10所示。在任何频率处的切线d/dm就是

3、群速度vg。所有允许的传输模式都被包含在斜率c/n1和c/n2的两条线之间。截止频率cutoff对应于当V=/2时的截止条件（=c）。当cutoff时，波导中不只存在一个模式。从图2.10的实验可以直接看出两点：首先，相同频率的不同模式的群速度不同；其次，一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。 因此，群速度不仅与频率有关，还与波导特性参数有关。其实，可以把V值和群速度联系起来，下 面会讨论。 可以用斜率 d/d作为 的一个函 数来计算三 个不同模式 的群速度 vg，如图2.11所示。注意，当模式尚未被激发时，vg刚开始很大，数值接近于c/n2（包层中的相速度）；当模式被激发时，vg降低并小于

4、c/n1（纤芯层相速度），并最终在更高的频率下到达c/n1。 图2.10平板波导中不同Tem模式的相对于的色散示意图。cutoff对应于V=/2。在任何频率处的群速度vg等于相对于的曲线在该频率点的斜率 图2.11平面介质波导中三个模式的群速度vg与角频率的关系图。该平面介质波导中，n1=1.455,n2=1.440,a=10m。m=0对应着TE0模式等。 B.模间色散 多模传播过程中，即光波频率大于cutoff，在最低模式（m=0时）具有最慢的群速度，接近c/n1，而在最高模式具有最快的群速度。其原因是，高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。最低模式基本上包含在纤芯层内。因此，各模式在

5、整个光纤中传输的时间不同，这种现象被称为模态色散或模间色散。模间色散的一个直接后果就是：如果 一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中，该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。这些模式将以不同的群速度传输。在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽，如图2.7所示。很显然，只允许一种模式（m=0的模式）传播的单模波导中不存在模间色散。 为了评估沿着波导传播信号的模间色散，需要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间，这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。如果表示最高与最低模式通过距离L的传播时间差值，则模间色散定义为 =（模间色散）（2.2.1）式中，vgmin是最低模式对

6、应的最慢群速度，vgmax是最高模式对应的最快群速度。 从图2.10和图2.11可以明显看出，当cutoff时，最低模式（m=0）的群速度为vgmin=c/n1。最快的传输对应着最高模式，它的群速度大约为c/n2。因此，近似有 /L（2.2.2）仅考虑两种极端的模式（最低模式和最高模式），而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/n1c/n2范围之外。另外，式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。取n1=1.480（纤芯层）和n2=1.460（包层），可以发现/L6.710-11sm-1或者6.7ns.km-1。一般情况下，由于“模间耦合”，即不同传播模式能量交换，模间色散没有预计的那么

7、高。 式子（2.2.2中展宽）分布是指展宽输出光脉冲两个极值的时间差值。在光电子学中，通常对小于全宽度的半高强度点的分布1/2感兴趣。1/2的大小取决于输出光脉冲的瞬间形状。但当存在许多模式时，可以取一阶近似，有1/2。 C.模 内色 散 图2.10 和 图 2.11显示了最低模式（m=0）时的群速度取决于频率或波长。因此，即使在波导处于单模工作的情况下，只需要激发源具有有限的光谱，光波就含有不同的频率（即事实上没有完美的单色光波源）。由图2.11可以明显看出，这些频率光波以不同的群速度传播，其到达波导输出端面的时间不同。光波波长越大（频率越低），电场渗入包层越多，如图2.12所示。因此，光波

8、的相速度越大，其渗入包层的能量越多。即便对于相同模式，光波波长越大，传播越快。这种现象称为波导色散，这是因为它来源于介电结构的波导特性，而和与折射率相关的频率（或者光波波长）无关。由于光波波长增大时，V值减小是波导的一个特性，故色散也可以描述为是光波波长对V值的依赖关系。由于需要结合输入光谱并由图2.10所示的色散图来计算群色散，因此没有计算波导色散的简便方法。 图2.12当波长增加时，更多TE0模式的电场扩展进入包层。由于包层又更多的模场，因此群速度得到增大。 波导材料的折射率也与光波波长相关，因此要对图2.10中相对于m的曲线稍作修改。由于折射率b随波长变化，给定模式的群速度的变化将导致传

