2019年中考数学三轮复习(培优训练)：二次函数的综合(含解析)

1、2019年中考数学三轮复习（培优训练）：二次函数的综合一.选择题 TOC o 1-5 h z .如果将抛物线 y=x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A.y=x2+1B.y=x2+3C.y = (x- 1) 2+2D.y =(x+1) 2+2.抛物线y=- ( x+1) 2+3的顶点坐标是()A.(1, 3)B.( - 1 , 3)C.( 1, 3)D.(1,- 3).二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象的对称轴是直线 x = 1,其图象的一部分如图所示.下abcv 0C. 3a+c 0a- b+cv 0D.当-1 vx0.已知二次函数 y = x2- 3x+m（m

2、为常数）的图象与 x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的一兀二次方程 x2 - 3x+rn= 0的两实数根是（）A. x= 1 , x2= 1 B. x1= 1 , x2= 3D. x1 1 、 x2 32.如图，抛物线 y = ax +bx+c （a0）过原点O,与x轴另一交点为A顶点为B,若AOB为等边三角形，则b的值为（）A.-&B. - 2/C. .- 3yD. - 4/.已知一次函数 y1= ax- 3a,二次函数 y2 = x2- (a2-2) x- 3.若x0时，W0恒成立，则a的取，值范围是（aw 2 或 a 2 2waw 2 且 aw0a= - 2a=27.如图，二次函数 y

3、=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点 P.若点P的横坐标8.如图，直线y1=-x+k与抛物线 打二皂/（aw0）交于点A （-2, 4）和点B.若y1y2,则x的取值范围是（）A. x - 2B. - 2V x19.如图，抛物线y=ax2- 6ax+5a （a0）与x轴交于A、B两点，顶点为 C点.以C点为圆心，半径为2画圆，点P在OC,连接OP若O用最小值为3,则C点坐标是（）AB . (4, 5)C . (3, 5)D. (3, 4)有下列结论：2b-c=2a=L空也其中，正确结论的个数是(2 c13.如图，在平面直角坐标系中，点PABB积最大时，a的值为为A. 0B. 1C.

4、 2D. 3二.填空题.把函数 y = x2的图象向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到的函数关系式.已知二次函数图象经过原点和点(2, 4),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离是3,则这个二次函数的解析式为P为抛物线y= x2-9x+a的顶点，点A、B在x轴上石，0), B为y轴正半轴上的一个动点，以 AB为边构造4ABC使点C在x轴的正半轴上，且/ BAG= 90。.若 M为BC的中点，则 PM的最小值.如图，若二次函数 y=ax2+bx+c （aw0）图象的对称轴为 x=1,与y轴交于点C,与x 轴交于点 A、点B（ - 1, 0）,则二次函数的最大值为a+b+c3）9a+3b+c0

5、：b24acc=-30D当y0时，-1vxb时，maxa, b = a;当ab时，maxa, b = b.如 maX2 , 3 = 2, max4, 2 = 2,则 maX x2+2x+3, | x|的最小值是.如图，已知 AB= 12, P为线段AB上的一个动点，分别以 AR PB为边在AB的同侧作菱形APC丽菱形PBFE点P、C E在一条直线上，/ DAP= 60 . M N分别是对角线 ACBE的中点.当点P在线段AB上移动时，点 M N之间的距离最短为 .（结果留根A pB.如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于点A（ - 1, 0）,顶点坐标（1, n）,与y轴的交 点在（0,

6、 2）, （0, 3）之间（包含端点），则下列结论： 3a+b 0；2-1 w a ;对于任意实数 m, a+b Ran2+bm总成立；关于x的方程ax2+bx+c= n- 1有两个不相等的实数根.（只填序号）X-1.如图，一段抛物线：y=-x (x-2) (0wxw2),记为G,它与x轴交于点 Q A;将C绕点A旋转180得G,交x轴于点A;将G绕点A旋车1 180得G,交x轴于点儿；, 如此进行下去，直至得G0若P(4037,a)在第2019段抛物线Gig上，则a=.某民房发生火灾.两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户 E发现乙楼F处出现火灾，此时 A, E, F在同一

