统计学原理PP第五章动态数列(下)

1、第五章 动态数列第三节 现象发展的速度一、发展速度 数列中两个不同时期发展水平之比，反映现象发展的相对水平。 发展速度=报告期水平 / 基期水平。 环比发展速度 年速度 定基发展速度 总速度 环比发展速度的连乘积等于定基发展速度 年 份199519961997199819992000在校生人数320039004300480065007000逐年发展速度(%)121.9110.3111.6135.4107.7累积发展速度(%)121.9134.4150.0203.1218.81定期发展速度等于相应时期的各个环比发展速度的连乘积。即： 每两个相邻的定期发展速度之商等于相应时期的环比发展速度。即：

2、注：同比以去年同月价格为100，环比以上月价格为100，定基以2010年为100 2二、增长速度 增长量与基期水平之比(发展速度-1) 环比增长速度 年增长速度 定基增长速度 总增长速度 定基增长速度= (环比增长速度+1)-1 增长1%的绝对值= （分子增长量，分母增长百分比） 年 份199519961997199819992000在校生人数320039004300480065007000逐年增长速度(%)21.910.311.635.47.7累积增长速度(%)21.934.450.0103.1118.83三、平均发展速度和平均增长速度 平均发展速度是环比发展速度的序时平均数，表示现象发展的

3、平均速度。 平均增长速度是逐期增长速度的序时平均数，表示现象增长的平均速度。(一)计算平均速度的几何平均法 先求出环比发展速度的总速度，然后再平均。即定基发展速度的n次方根。 设有动态数列 其环比速度为 几何平均法 平均增长速度=只计算最初和最末水平(中间应单调) 要联系绝对数进行分析(高速低平)4(二)计算平均速度的方程式法同前有：就时期数列而言，各期水平之和为全体水平。则有以上一元n次方程的正实根，就是平均发展速度。5例：据某地农业总产值发展水平计算平均发展速度。几何平均法方程式法 查表得：从水平指标看，几何平均法着重最末水平 方程式法着重现象的总水平从速度指标看，几何平均法着重现象的最末

4、速度。 方程式法着重现象的定基发展速度的总和。年 份949596979899农业总产值(万元)1228128513171339.51460.515846四、速度分析与水平分析的结合与应用时间序列的速度指标是由水平指标对比计算而来的，以百分数表示的抽象化指标。速度指标把现象的具体规模或水平抽象掉了，因此不能反映现象的绝对量差别。在应用速度指标进行分析时，要注意以下几个问题。第一，要结合具体研究目的适当选择基期，并注意其所依据的基本指标在整个研究时期的同质性。如果资料中有几年的环比增长速度特别快，而有几年又是负增长，出现显著的悬殊和不同的发展方向，以及所选择的最初水平和最末水平受特殊因素的影响过高

5、或过低，用这样的资料来计算平均发展速度，就会降低甚至失去指标的代表意义和实际分析意义。第二，要联系各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。如几何平均法名义上是各个时期环比发展速度的平均数，但实际上只计算最末水平和最初水平两个数字，把中间各个时期的具体变动抽象掉了，所以有必要补充各期的环比速度加以分析。第三，要结合基期水平进行分析。因为发展速度是报告期水平除以基期水平而得，从数量关系来看，基期水平低，速度就容易上；基期水平高，就难以高速度。因此，速度高可能掩盖低水平，速度低可能隐藏着高水平。例如，1949年我国的钢产量为15.8万吨，1950年为61万吨，则1950年我国钢产量的环比发展速

6、度为368.08%。1999年我国钢产量为12 426万吨，2000年为12 850万吨，2000年钢产量的环比发展速度为103.41 %。从发展速度分析，前者大于后者。但从发展速度指标后面的发展水平指标分析，却是后者远远大于前者。2000年我国钢产量每增长1%的绝对量为124.26万吨；而1950年钢产量每增加1%的绝对量仅为0.16万吨。增长1%的绝对量即前期水平的百分之一，是一个既考察速度又兼顾水平的指标，用公式表示为：增长1%的绝对量=第四，平均速度指标应结合其所依据的各个基本指标，如发展水平、增长量、环比发展速度、定基发展速度等进行分析研究，才能深入了解现象的全面发展、具体过程和特点