9、输脉冲的展宽，这称为材料色散。因此，波导色散和材料色散共同作用，使得一个给定模式传播的光脉冲发生展宽，这两种色散合称为模内色散。 2.3阶跃折射率分布光纤 A.原理和允许的模式 对平面介质波导中光波导传播的总的思路作出某些修正后，可以很容易地扩展到如图 2.13所示的阶跃折射率光纤。该光纤本质上是一个圆柱形介质波导，并且纤芯层的电解质折射率n1大于外介质层包层的折射率n2。在实际中，光纤刚拉伸完以后，就会在包层上涂上保护聚合物涂层，这在理解基本光纤工作原理中并不需要提及。 归一化折射率差定义为 =（归一化折射率差）（2.3.1）对于所有应用于光通信领域的实际光纤，n1和n2的区别非常小，通常小

10、于百分之几，因此1。 图 2.13 阶跃 折射 率光 纤。中 央区域纤芯层的折射率大于外侧区域包层的折射率。光纤胃圆柱形对称结构。坐标可用于表示在光纤中的任意一点P 。包层通常 比图示要厚得多 平面波导只在一维有边界，因此光波反射只发生在图2.4中的y方向。光波的想长干涉要求导致波导中存在几种不同的模式，用m来标志。如图2.13所示为y轴成任意角度的任意径向的平面上。由于任意径向可以用轴和y轴表示，轴和y轴方向上的光波反射都涉及光波的相长干涉，因此需要考虑用两个整数来表述，如平面波导中的m，但是二维驻波需要两个整数。 在平面波导的情况下，形象地认为波导中传播的光波在波动中以z字形曲线传播，并且

11、所有光线都需要通过波导的轴线平面。此外，波导中的光波要么是TE（横向电场）光波，要么是TM（横向磁场）光波。相比于平面波导，阶跃折射率光纤的最大不同特性在于，光纤Z字形曲线传播的光线不一定通过光纤的轴线，即所谓的斜光线。进入光纤的子午光线通过光纤轴线，因此在光纤Z字形曲线传播过程中每次反射通过光纤轴线。该光线在包含光纤轴线的一个平面内传播，如图2.14（a）所示。另一方面，斜光 线进入光纤后，偏离光纤的轴线，并且在光纤Z字形曲线传播过程中不通过轴线。当对着光纤端面看过去时（即光纤在垂直光纤轴线平面上的投影），斜光线的轨迹是围绕光纤轴线的多边形，如图2.14（b）所示。因此，斜光线的行进轨迹是围

12、绕光纤轴的螺旋路径。在阶跃折射率光纤中子午光线和斜光线产生的导模（允许传播的波）都沿光纤传播，每个导模都有一个沿z方向的传播常数。子午光线产生的导模类似于平面波导中的情况，是TE型或TM型。另一方面，斜光线产生的导模同时具有Ez和Bz（或Hz）两个分量，因此不是TE模式或TM模式的波，他们被称为HE模或EH模，因为电场和磁场都沿z方向的分量，它们也被称为混合模式。很明显，不同于平面波导中，在阶跃折射率光纤中的导模很难描述。1的阶跃折射率光纤被称为弱导光纤，该光纤中的导模通常被认为是行波，几乎为平面偏振光波。光纤中的传播光波具有横向电场和横向磁场（E和B相互垂直并垂直于z轴），这类似于平面光波的

13、场方向，但是平面上的场 强大小并非为常数。这种光波称为线偏振光波，具有横向电场和横向磁场特性。沿着光纤的波导线偏振模式可以用沿着z轴传播的电场分布E（r,）表示。该电场分布（或者图样）是在垂直于光纤轴线的平面上，因此取决于r和的大小，而与z无关。此外，由于存在两个边界，电场分布由两个整数参数l和m来表征。因此， 线偏振模式的传播电场分布表示为Elm（r，），把该模式写为LPlm。因此，一个LPlm模式可以写成沿着z轴传播的行波ELP=Elm（r,）expj（t-lmZ）（2.3.2）式中，ELP是线偏振模式的电场，lm是沿着z方向的传播常数。很明显，对于给定的l和m，Elm（r，）表示在有效传

14、播常数或者波矢量为lm的光纤上传播光波在点z处的特定电场图样。 图2.14（a）子午光线及（b）斜光线之间得差异示意图。数字代表光线得反射 如图2.15（a）所示为阶跃折射率中基模。纤芯中央（或光纤轴线）上电场强度达到最大，并且伴随倏逝波，有一部分电场渗透包层中，渗透程度取决于光纤的V值（因此与 2光波波长相关）。模式的光强正比于E，这 意味着LP01模式中电场强度分布在光纤轴线上达到最大，如图2.15（b）所示，即中心位置最亮且亮度向包层方向逐渐降低。图 2.15（c）和图2.15（d）也显示了在LP11和LP21模式的强度分布。LPlm模式中整数l和m与强度图样相关。从轴线开始，沿着r 方

