求极值的若干方法

1、 求极值的若干方法1序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类.无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条 件限制的极值问题.下面我们给出极值的定义定义11(P136)设函数f在点Po的某邻域U(R)内有定义，若又行1任何点 P U (Po),成立不 等式f(P)f(P0)(或 f(P) f(P),则称函数f在点Po取得极大(或极小)值，点Po称为f的极大(或极小)值点.极大值、极小值统 称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.2求解一元函数无条件极值的常用方法导数法定理1 2(P142)设f在点Xo连续

2、，在某邻域Uo(Xo；)内可导.(i)若当X (Xo,Xo)时f (x) o ,当X (Xo,Xo)时f (x) o ,则f在点Xo取得极小值.(ii)若当 X (Xo,Xo)时 f(X) o,当 X (Xo,XoN4f(X)。，则 f 在点 X。取得极大值.由此我们可以推出当X Uo(Xo；)时，若f (X)的符号保持不变，则f (X)在Xo不取极值.定理2 2(P142)设f在Xo的某邻域U (Xo；)内一阶可导，在X Xo处二阶可导，且f (X) o, f (X) o.(i)若f (Xo) o ,则f在Xo取得极大值.(ii)若f (Xo) o,则f在Xo取得极小值.对于一般的函数我们既

3、可以利用定理1 ,也可以利用定理2 ,但对于有不可导点的函数只能用 定理1 .例1求函数f (X) X(X2 1)的极值.解显然f在x 0, 1处不可导,f (x) (3x2 1)sgn(x3 x) 其中(x 0, 1)-3令 f (x) 0,得 x , 3且f在x 0, 1处导数不存在.(,1)时 f (x) 0 、3f (x)单倜减小；当x ( 1, 时 (x) 30, f(x)单调增加;,3,0)时 f (x) 0 3f(x)单调减小；当x (0,费时f (x) 03f (x)单调增加;-3,1)时 f(x) 0, 3f(x)单调减小；当x (1,)时f (x) 0,f (x)单调增加,

4、所以由定理1可以得到3f (x)在x 处取得极大值3红3,在x 0, 1处取得极小值0. 9若用定理2则有 f (x) 6xsgn(x3 x) 其中(x 0, 1),当 xY3时，f (x)2通 0 ；当 x Y3 , f (x)273330,由此只能判断出f在x3 .处取得极大值，而无法判断在不可导点30, 1处是否取得极值.定理2表明若函数f(x)在稳定点x0处的二阶导数f (x) 0,则稳定点x0一定是函数f(x)的极值点，但如果遇到 f(x) 0时应用定理2无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别.定理3 2(P143)设f在x0某邻域内存在直到n 1阶导函数，在处n阶可导，且f(k)(

5、x。) 0(k 1,2L ,n 1), f(n)(x0) 0,则(i)当n为偶数时，f在x0取得极值，且当f(x0) 0时取极大值，f() 0时取极小值.(ii)当n为奇数时，f在x0处不取极值.例2求函数f (x) x4(x 1)3的极值.解 由于f (x)x3(x 1)2(7x 4),因此x 0, 1,，是函数f(x)的三个稳定点.f的二阶导数为f (x) 6x2(x 1)(7x2 8x 2),44由此得，f (0) f ( 1) 0及f ( -) 0 .所以f(x)在x 处取得极大值.求 f的三阶导 数f (x) 6x(35x3 60 x2 30 x 4),有f (0) 0, f ( 1

6、) 0.由于n 3为奇数，由定理3知函数 f在x1处不取极值，再求f的四阶导数f(4) (x) 24(35x3 45x2 15x 1),有f(4)(0) 0 .因为n 4为偶数，故f在x 0处取得极小值.综上所述，f (0) 0为极小值,f( 4) (7)4(7)36912823543为极大值.2.2对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂(比如含根号)的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们 可以利用f(x)与fn(x)有相同的极值点(极值的类型可能不同) 这一特点，把复杂的函数转化为般函数再求解.推论13(P36)设x0为f(x)的极大(小)值点，则有:D如果f(x) 0

7、,则f(x)与fn(x)有相同的极值点和极值.2)如果f(x) 0,则f (x)与f 2n 1(x)仍有相同的极值点，但f(x)与f 2n (x)的极值的类型恰恰相反，即x0为f2n(x)的极小(大)值点.例3 求函数y (x 8)2 5/(x 1)4的极值.解 因为 y5 (x 8)10(x 1)4,所以 TOC o 1-5 h z 59410393(y )10(x 8) (x 1)4(x 8) (x 1)2(x 8) (x 1) (7x 11). , 5、_11令(y )0,得 X 1 , x28, x3 y ,11. 5._5 11. 5._5故当 x (, 1) (y,8)时，(y)