7、，从而对研究现象具有比较确切和完整的认识。7（一）时间数列的构成因素第四节时间数列构成因素分析法时间数列 长期趋势（T） 季节变动（S） 循环变动（C） 不规则变动（I） 时间数列变动的基本形式。它是指由各个时期普遍的、持续的、决定性的根本性因素的作用，使现象在一个长时期内沿着一个方向、逐渐向上或向下变动的趋势。狭义的季节变动是指现象受自然因素的影响，在一年中随季节的更换而发生的有规律的变化。广义的季节变动是指在一年内由于社会、政治、经济、自然因素的影响，形成的以一定时期（年、季、月、周、日）为周期的有规律的重复变动。 现象发生周期比较长的涨落起伏的变动。通常所指的循环变动乃经济发展盛衰不绝相

8、替之变动。 时间数列除了以上各种变动以外，还有受临时的、偶然的因素或不明原因引起的非周期性、非趋势性的随机变动，就是不规则变动，这种变动是无法预知的。8（二）时间数列变动分析的模型当4种变动因素呈现出相互独立的关系时，动态序列总变动(Y)体现为各种因素的总和，即Y=T+S+C+I。 S，C，I均为偏差， Y，T为总量指标当4种变动因素呈现出相互影响的关系时，动态序列总变动(Y)体现为各种因素的乘积，即Y=TSCI。这种方法中，S，C，I均为比率，用百分数表示。 Y，T为总量指标9第五节 现象发展的趋势 动态数列是多种因素交叉影响以后表现出的综合结果，趋势分析就是要剔除某些因素的影响，突出某一因

9、素影响产生的效果。、长期趋势的测定与分析 长期趋势的测定与分析就是要剔除周期性因素和偶然性的影响，突出长期因素的影响，反映事物发展的长期趋势。1、时期扩大法(间隔扩大、时距扩大) 偶然因素的影响方向不定、作用时间短，数列时期太短会显示偶然波动。 将动态数列中的指标数值分段合并，得出时间单位较长的新数列，可反映事物发展的总趋势。时期扩大法只适应于时期数列月 份123456789101112机器台数414252434551534051495654季度总台数135139144159季度平均台数4546.34853102、序时平均法（联系序时平均数） 对动态数列较长一段时间各项指标数值计算序时平均数，

10、形成新数列，以反映现象在各个时段内一般水平的发展趋势。如前页幻灯片 序时平均法既适用于时期数列，也适用于时点数列。 3、移动平均法（后面详细学习） 用前后连续几项的序时平均数代替原数列，反映事物的总趋势。 时间间隔一般3到5年；间隔愈长，数列愈匀，但项数愈少。 若原数列有周期性循环，可以周期长度为间隔。 例：见后 4、数学修匀法（后面详细学习p277） 利用回归分析法为现象配合回归方程，以反映事物发展的总趋势。 具体方法在第八章中也介绍。115.一次指数平滑预测当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。 其预测公式为：yt+1=ayt+(1-a)yt式中，yt+1t+1期的预测值； y

11、tt期的实际值； ytt期的预测值。 12指数平滑法预测案例 某企业5月销售额2万元，预测销售1.5万元， 若平滑系数A为0.2，预测6月？解: Y6 = 0.2*2 + 0.8*1.5 = 1.6万元 13长期趋势测定的常用方法3.移动平均法 移动平均法是将原有的时间序列的时距扩大，从第一项数值开始，采取逐项依次递移的办法，对原时间序列边移动边平均，计算出一系列移动平均发展水平，作为原有时间序列对应时期的趋势值，从而形成一个新的派生的时间序列。这种由移动平均数形成的派生序列，消除了短期的偶然因素对原时间序列的影响，使研究对象的基本发展趋势得以呈现。在这新的时间序列中，原序列中受偶然因素的影响

12、而引起的波动被消除，从而反映现象的总趋势。14应用移动平均法分析长期趋势时，应注意：A.用移动平均法对原动态序列修匀，修匀程度的大小，与原序列移动平均的项数多少有关；B.移动平均法所取项数的多少，应视资料的特点而定；C.移动平均法，采用奇数项移动比较简单，一次即得趋势值；而采取偶数项移动时，往往要经过二次平均；D.移动平均后的序列，比原序列的项数减少。15月份机器台数(台)3项移动平均数5项移动平均数1412424535245.744.644346.746.654546.348.865149.746.475348488404848.895146.749.81049525011565312541