7、直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线， 在1.2 m高的D处喷出，水流正女?经过 E, F.若点B和点E点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m,再向左后退E恰好把水喷到 F处进行灭火. A T b .12B i -3 Cb I二3E20 *Q三.解答题.已知 m, n分别是关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c= a与ax2+bx+c= b的一个根，且 m=n+1.(1)当m)= 2, a= - 1时，求b与c的值；(2)用只含字母a, n的代数式表示b；(3)当 a0 时，函数 y=ax2+bx+c 满足 b2- 4ac=a, b+O2a,

8、nw-看，求 a 的取值范围.如图，抛物线 y= x2+bx+c与x轴相交于 A( - 1, 0), B (3, 0),于y轴交于C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若M是抛物线的对称轴与直线 BC的交点，N是抛物线的顶点，求 MN的长；(3)若点P是抛物线上点，当 Sa pa尹8时，求点P的坐标.某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是 200件，销售单彳上每降低 1元，就可多售出20件.(1)求出销售量y件)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌童装获得的利润(元)与销售单价x元)之间的函数关系式；(3)若装厂规定该

9、品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (aw0)与x轴交于点A (-2, 0),B (4, 0),与直线y = -x - 3交于点C (0, - 3),直线y=x- 3与x轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式(2)点P是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC PR当 PCD勺面积最大时，求点P的坐标；(3)将抛物线的对称轴向左平移 3个长度单位得到直线l ,点E是直线l上一点，连接OE BE若直线l上存在使sin /BEOft大的点E,请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由

10、.225.已知抛物线 y=ax2+bx+c经过点A (0, 3)和B (4, 3).(1)直接写出a, b之间的数量关系式： ;(2)若抛物线的顶点在 x轴上，求a的值；(3)若M( - 1, 0), N (3, 0),且抛物线与线段 MNR有一个公共点，求 a的取值范围.26.如图，已知抛物线 y=ax2+bx- 3 (aw0)经过点 A (3, 0), B( - 1, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线 BC相切于点 M求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B, C, Q P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不

11、存在，请说明理由.27.已知抛物线 y=x2-4x+2.(1)此抛物线与y轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线;xy(3)结合图象回答:垂直于y轴的直线l与抛物线y = x2 - 4x+2相交于点P (xi, yi), Q(X2, y2),则X1+X2,若点A (5, t)和点B (mj n)都在抛物线y = x2- 4x+2上，且nvt ,则m的取值范围是.28.如图 1,抛物线 11： ： y产 a (x- 2) 2与直线 12： y2= - am(x- 2) +b (a, m, b 为常数，aw 0, m 0)交于A, B两点，直线12交x轴交于点 C.点

12、A的坐标为(m+2, n).(1)若a=- 1, mi= - 3,则A的坐标为, b =，点B的坐标为;(2)已知点M (0, -4), N (3, -4),抛物线1i与线段MNW两个公共点，求 a的取值 范围；(3)如图1,求证：A氏3AC;如图2,设抛物线顶点为 F,直线l 2交抛物线的对称轴于点 D,直线l 3： y3= 2am(x- 2) +d (d为常数，dw0)经过点A,并交抛物线的对称轴于点 E,若/ BFA p/AED(p为常 数)，则p的值是否发生变化？若不变，请求出 p的值；若变化，请说明理由.参考答案选择题.解：抛物线y=x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式

13、是y= (x+1)，2.故选：D.解：抛物线 y=- (x+1) 2+3的顶点坐标是(-1, 3).故选：B.解：A、开口向下，a0, 2ab0,;抛物线与y轴交于正半轴，c0,abc 0,故不选项不符合题意；B ,一对称轴为直线 x= 1,抛物线与x轴的一个,交点横坐标在2与3之间，另一个交点的横坐标在 0与-1之间；当x=- 1时，y=a- b+c0,故不选项不符合题意；C ;对称轴x= 1, 2a2a+b= 0,b= - 2a,;当 x= - 1 时，y = a _ b+c 0, .a- (- 2a) +c=3a+c0,故不选项不符合题意；D如图，当-1vx0)过原点O,c= 0,AO。

