矩阵的初等变换与线性方程组课件

1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1、矩阵的初等变换与初等矩阵2、矩阵的秩3、线性方程组的解的判定初等行变换：(1)交换矩阵的两行，ri rj(2)以数k0乘矩阵的某一行，rik(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上，ri + krj初等列变换：(1)交换矩阵的两列,ci cj(2)以数k0乘矩阵的某一列,cik(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上,ci + kcj初等变换:初等行变换与初等列变换的统称1.1 矩阵的初等变换矩阵的等价 矩阵A经过初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为AB。注意与行列式中相关变换相区别 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2

2、1 3 1-9 3 7 1 5-1-1 3 8-1 1r2r4r12-9 3 7 8 -1 11 -2 1 32 10 -2 -2r1+r4(-2)-9 3 7 8 -1 11 -2 1 30 14 -4 -8 定义：对单位矩阵E作一次初等变换后，得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵一定是方阵行：rik行：ri+krj 初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变换），分别记作P ( i,j )，P (ik)，P (i,jk) 。行：rirj列：cicj列：cik列：cj+kci1.2 初等矩阵例：（1）r1r2：（2）kr3 :（3）r2+kr1 :1.3 初等变换与初等矩阵的关系例： 定理： （1）对

3、Amn进行一次初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘矩阵A；例： 定理： （2）对Amn进行一次初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘矩阵A；（1）任意一个非零矩阵Amn总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形矩阵；（2） 同样地，对这个行阶梯形矩阵再进行初等行变换，可化为行简化阶梯形矩阵。 定理：初等行变换行简化阶梯形矩阵行阶梯形矩阵初等行变换（3） 如果再对行简化阶梯形矩阵进行初等列变换，可化为标准形矩阵。初等列变换标准形矩阵 首非零元: 每个非零行的第一个不为0的元素。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:1）如果存在零行,则零行都在矩阵的最下方；2）首非零元的列标随行标增加而严格增加。强调

4、：行阶梯形矩阵满足：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行简化阶梯形矩阵 满足以下条件的阶梯形矩阵（1）首非零元都为1；（2）首非零元所在列其余的元素全为0，称为行简化阶梯形矩阵。 标准形矩阵左上角为单位矩阵其余位置全为02 3 4 54 6 8 100 0 0 0 2A=2 3 4 50 0 0 0 20 0 0 0 02 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 22 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1例：用初等行变换化为行简化阶梯形r2+(-2)r10.5r2r2r3r1+(-5)r2 结论：任意矩阵Amn总是与一个

5、行阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵等价，也与一个标准形矩阵等价。例：继续将A的行简化阶梯形化为标准形。 定理：任意可逆矩阵A可以通过有限次初等行变换，化为同阶单位矩阵E。例：1.4 用初等变换求逆矩阵 表明，通过有限次的初等行变换，将可逆矩阵A化为E的同时，单位矩阵E则化为A-1 。分析：根据定理（2），对上式现右乘A-1，得则有若A可逆，则一定存在有限个初等矩阵P1,Ps，使得如果A可逆，则求A-1的方法为：初等行变换或初等列变换 对由n阶方阵A和同阶单位矩阵En组成的n2n矩阵(A E),作初等行变换，将A化为En时，En就化为A-1。A= 的逆矩阵。例:求矩阵12-30 1210-512-3

6、0 1210-510 00 1000 1解： 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 0 2 7-2 1r3-2r2 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 2 7-2 1r2+1r3r1-0.5r3 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 1 3.5-1 0.5-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1=( A E )=r30.5(1) AX=B(A B)初等行变换(E A-1B)1.5 用初等变换求解矩阵方程若A可逆，则

7、一定存在有限个初等矩阵P1,Ps，使得则有对上式现右乘B，得转例例:解方程AX=B,其中1 2 3A=2 5B=解:2 2 13 4 33 14 3(A B)=1 2 3 2 52 2 1 3 13 4 3 4 31 2 3 2 50 -2 -5 -1 -90 -2 -6 -2 -121 0 -2 1 -40 -2 -5 -1 -90 0 -1 -1 -31 0 0 3 20 -2 0 4 60 0 -1 -1 -31 0 0 3 20 1 0 -2 -30 0 1 1 3(1) AX=B(A B)初等行变换(E A-1B)(2) XB=C初等列变换B C E CB-12.1 矩阵的秩例： 子