8、0, y 单倜减，当 x ( 1,y) (8,)时，(y)0, y单调增，所以y5在x 1,x 8处取得极小值0 ,根据推论1得y在x 1和x8处取得极小值0,在411 一 一 45 2 18 丁x 处取得极大值(竺)2(18)5.7771145 10 18 4在x 一处取得极大值(一)(一)777若直接用对函数求导的方法可得42(x 8)( x 1)石i(xi8)2(x 1)石2(x 8)( x421) (x 8)5i(x 1)5显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错.由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断

9、点.我们假设f(x)在xo的某邻域(xo,xo)内有定义，xo是f(x)的第一类间断点，根据极值的定义可得到f (x)在x0处求极值的两个推论4( P11) .推论2 如果f(xo)lim f(x)且f(xo)lim f(x)则f(x)在点小处取得极大值x xo 0 x xo of(xo).推论3 如果当x (xo,xo)时，f (x)单调增加，当x (xo,xo)时，f(x)单调减少，且f(xo)lim f(x)、f (xo)lim 则在点处取得极大值f (x).x x) ox xo o类似地可以推出极小值.x3x, x o例4 求函数f (x)的极值.x 3, x o.解当 x o 时，f

10、 (x) (x3x) 3x3x(Inx 1), TOC o 1-5 h z 人，1令f (x) o得稳定点x -,e11 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 当 o x 时，f (x) o ；当 x 一时，f (x) o, ee HYPERLINK l bookmark58 o Current Document ，、一1 一一 1、，1;故f (x)在x 一处取极小值f (一)(一). ee e又当x o时f(x) 1 o, f(x)单调增加；当 o x 1时 f(x) 3x3x(Inx 1) o, f(x)单调减少，且 elim f (x) 3

11、X 0f(0),Inx3 limx 0 lim f (x) lim e3xInxe 又x 0 x 013 lim _xe0 1 f(0).所以f(x)在x 0有极大值f(0) 3.3求解二元函数无条件极值常用的方法利用判别式求极值定理4 i(p137 P138)设二元函数f在点P0(X0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续偏导数，且P0是f的稳定点，则有如下判别式： 当fxx(B) 0, (fxxfyy fP。)0时，f在点R取得极小值;2 .(ii)当 fxx(F0) 0, ( fxx fyyfxy)(R) 0 时，f 在点 P0 取得极大值;(iii)当(fxxfyy fxy)(B)

12、0时，f在点P0不能取得极值；(2)当(fxxfyy fxy)(P0) 0时，不能肯定f在点已是否取得极值.这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题.1)(fxxfyy fxy)(P0) 0时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论.例如函数f(x,y) x4 y6与g(x,y) x4 y6 ,容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足(fxx fyyfxy)(0,0)0 ,但f (x, y)在点(0,0)处取极小彳1,而g(x, y)在点 (0,0)处不取极值.2)如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因

13、此我们 在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑.例如函数z &_y2 ,显然在点(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值.一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在 该点能否取极值.对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般 解法.3.2二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法命题1设(x0, y0)为f (x, y)的极大(小)值点，则有：1) f 2n 1(x,y)与f (x, y)有相同的极值点和极值类型，即(x0,y0)也为f2n 1(x, y)

14、的极大(小)值点；2)当f(x,y) 0时,f 2n(x, y)与f (x, y)有相同的极值点和极值类型,即(xo,y0)为f 2n(x, y)的极大(小)值点；当f(x, y) 0时，f 2n(x, y)与f (x, y)仍有相同的极值点，但它们的极值类型 恰恰相反，即(xo，y0)为f2n(x, y)的极小(大)值点.下证结论1) , 2 ),1)证 由极值的定义知，若(x0,y0)是f (x,y)的极大(小)值点，则对于 (x0, y0)的某一邻域 内的任一点(x,y)都有 f (x, y)f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y),故有2n 12n 12n 12n 1 z、f

15、 (x, y) f(x, y)(或 f (x, y) f(x, y).匚上 什(2n 12n 12n 12n 1 .反之，右 f (x,y) f(x0,y0)(或 f (x,y) f(x0,y。)，则有f (x,y) f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y。)，_ 2n 1即f (x, y)与f (x, y)有相同的极值点和极值类型.2)当f (x, y) 0时，结论很明显，证略.下证当 f (x, y) 0时，由于f (x, y) 0 ,故f即 f2n(x, y) f2n(x0,y0).例5 求函数z (x2分析：直接对z求偏导，f (x, y) f (x0,y。)，2n 1(x,