14、/等边三角形,，/=tan60 x (一上),4a2ab= - 2正；故选：B.解：yi = ax_3a = a (x-3),，yi经过点(3, 0),y2=x2 (a2 2) x- 3,经过点(0, -3),x0 时,yiy2 A0 恒成立,. .a0,且(3, 0)是两函数的交点， .-0=32- (a2 - 2) x 3- 3,.-.a= 2,a= 2；7.解：由二次函数的图象可知,故选：D.a 0, b 0,a+bv 0,当 x= - 1 时，y=a b 1 ；故选：C.解：= y=ax26ax+5a (a0)与 x 轴交于 A B两点,A (1, 0)、B (5, 0),y= ax2

15、 - 6ax+5a= a (x-3) 2- 4a,顶点 C (3, - 4a),当点Q P、C三点共线时，OP取最小值为3,.OC= OF+2=5,7+16 a2=5(a0)， a= 1,C (3, - 4),故选：D.解：据图象可知 a0, c0,0, Sapab=x2x ( -a2+a) = -a2+a= (a8) 2+4, HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 2161616，a = 8时， PAB0积最大.故答案，为8.14.解：当 B在原点时，OA= 2在，BC= 10,点 M2 (5, 0);当 C在原点是，B (0, 5), M (0

16、, ),点M在经过(5, 0)和(0,石)的直线上，设直线解析式为y=kx+b,.当 PML MM 时，PIW小, . PMMh 川0凶15.解：当x=i时，y=a+b+c最大，故正确; B ( - 1, 0),对称轴为x= 1, (3, 0)，当x=3时，y=9a+3b+c=0,故错误；,二次函数与x轴有两个不同交点，b2- 4ac0,即b24ac,故错误;x= J-= 1,即 b = - 2a,2a而 x=-1 时，y=0,即 a b+c= 0,a+2a+c= 0, .c= - 3a,故正确；对称轴为 x=1, B(-1, 0),，A (3, 0),由图象可得，y0时，-lvx| x| 时

17、，当 x0 时，x2+2x+3x,即：x2+x+30,0 x!, 2maX - x2+2x+3, | x| = - x2+2x+3,.y = - x2+2x+3= - (x-1) 2+4,在 0W xw 1f的最小值是 1史L ； 22当 x - x, IP - x2+3x+30,3Wxv0; 2maX - x2+2x+3, | x| = - x2+2x+3, TOC o 1-5 h z y = - x2+2x+3= - (x-1) 2+4,在 721 wx0 的最小值是“五 ； 22x2+2x+3v|x| 时，当 x0 时，x2+2x+3vx,即：x2+x+3v0,.1+V13 x;2. m

18、aX - x2+2x+3, | x| =|x|,. y = x,在x上匕国的最小值是 逅士1； 22当 x0 时，-x2+2x+3 - x,即x2+3x+3v0,x2 2. . maX - x+2x+3, | x| =|x|,. y= - x,在xv “-21无最小值; 2maX - x2+2x+3, | x|的最小值是 立丞里；2故答案为历7； 2.解：连接MR NR.菱形APC丽菱形PBFE / DA母60 ,.Ma _AR N鼻 BP 22. Ml N分别是对角线 AC BE的中点，/ MPG 60 , / EPN= 30 ,MPL NP.MN= mP+nP,即 mN=(工 AR) 2+

19、 (2 BB 2 =工AP+ (12-AP) 2=L(AP 12AR72)=L(AP 6) 224222+18,当AP= 6时，MNf最小值3近,点M N之间的距离最短为 3%月；故答案为3“匹；A PB18.解：二抛物线开口向下，a 0,而抛物线的对称轴为直线 x=-1,即b= - 2a,2a3a+b= 3a - 2a=a0,所以错误；. 2wcw 3,而 c= - 3a,.2 - 3a3,2.1a am2+bm+c,即a+b am2+bm所以正确；.抛物线的顶点坐标(1, n),，抛物线y= ax2+bx+c与直线y= n-1有两个交点，关于x的方程ax2+bx+c= n-1有两个不相等的