13、6174趋势方程拟合法 p277 最小平方法的基本原理。最小平方法既可用于配合直线，也可用于配合曲线。 选择数学模型大多数用表示法（计算一次增量、二次增量或环比发展速度），也可用点线图。18回归方程的基本形式 y c=a+bt a、b为待定参数 最小平方法理论要点：观察值y与回归估计值yc离差平方和最小。19直线方程其趋势方程为： 用最小平方法求解a、b两个参数的标准方程组由两个组成。即系数方程组为：2021也可作图来判断（也可求增长量）。具体方法如下：以横轴t表示时间，纵轴y表示原序列的指标数值，坐标原点定在1998年，其序号用0来表示，将该序列中的指标数值和相对应的时间形成的点画在直角坐标

14、系中，可发现其散点集中在一条直线周围，故可以拟合直线趋势方程。根据求参数a和b的公式22经计算得：将2006年时间序号9代入配合的趋势方程，可得到2006年底该省人口数的趋势值（即预测值）：23另外，为了便于手工计算，可把原序列的中点移至坐标原点，使得“t0”，此时，标准方程组可简化为：解方程组得： 24需注意的是：当时间序列为奇数项时，中间一年为原点，t值分别为、-3、-2、-1、0、1、2、3、，从而使t0；当时间序列为偶数项时，用中间两项的中点为原点，这时，t以半年为单位，原点以前各项的t值分别为、-5、-3、-1，原点以后各项的t值依次为1、3、5、，同样可使t0 现用简捷法来拟合上例

15、的趋势方程。 25年份 年末人口数（万人） tt 2ty19988763 -7 49-61341 19998861 -5 25-44305 20008946 -3 9-26838 20019027 -1 1-9027 20029100 119100 20039172 3927516 20049243 52546215 20059315 74965205 合计72427 0168 6525 26解：各年的逐期增长量大致相等，故判断拟合的趋势方程的基本形态为直线。对时间进行简化后，根据求参数a和b的公式将2006年时间序号9代入配合的趋势方程，可得到2006年底该省人口数的趋势值（即预测值）：所以

16、，趋势方程 27时间数列趋势变动分析反映现象发展的长期趋势有两种基本形式：一种是直线趋势，另一种是非直线趋势即趋势曲线。28抛物线方程当时间序列各期水平的二次增量大致相同时，趋势线近似一条抛物线，可配合抛物线方程： 用最小平方法求解参数a、b、c时，使用下面三个方程：29T=0如下页表 某商场小家电销售量抛物线参数计算表30年份t y ty 1999-51200 -6000 2530000 625 1200.36 -0.36 0.1000 2001-31400 -4200 912600811399.30 0.10 0.19002002-11620 -1620 1162011620.03 -0.

17、03 0.0009200311862 18621186211862.54 -0.54 0.0916200432127 6381919143812126.84 0.16 0.0256200552413 1206525603256252412.93 0.07 0.0049合计010622 8488701255501414 10622.0 00.942631解：先计算各年的二级增长量，大致相等，判断拟合的趋势方程的基本形态为抛物线。有关数值的计算见表5-11，将上表数据代入公式得： 得趋势线方程为： 32指数曲线方程指数曲线方程为： 指数曲线方程的求解方法是先化为直线方程：即 从而 3334例：某生

18、产企业1998-2005年产量资料如下，试配合适当的趋势线。表5-12 某生产企业1998-2005年产量参数计算表年 份 19981999200020012002200320042005产量（万吨） 172 159 141 138 130 130 129 131 环比发展速度（） 9289989499100102解：通过计算可知，各年的环比发展速度大体相同，见表5-13，所以可配合指数趋势曲线方程。具体计算资料见下表: 35年份 产量y t t2 y ty1998172-7492.2355 -15.6485 1999159-5252.2014 -11.0070 2000141-392.149