16、 y) f (x, y) f2n 1(x, y)f (x, y),所以(x, y)是f (x, y)的极小值点.22 1二x y 二y )2(12 y2)2(0 a b)的极值.a bx1 2x- ( )y2y1 ( )x2 2y-x2( 2,2)yy( 2,2)x,2则有 zx, aa b, zy f a bbx122yl22,22xy，|,22xy(x y )(12/)(x y )(12：)a ba b所以有证 不妨设(x0,y0)是f (x, y)的极大值点，则对(xO, y)的某邻域内有f (x, y)f(x0,y0),显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z的不可导点，但也可能是函数

17、的极值点，故直接求导不可取,这时可利用命题1来求解.22解令f z (xy2)(i2%)(0a b)，需先对函数f求偏导，令fx2x1解得稳定点(0,0) , (0,f xx因为在点(0,0)有 ACB2在点(0,=)有 AC ,2B2而在点(fy2y12x2-2a1(a(二a1、22)xb0,0.(a2_ 212x2C fxy,0)，2(3a0,且有A0,且有A*)y2, b b2 吗 A)a2五,0)有AC B 0,故函数fxy12y2丁,11、4(/它所0,故点(0,0)为函数f的极小值点;0,故点(0,子)为函数f的极大值点;, , a -f在点(-y=,0)不取极值.bb又因为z0,

18、从而由命题1可得函数z在点(0,0)取得极小值0,在点(0, 7)取得极大值-.4求解隐函数无条件极值的常用方法4.1利用显函数极值问题的相应结论定理5 5(P26) 设函数f(x,x2,L ,xn,y)具有一阶、二阶连续偏导数，且 fy(X,x2,L ,xn,y) 0 ,则由方程 f(x1,x2,L ,xn,y) 0 所确定的 n 元函数 y y(x1，x2,L 凶)在 点 P0(x,X2,L ,x0)取得极值的必要条件是：fxi(x0,x,L x0, y0) 0 (i 1,2,L ,n)其中0 0 0 0f (Xi ,X2,L Xn,y ) 0.右记 hj0000、fxXj (Xi ,X2

19、,l Xn,y )0000 、fy(Xi ,X2,L Xn, y )(i, j 12L,n),H(P0) (hij)nn .那么，当H(P0)为正定矩阵时，y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0处取得极小值；当 H(P0)为负定矩阵时,y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0处取得极大值；当H(P0)为不定矩阵时，y y(x, x2,L , Xn)在P0处不取例6求由方程2x2解令 f (x,y) 2x2得极值.y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0所确定的函数z z(x, y)的极值.22一一一.、一 .一yz2xy2x2y4z 4 ,解万程组fx 4X 2y 2 0, fy 2y 2x

20、 2 0, f 2x2 y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0.解得稳定点为 R(0,i,i), P2(0,1,3),进而可得fxX 4,fxy2,fyy2, fz2, fz(P2) 2,H(P)所以H(P2)显然H (P)为正定矩阵，H (P2)为负定矩阵.由定理5可知函数zz(x, y)在点P(0,1)处取得极小值1,在点P2(0,1)处取得极大值3.4.2利用拉格朗日乘数法6(P167)这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转 化为求条件极值的问题.例7 求由方程2x2 2y2 z2 8xz z 8 0所确定的隐函数 z z(x, y)的极

21、值.解 取目标函数f (x, y,z) z ,约束条件为原方程，作辅助函数_ 2_ 22一一L(x, y,z, ) z (2x2yz8xzz 8),解得115由于故所求之点P(,0,7值点.由此得所求函数LxLyLz2x0,2y1,稳定点15Lxx 4fxx fyyf 21 xy0,0,8xz耳咛,。,z 8 0.8), P2( 2,0,1),Lxy0，Lyy2160(0),7)，P2(2,0,1)均为极值点，且当0时为极大值点，当0时为极小z z(x, y)的极大值为一，极小值为1.同样例1也可以用这种方法求解.5求解条件极值的常用方法5.1代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程(

