通览数列通项公式的求法

1、 通览数列通项公式的求法数列通项公式Z出了数列an中第n项an与项数n之间的函数关系。掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，培养学生对知识的横向联系，促进学生对知识的掌握。一、观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用1n或 1 n1来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。小 13572, 4 ,8, 16 -510 1520 1, 0, 1, 03, 33, 333, 3333 11, 1

2、03, 1005, 10007解：此数列可拆为三部分，第一部分为1n1来调节正负号即可，故2,4,8,16通项是2n,第二部分分子部分为1,3,5,7 ,通项是2n 1,第三部分分母部分为5,10,15,20通项是2n ,再由ann 1 n1(2n2n 1)5n此数列是由两个基本数列1,1,1,1和 1, 1, 1, 1求得，故an 1在此数列中3 93 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1143333999910133 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 11-1011, 33 99331 n从

3、而可得an1013121-102 1 , 333 99933103对应项求和而得，故通项公式为此数列是由两个基本数列10,100,1000,10000 与1,3,5,7an 10n 2n 1二、公式法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。形如an 1 an d , a1已知；解法为：: an 1 an d, d为常数，由等差数列的通项公式（d为数列的公差）得到 an a1 n 1 d形如an 1 q an （q为常数且q 0）, a1已知；a 1解法为：-q, an是以a1为首项，q为公比的等比数列，ana1qn例2、求下列数列的通项公式已知数列

4、an中a,2,ani* an 3 n N 求通项公式。解： an 1 an 3, , an 1 an 3则an是以ai 2为首项，3为公差的等差数列。n 1 3 3n 1为所求的通项公式。已知an中a13且an 1 2an求此数列的通项公式。解：由 an 12an/日 an 1得一 anan是以a13为首项，2为公比的等比数列,故an3 2n 1即为所求通项公式。例3、已知数列 an中为 2, an an 1 an an 1 n 2 ,求通项公式。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 11斛：,当 n 2 时有，an

5、an 1 an an 1 /. 1an an 1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 111则一是以一-为首项，1为公差的等差数列。 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document ana1211an 2,2n 12/ f1 an ,(n 2)2 n 2n 1故an22n-(n N )为所求的通项公式。【练习】已知数列an3是等差数列，且a12,公差为5,求an【答案】an 5n 3三、前n项和法：若知数列的前n项和Sn,则anS1n& Sn1 n需要注意的是，对于1时的情况一定要检验，若当n 1时，a1也满足

6、an的表达式，则两式可合并。3 3n 1例4、已知数列 an的前n项和Sn ，则数列an的通项公式是2解：当2时,an当1时,ai-3n23n 13 n 1n-33 132故an6, non3 , n例5、已知数列an解：二 Sn的前n项和Sn,当n 2时有，anS 12SnSn 1且满足ai2SnSn i(n 2),求数列an的通项公式。2SnSn 1, anSnSn 1则 一 Sn口 1是以一S2为首项,2为公差的等差数列。2n/. Sn2n,(n2)SnSn1,an2n2(n1)2n(n 1),(n2)又a11一，故a2?(n1)2n(n 1),(n为所求的通项公式。2)例6、已知数列a

7、n的前n项和Sn,且满足n an2 ,求数列an的通项公式。解： Snan，二 Sn1 an 1(n 1)得:2an 2(an 1 1)an1,an 1an 1即数列an是以a11 ，一1 一为首项、以21 ，一，一1为公比的等比数歹u,2故an(*(2)n，从而 an(2)n又a1an1 n ，彳, (-)1为所求的通项公式。21、已知正项数列an 1an的前n项和&满足Sn2-,求数列的通项公式an2、已知数列 an的前n项和Sn,且满足ai211,Snan(Sn -),(n 2),求数列an的通项公式。24an 2 ,求数列an的通项公式。3、已知数列an的前n项和Sn,且满足ai1,&

8、 i1,(n 1)【答案】1、an 2n 1； 2、an2； 3、a0(3n 2) 2n 1(2n 1)(2n 3)，(n 2)四、递推公式法：1、若递推公式为an 1 a；型，其中i R且i i 1。，数列an是正项数列；解此种类型数列,必须对等式两边同时取对数得lgan1 ilgan,从而化为 an 1 lg ani,可知数列lg an是首项为lg a1 公比为i的等比数列。例7、已知数列an满足a12 ,an 1 a2,求an解：在等式an 1 a2两边取常用对数得lg an 1 2lg an ,即lgan 12lgan所以数列lgan是以lg 2为首项，以2为公比的等比数列，n 1故

9、lgan 2n1 lg2 lg 222n 1an 2n 1 o【练习】已知数列 an满足a1 3 an 1 3- an,( n 1),求annn 1【答案】an n 33 ；f n ,再以迭乘法求解即可。2、若递推公式an 1 an f n例8、已知数列an满足a1解：由an 1 包an得亘n 1 an所以 _an_ 2 n 1an 1an 1 nan 22n由迭乘法可得an 3n【练习】型，则只须将原递推公式化为2n 十二，an 1-an，求 ann 12nn 12 n 2a2 2 1n 1a121、已知:1a1 二an32nan 1( n 2)求数列an的通项。2n 12、已知an是首项为