19、2 -6.4476 2001138-112.1399 -2.1399 2002130112.1139 2.1139 2003130392.1139 6.3417 20041295252.1106 10.5530 20051317492.1173 14.8211 1130016817.1817 -1.4133 36调整时间，令t0所以：查反对数表得：a140.51 b0.98因此指数趋势曲线方程为： 把t的取值代入上式，可得各年的趋势值。 37时间数列 季节变动及其测定目的 狭义的季节变动是指现象受自然因素的影响，在一年中随季节的更换而发生的有规律的变化。广义的季节变动是指在一年内由于社会、政治

20、、经济、自然因素的影响，形成的以一定时期（年、季、月、周、日）为周期的有规律的重复变动。 2.特征有规律的变动、按一定的周期（年、季、月、周或日）重复进行、每个周期变化强度大体相等. 3.目的进行经济分析和预测。同时，测定季节变动规律，有利于消除时间序列中季节变动的影响，取得不含有季节变动因素的数据，便于评价工作成果。此外，也为其他因素分析提供有利条件。 1.概念38季节变动测定的方法测定季节变动的方法按其是否考虑长期趋势的影响来看，有两种方法 一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原始的动态序列来计算，常用的方法是按月平均法。 另一种是根据剔除长期趋势影响后的序列资料来计算，常用的方法是移动长期

21、趋势剔除法。 39二、季节变动的测定与分析 剔除长期性因素和偶然性因素的影响，反映事物随季节发生的周期性波动。1、按月平均法将资料按月对齐，分别计算月合计、月均数、年合计、总月均数（57.89）。计算各月平均数对月总平均数的相对数，称为季节变动指数（又叫季节指数）。通过季节变动比率，反映季节变动现律。月 份123456789101112合计第一年827262382053411809085552第二年110657040287451396148134720第三年123818445459561594161144812合计31521821612393211215392703993632084月平均数1

22、0572.7724131745139013312157.9季节比率(%)181.4125.6124.370.8153.5412.16.918.6422.45155.4229.7208.91199.8340例：某风景旅游区近几年旅游人数资料资料如表5-14所示，试计算季节比率。 表5-14 某风景旅游区人数资料 单位:万人（741）年 份 一季度 二季度 三季度 四季度 合计 20014606308805002470 20025207009005702690 20036007809706202970 200455090011006003150 200566093012507003580合计279

23、0 39405100299014820 同季平均数 558 788 1020 598741 季节比率(%) 75.3 106.3 137.7 80.7 40041解：第一步，计算全期相同季度的平均人数； 如，全期第一季度平均人数 =（460+520+600+550+660）/5=558（万人） 其它季度平均数的计算方法相同，计算结果如表5-15所示。 第二步，计算全期总平均数，即全期20个季度的平均数； 总平均人数 =(558+788+1020+598)/4 =741 （万人） 第三步，计算季节比率，即各季节平均数与总平均数的比率 。 如，第一季度的季节比率=558/741=75.3% 其它季

24、度的季节比率计算方法相同。 第四步，判断并调整季节比率。422、趋势剔除法先利用移动平均法，剔除长期趋势影响，再测定季节变动。除法剔除趋势值求季节比率。（用于各因素属乘积形式的现象）。用移动平均法求出长期趋势，剔除长期趋势，原数列除以对应趋势值求出比率。求季节比率。数据重排求季节比率。减法剔除趋势值求季节变差（用于各因素求和形式的现象）用移动平均法求出长期趋势剔除长期趋势。原数列减去对应值。计算同期平均数。数据重排、简单平均。计第季节变差。将同期平均数合计数分滩到各时期的同期平均数中去。43例：某风景旅游区近几年旅游人数资料资料如表5-14所示，试计算季节比率。 表5-14 某风景旅游区人数资

25、料 单位:万人年 份 一季度 二季度 三季度 四季度 20014606308805002002520700900570200360078097062020045509001100600200566093012507004445例：利用移动平均趋势剔除法测定表5-14的资料的季节变动比率。解：第一步，计算各个季度的移动平均数，求整个时间序列的长期趋势值T（见表5-15）（617.5+632.5）/2=625。第二步，将原序列实际发展水平除以相应时期的趋势值，以消除长期趋势的影响，得出各季修匀比率（见表5-15）。如，2001年第三季度的修匀比率 Y/T= 880/625 100% =140.8%其它季度的修匀比率计算方法相同。46第三步，将修匀比率按各年同季排列，求其同季平均值。年份一季度二季度三季度四季度合计2001-140.878.0-200279.7105.5