8、式：在矩阵Amn中任取k行与k列，位于这些行与列交叉处的k2个元素按照原来的位置所构成的一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式。r1,r2与c1,c3交叉处构成的二阶子式 注：若A中所有k阶子式都等于0，则A中所有的k+1阶子式（若存在的话）也都等于0。A中不为零的子式的最高阶数r 定义：设矩阵Amn中有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，则r称为矩阵A的秩，记为R(A) or r(A) or rA 。转例 满秩方阵若A为n阶矩阵，R(A)=n，则称A为满秩方阵。 结论：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A为满秩方阵，即R(A)=n。例：求矩阵A的秩，其中解：在A中，

9、二阶子式 A的三阶子式只有一个，且|A|=0则R(A)=2即|A|，解：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，三阶子式 则R(B) = 3例：求矩阵B的秩,则B的四阶子式全为零。返回矩阵在作初等变换后其秩不改变，即 注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目，称为A的秩R(A)。若AB，则R(A)=R(B)。转例矩阵秩的性质：例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式。行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 解：第二步：求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列， 与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行

10、构成的子式因此这就是 A 的一个最高阶非零子式返回常数项列矩阵系数矩阵未知量列矩阵3.1 线性方程组的增广矩阵线性方程组的一般形式为a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中， A= X= 对于线性方程组 增广矩阵称矩阵为线性方程组的增广矩阵，记为 。即，注: 线性方程组与其增广矩阵是一一对应关系练习1、写出线性方程组的增广矩阵。练习2、已知增广矩阵写出线性方程组。例：设 ，求矩阵 A 及矩阵B =

11、(A, b) 的秩解：R(B) = 3，R(A) = 2例：解线性方程组 3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+-解：3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+- 1-2 4 3-1 4 1 5 3-5 14 12+ 4x3 = 3-2x2x1+ x3 = 5+4x2-x1+14x3 =12-5x23x1 3-5 14 12 1-2 4 3-1 4 1 5+4x3 = 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8r1r2r2-3r1r3+1r1r1r2r2-3r1r3+1r1+4x3 =

12、 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8+8x3 = 9 x1x3 = 2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1 0 8 9 0 0 1 2x3 = 2x1 = -7x2 = -11 0 0 -7 0 1 0 -10 0 1 2r2-3r1r3+1r1r1+2r2r3-2r2r2-2r3r1-8r3 用Gauss消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵用初等行变换变为行简化阶梯形的过程。r2-3r1r3+1r1r1+2r2r3-2r2r2-2r3r1-8r3对于线性方程组对应关系如果b = 0为齐次线性方程组。

13、即(常数项全为零)（1）如果b0(常数项不全为零)（2）为非齐次线性方程组。即未知量的个数对于线性方程组AX=b，可根据增广矩阵(Ab)的秩的情况对解进行分情况讨论：3.2 线性方程组AX=b 解的情况（1）若R(Ab)R(A),则AX=b无解；例1（2）若R(Ab)=R(A)=n，则AX=b 有无穷多解。（3）若R(Ab)=R(A)n，则AX=b 有唯一解；例2例3出现矛盾方程解：例1、线性方程组无解返回继续化为行简化阶梯形矩阵解：例2、线性方程组有唯一解,得x1=0，x2=2，x3= -1继续化为行简化阶梯形矩阵解：例3、一般解为 x3，x4为 自由未知量称为线性方程组的通解（or全部解）

14、对于一般解令自由未知量x3=k1，x4=k2，则（k1，k2为任意常数）返回非齐次线性方程组无解否是无穷多个解否是唯一解包含 n-R(A) 个自由变量的通解问例4、无解，有唯一解，以及有无穷多解？为何值时，线性方程组解：关于进行解的情况讨论（1）当线性方程组无解（2）当（3）当且时，时，有唯一解且时，有无穷多解练习:解线性方程组解:2 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -62 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -62 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -61 3 -13 -60 -8 34 180 -13 53 270 -7 29 150 -1 5 3 1 3 -13 -60 -13 53 270 -7 29 150 -1 5 3 1 0 2 30 0 -12 -12 0 0 -6 - 60 -1 5 3 1 0 2 30 0 -12 -12 0 0 -6 - 60 1 -5 -3 1 0 2 30 0 1 1