10、22的正项数列，且(n 1)an 1 nan an1 an0,( n * 、 N ),求数列的通项公1；2n 12、3、若递推公式为an 1 a n型,则只须将原递推公式化为an 1anf n ,再以迭加法求解即可。例9、已知数列an满足ai2,a n 1an解：由题得an 1所以有an由迭加法可得an【练习】已知数列an满足a14、若递推公式为an 1panan 1an 2a2a1anq (其中p、an 1 2n,(n 2),q为常数，pq pan0)型,则需把原递推公式化为p an-q-,可得数列 p 1an是以a1为首项、以p为公比的等比数歹U。例10、已知数列an满足a11 an 13

11、an2,an解：原等式可化为an1 13an所以有曳an 13即数列an是以2为首项、3为公比的等比数列故 an12 3n 1从而an3n 1【练习】在数列 an中，若a12an3(n 1),则该数列的通项 an =【答案】an 2n 13;5、若递推公式为an 1 pan f(n)(其中p为常数,f (n)为关于n的一次函数)型，即f(n) an b时，则引入辅助数列an An B且Aaba,B -b- -a二，则原递推公式可化为 p 1 p 1 (p 1)an 1A(n 1) Bp(anAn B),从而知道a An B是以aAB为首项，p为公比的等比数列。1例11、已知数列 an满足a1

12、1,an -an 1 2n 1,(n 2),求通项公式an2解：设bn anAn Bian bnAn B , an 1 bn 1 A(n 1) B所以bn Anr1B an -bn 1 A(n 1) B 2n 1 ,即 bn 2ibn11 (A 2)n211(-A - B 1)。22A2 A2解之得1 .所以 bn bn 1 且 bn an 4n 621 ,由于bn是以3为首项，以1为公比的等比数列，所以有 bn22n 1 一 3由此得：an -1 4n 62 n6、若递推公式为an 1 pan递推公式两边同除以qn 1得a*qnqn (其中p、q为常数，pq pn7 ,从而可引入辅助数列 q

13、 q q1 q 10)型，此类型题需把原anbn且bn ,则原递推公式可化 q为bn 1 E bn 1,从而化上一类型求解。 q q TOC o 1-5 h z 1c例12、已知数列 an满足a12, an 1an 2n，求an2解：在原不等式两边同除以 2n 1得：与胃 1 之 124 22a11不妨引入辅助数列bn且bn - 则bn 1 bn242bn 2是以1为首项、以31 ,1为公比的等比数列，故有4一212故bn1一一bn一即数列343an 22n 3n 11皿一则an47、若递推公式为an 2pan 12nqan (其中p、q为常数且pq0)型，此类型题需把原递推公式化为an 2A

14、an1 B an1 Aan，其中A、B满足 A B P，从而把数列化为前一种类型求解。AB例13、已知数列an满足a11, a22,an解：由an 22T an 131 3an2可设anA B an1 ABan所以有AB则有a2 an 1故数列an 1an是以为首项，以1 ，-为公比的等比数列3所以an 1 an由迭加法可得：ann 113丁3又由a11得an8、若递推公式为ananC an 12), a m（其中a,b,c, d,m为常数）型。例14、已知a14,an3an1 2, 7(nan 142),求 an.解：设an m3an1 2an 14(3m)an 1an4m】m解得m1m25

15、(an1 2)4an 12(an1 1)an 14(1)得 an 2寸an 15 an2 an1an2a1an 1a125 n 1一(-)1 25 n 12(-)，25n 12nan n 1八n 12 52为所求。22 9、若递推公式为anm an 1m an 1（其中p,m为常数）型。考虑函数倒数关系有P( an 1an1 pan 1 m1令bn-an则4可归为an 1panq型。例15、数列an中,an2n 1包,司an2,求an的通项。一 1解：an 12n 12n 1an, , bn 1 bnbn 1bn 212n 11b3b2anan12n 1，设bnanbnbnbnbn12n 2b

16、n23，b2bi bn12 22n 1-27-an2n2n10、若递推公式为anbiQb2 a2b3a3bn（其中b1,b2,b3, bn 1 为常数)型例16、已知bn是首项为1,公差为-的等差数列，且满足an，若 Ga1,求Cn C2a2 a33C3a4a5 a6C4a7bna8& 2a2 3%1 2a9a10 ,电（1）求n如此构成数列Cn解：（1） bn(n 1)434n 1n(n21)一a1 2a2 3a3(n 1注nann(n1)(4n61)a1 2a2 3a3(n 1)an 1n(n 1)(4n 5)得:n(n 1)(4n 1)n(n 1)(4n 5) 2n2an 2n（2） C

17、n是数列an的n个项的和，cn的第项为 an(n 1) 1n项为ag n cn an (n 1) -2-【练习】已知数列an(n 1) 2-2an(n 1) 3-2an(n 1)-2Sn(n 1)-2Sn(n 1)-2-an满足nana1 2 a2 3a3(n 1)an1,( n2),且a1 3 求数列an的通项公式an五、方程消元法:例17、已知函数f(x) 2xan满足f (log 2 an)2n,求数列an的通项公式an解：数列an满足f (log 2 an)2n,且 f (x)2x 2 x一 an2n , ana2 2nan1 0,解得an0,an n2 1 n.【练习】已知正项数列an中,已知anan的通项公式anan2n 1；六、用数列的周期性求通项:例18、已知数列 an满足a1an 1,11 ,求数列 anan的通项公式an解：= an 11 L，an 2an从而数列anan 1anan 3an是以3为周期的周期数列。a1a21anana3一 an2,n1一，n21,n3k3k3