定积分在经济学中的应用

1、定积分在经济学中的应用1.成本函数总成本 = 固定成本 + 可变成本平均成本(单位成本)=2.收益函数 收益=价格销量，即R(Q) = PQ . 3.利润函数 利润=总收益-总成本，即L(Q) = R(Q)-C(Q) . 复习4.边际 f(x) 在 x=x0处的边际值为f(x0). 边际的经济意义:当 时, x 改变一个单位, y 改变个单位 .5.常用的边际函数 边际成本；边际收益；边际利润 定积分在经济学中的应用一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值 第六章 一、已知边际函数求总函数 问题：已知某边际经济函数，求该总经济量. 设某个经济函数 u(x)的边际函数为 , 则有 于是

2、2. 已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，R(0)=0, 则总收益函数为1. 已知生产某产品的边际成本为 ，x为产量，固定成本为C(0), 则总成本函数为3. 设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量， R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若 L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为： L ?(x)=R?(x)-C?(x).因此总利润为： 例1 生产某产品的边际成本函数为 固定成本 C(0) = 1000, 求生产 x 个产品的总成本函数 . 解 例2 已知边际收益为 , 设R(0) = 0, 求 收益函数R(x) . 解 例3：设某商品的边际收益为 (1) 求销

3、售50个商品时的总收益和平均收益； (2) 如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解: (1) 总收益函数:平均收益: 例3：设某商品的边际收益为 (1) 求销售50个商品时的总收益和平均收益； (2) 如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解: (2) 总收益为:平均收益: 例4：已知生产某产品x台的边际成本为 (万元/台)，边际收入为 (万元/台). (1) 若不变成本为C(0)=10 (万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解: (1)总成本为 由于当产量为零

4、时总收入为零,即R(0)=0,于是 总收入为总利润函数为（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元） 二、由变化率求总量 例5 某工厂生产某商品, 在时刻 t 的总产量变化率为 (单位/小时). 求由 t = 2 到 t = 4 这两小时 的总产量 . 解 总产量 例6 生产某产品的边际成本为 , 当 产量由200增加到300时, 需追加成本为多少? 解 追加成本 设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这就是单利的

5、本利和计算公式1. 单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值 第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此计算,n年后应得本利和为AnA0(1r)n这就是一般复利的本利和计算公式. 2. 复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金. 就像常说的“利滚利”.三、收益流的现值与未来值 资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为A1A(1 r/n )n，t年后本利和为AtA(1 r/n

6、)nt ，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为 这就是连续复利公式 因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有： （1）已知现值为A0, 则t年后的未来值为AtAert， （2）已知未来值为At , 则贴现值为A At e-rt期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3. 连续复利每刻计算复利的方式称为连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.4、收益流的现值和将来值 我们知道, 若以连续复利率 r 计息, 一笔 P 元人民币 从现在起存入银行, t 年后的价值(将来值) 若 t 年后得到 B 元人民币, 则现在需要存入银行的金 额(现值)

7、 下面先介绍收益流和收益流量的概念 . 若某公司的收益是连续地获得的 , 则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流 . 而收益流对时间的变化率称为收益流量 . 收益流量实际上是一种速率 , 一般用 R (t) 表示 ; 若时间 t 以年为单位 , 收益以元为单位 , 则收益流量的 单位为: 元/年. (时间 t 一般从现在开始计算) . 若 R(t) = b 为常数 , 则称该收益流具有均匀收益流量. 将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值， 俗称“本金” 例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元

8、. 10500为10000的将来值,而10000为10500的现值 . 和单笔款项一样 , 收益流的将来值定义为将其存入 银行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的现值是这 样一笔款项, 若把它存入可获息的银行, 将来从收益流 中获得的总收益, 与包括利息在内的本利和, 有相同的 价值. 在讨论连续收益流时, 为简单起见, 假设以连续复利 率 r 计息 . 若有一笔收益流的收益流量为 R(t) (元/年) , 下面计 算其现值及将来值 . 考虑从现在开始(t = 0)到 T 年后这一时间段 . 利用元 素法, 在区间 0 , T 内, 任取一小区间 t , t + dt , 在该小 区间内将

9、R (t) 近似看作常数 , 则应获得的金额近似等 于 R (t) dt (元) . 从现在( t = 0 )算起, R (t) dt 这一金额是在 t 年后的将 来而获得, 因此在 t , t + dt 内, 从而，总现值为收益的现值 在计算将来值时, 收入 R(t) dt 在以后的( T t )年内获 息, 故在 t , t + dt 内 例8 假设以年连续复利率 r = 0.1 计息 (1) 求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现 值和将来值; (2) 将来值和现值的关系如何? 解释这一关系 . 解 (1) 从而，将来值为收益流的将来值 (2) 显然 若在 t = 0 时刻以现

10、值 作为一笔款项存 入银行, 以年连续复利率 r = 0.1计息, 则20年中这笔单 独款项的将来值为 而这正好是上述收益流在20年期间的将来值 . 例9? 某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资解 设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有 即解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资 一般来说, 以年连续复利率 r 计息, 则在从现在起到 T 年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为 单笔款项存入银行 T 年后的将来值. 例1 设有一项计划现在( t = 0 )需要投入 1000 万元, 在 10 年中每年收益为 200 万元. 若连续利率为 5%, 求 收益资本价值W. (设购置的设备10年后完全失去价值) 解资本价值 = 收益流的现值 投入资金的现值 例2 某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元, 每年的收益流量为10万元, 求内部利率? (注: 内部利率 是使收益价值等于成本的利率) . 解由收益流的现值等于成本, 得 可用近似计算得 设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为r，按复利方式每年计息一次，则该笔资金t年后的本利和为1.