22、以二元条件极值为例)(x, y) 0中解出显函数 y y(x)代入z (x,y(x)中化为无条件极值问题，从而使问题简化.将代入求函数f(x,y)在条件xy 1 0下的极值.f(x,y),得x2 (1x)2 2x2由二次函数的顶点式可知当1 ,一时，f取得极小值 2显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题:1)这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个;对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解;3)在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案7( P42)例如求解原点到曲面(xy)2z21的最短

23、距离.用代入法求解时，如果将Z2 1 (x y)2代222、uux 2y 0, 一入u x y z得uxy1(x y) 1 2xy，由得可能的极值点为uy 2x 0.22P(0,0,1)与P2(0,0, 1),此时R, P2到原点的距离均为1,而曲面(x y) z1存在到原点的11 TOC o 1-5 h z 距离比1小的点，比如P( 一, 一,0)就是这样的点，因此用代入法求解时， 这样的最短距离不存在. 而 22 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 111 1用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是P3(-, 1,0)与P4(，

24、1,0),且从222 2几何图形不难看出 P3 , P4正是两个最值点，最短距离为? .原因是求u x2 y2 z2在约束条件(x y)2 z2 1的最值时，x与y的取值范围必须满足x y 1 ,而将z2 1 (x y)2代入222 一一u x y z后得u 1 2xy , x与y的取值氾围都已是(，).利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷.但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测.若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L的二阶微分符号来判断.定理6 8( P257 P2

25、58)设P0是拉格朗日函数L的稳定点，则21)若d L(P0) 0,则函数f在P。取条件极小；22)若d L(P0) 0,则函数f在P。取条件极大.42222一，例 9 求函数 f (x1，x2,x3,羽)x1x2x3x4在条件akxk1(ak0,k 1,2,3,4)下的k 1极值.4解 设拉格朗日函数为L(x1, x2, x3,x4)x；x；x；x：(akxk1),k 1对L求偏导并令它们都等于 0,则有 TOC o 1-5 h z Lxi 2xiai 0,Lx22x2a20,LX32x3a30,LX42X4氏0,4 akxk 1 0. k 13,2akk 1解得Xi Mi 1,2,3,4)

26、, 2 ak k 1 ,2.又当 I、时， 2 ak k 1 2_220,14d L 2(d X1 L d X4)所以当xi Y(i 1,2,3,4)时，f取得极小值，极小值为 a： k 1运用梯度法求条件极值n 1,L ,Xn)igrad i(X1,X2,L ,Xn),钻i 1的4) 0,(i 1,2,L ,n 1).将梯度法用于求条件极值问题，方程组解就是所求极值问题的可能极值点9( P35).例109( P35)试求n个正数，其和为定值n X1X2L Xngradf (一，X2 i(X1,X2,L ,l的条件下，什么时候乘积最大，并证明1， 一(X1 X2 LXn).n证本题的实质是求y

27、 f(x1, x2,L,xn)x(x2Lxn在条件x1x2Lxnl下的最大值问题.根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点grad(x1X2L %)grad(x1 X2 LXn l),x1 x2 Lxn l.进一步求解得容易得到X2X3L XnLX1X2LxnXiXn ,L1.X2根据题意，则（-,-,L ,-）是唯一的极大值点L , XiX2 L Xn 11,1L ,1 ,也是最大值点.所以l nf(X1,X2,L ,Xn)一n即 n X1X2L Xn1 ,.一(X1 x2 L n利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M的直角坐标（X,y, z）与球面坐标（，,）之间的关系，应用这一变换

28、可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题10( P96)例111（P96）求函数uX2y2z2在条件（X y）2z21下的极值.解 利用球面坐标法，由目标函数 u X2 y2 z2 ,可设 x布sincos , y 而sin sin ,z Vu cos ,代入约束条件可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 2sin2 (2 sin2 ) 1 2u HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 31 1(当 -, 一时取等号)，于是u ,故所求极小值为u . HYPE

29、RLINK l bookmark122 o Current Document 422利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分 性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值.6极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能 使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题.下面我们给出最值的定义12（ P80）定义2设函数f在区域D上连续，如果存在 D中的点F0, P使得f（Po） M , f （P1） m, 且对于任意的点 P

30、D都有m f （P） M ,则称M为f在D上的最大值，m为f在D上的最小值，Po称为最大值点，P称为最小值点.最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值极值与最值的区别和联系：1 ）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质；2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个；3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值；4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，

31、而最小值一定不大于最大值所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点；第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值；第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值例 127（ P176） 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品， 两个市场的需求价格分别是 P118 2Q1 ，P212Q2 （单位：万元吨），Q1，Q2分别表示该产品