15、 向有m个最大值，而在圆周方向上有2l个最大值，如图2.15所示。l通常被称为径向模式数。在射线图中，l代表螺旋传播的程度，或对模式有贡献的斜光线的数量。在基模中，l为0。另外，类似于平面波，m直接与光线的反射角相关。从上面的讨论中可以看到，沿着光纤传播的光波具有不同的传播模式，并且每种模式都有对应的传播常数lm和电场分布图样Elm（r，）。每种模式都有自己的群速度vg（l,m），群速度大小取决于与lm的色散曲线，。当光脉冲输入到光纤时光波在光纤中以不同的模式传播。不同模式的光束以不同的群速度传播，因此到达光纤端面的时间不相同，这意味着输出脉冲相对于输入脉冲已经展宽了。类似于平面波导中，光脉冲

16、的展宽是一种模间色散现象。然而，可以设计出一种合适的光纤，从而只允许基模光波传播，这样就不存在模间色散了。 图2.15与光纤Z轴垂直得横向平面内基模的电场分布。基模的光强在光纤中心中达到最大。图出分别给出了LP01、LP11和LP21的光强分布 在阶跃折射率光纤中，以类似平面波导的方式定义V值，或归一化的频率，即 V= （V值的定义）（2.3.3）式中，a是光纤纤芯，是自由空间波长，n是芯与包层的平均折射率，即n=（n1+n2）2,是相对于折射率差，即 =（相对折射率差）（2.3.4） 当V2.405时的模式数目）（2.3.6） 阶跃折射率光纤的各种物理参数的变化对传播数量的影响，可以很容易地

17、从式子（2.3.3）的V值推导出来的。例如，增大纤芯半径（a）或它的折射率n1，模式的数量增加。另一方面，增大波长或包层的折射率（n2）会减少模式的数量。包层直径没有在V值方程中出现，所以它对波的传播没有明显的作用。在多模光纤中，光通过多种模式传播，这些模式主要局限于纤芯。在阶跃折射率光纤中，当倏逝波沿边界传播时，基模电场渗透包层中。如果没有足够厚的包层，则电场将达到包层的外端并逃脱，从而导致光强损失。例如，通常情况下，单模阶跃折射率光纤的包层直径至少是纤芯直径的10倍。 B.模场直径 从图2.15中可以看出，基模电场渗透包层中。模场直径（用2w表示）表示波导中基模的场强分布的程度。基模电场渗

18、透包层中，所以模场直径不仅仅等于纤芯直径。需要知道光功率或场强的平方E（r）2，其沿着光纤分布并且是到光纤轴线上径向距离r的函数。实际上，一般用高斯函数来表示光纤中的场强分布，如图2.16所示。同时，可以用来定义MFD，即 E（r）2=E（0）2exp-（r/w）2（基模电场）（2.3.7）式子中，E（0）是中心的场强。 在r=w处，功率降到1/e2。一个比较有效的用V值来对w的估计是马尔库塞模场直径方程，即 2w=2a（0.65+1.619V-3/2+2.879V-6）；0.8V2.5 （模场直径）（2.3.8） 图2.16 单模光纤 中功率密度（正比 于E2）分布。2w 是模场直径 由于V

19、值通常为2， 模场直径大约是纤 芯直径的1.27倍。 当1.6V2.4时，模场直径可以由下面的简化方程求得 2w（1.6V2.4时的模场直径）（2.3.9）明显地，当V减小时，电场更多地渗透包层中，模场直径更大。 C.传播常数和群速度 由于LP模式的传播常数lm取决于波导特性和工作波长，可以很方便地用仅与V值相关的归一化传播常数来描述光的传播特性。给定k=2/（自由空间）及波导折射率n1和n2，归一化传播常数b与=lm有如下关系 b=（归一化传播常数）（2.3.10） 根据上面的定义，其下限b=0对应于=kn2,即光波在包层中传播；上限b=1对应于=kn1,光波在纤芯层中传播。多种模式下b与V值的关系已由相关文献计算出如图2.17所示为几个低阶LP模式的关系曲线。这种b随V变化的曲线十分普遍，适用于所有的跃迁折射率光纤，并且在预测这些光纤中光传播本质方面具有重要意义。没注意到，所有V值都对应有基模LP01，而LP11