20、实数根，所以正确.故答案为：.解：令 y = 0,贝-x (x - 2) = 0,解得 xi=0, x2=2,Ai (2, 0),由图可知，抛物线 G018在x轴下方，相当于抛物线C1向右平移4X 1009= 4036个单位得到C2018,再将Goi8绕点A2018旋转180得 C2019,抛物线 G019解析式为 y= - (x- 4036) (x- 4038),P (4037, a)在第 2019 段抛物线 C2019上，.a=- ( 4037- 4036) (5037 - 4038) = - 1.故答案为：-1.解：由图可知：A (0, 21.2), B (0, 9.2), C (0,

21、6.2), D ( 0, 1.2),点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同， E (20, 9.2 ),设AE的直线解析式为 y = kx+b,9. 2=20k+b5 , b=21.23 .y= - -x+21.2 ,5A, E, F在同一直线上.F (25, 6.2 ),设过 D E, F三点的抛物线为 y=ax2+bx+c, &L 2.一?, 2=400ai20b：+c,6. 2= 625a+25b+c5水流抛物线向上平移D (0, 6.2 ),设平移后的抛物线为，m=5 或 m= - 255m,设向左退了 m米，y= - (x+ni)2+ (x+n) +1.2+5,经过点 F,255(

22、舍),，向后退了 5米.故答案为5.三.解答题(共8小题)21.解：(1) m= 2,且 m= n+1,. n = 1,: a = - 1,且 用n分别是关于x的一元二次方程 ax2+bx+c= a与ax2+bx+c= b的一个根, f-4+2b+c=-l , ，-l+b+c=b解得：b= 1, c= 1 ；nr| n分别是关于x的一元二次方程 ax+bxK= a与ax+bx+c= b的一个根，am+bm-c= a, an2+bn+c= b,两式相减得： a (m - n2) +b (rrr n) = a- b,- m= n+1,b= - na;(3)将 b= - an代入 ax2+bx+c=

23、b 得，2ax - anx+c= b,.22,.an - an +c= b,b= c= - na,/ b+c2a,c a,- naa,当 a00 时，n - 1;b2- 4ac= n2a2+4na2= a, = ( n+2) 2-4,a. _ 4aA paB=彳 * 4 X | y| = 8 ,|y| =4,. y = + 4.2当 y = 4 时，x 2x-3=4,x1=1+2点，x2= 1 - 2/s,2当 y= - 4 时，x 2x 3= - 4,x=1,，当P点的坐标分别为(1+2“旄，4)、(1-2近，4)、(1, - 4)时，Sa pa尹8.解：(1)根据题意得，y=200+ (6

24、0-x) X 20= - 20 x+1400,，销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y= - 20X+1400 (40WXW60)(2)设该品牌童装获得的利润为W(元)根据题意得，WW(X-40) y=(x-40) (- 20X+1400) 2=-20X2+2200X- 56000,，销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价X元之间的函数关系式为：W=-20X2+2200X- 56000;(3)根据题意得56WXW60,W - 20X2+2200X- 56000=-20(X - 55) 2+4500a= - 20 0,，抛物线开口向下，当 56WXW60时，W遁X的增大而减小,当 x=56

25、 时，W府最大值，Wl - 20 (56- 55) 2+4500=4480 (元),商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.24.解：(1)用交点式函数表达式得：y= a (x+2) (x-4) = a (x2-2x-8),即-8a= - 3,解得：a=则函数的表达式为：y = Zx2-gx-3;84(2) y= x 3,令 y = 0,则 x = 2,即点 D (2, 0),连接OP设点P (x, x 2 力-3),84Sa pcD= Sapd(+ SapccT Sa ocd= 77x2 (- -x2+-7X+3) +=X3XX-*X2M3= -9 (x-3) 2+”, 2842288

26、3-0，Sapcd有最大值，此时点P (3,-至)；8(3)如图，经过点 Q B的圆F与直线l相切于点E,此时，sin / BEOft大,过圆心 F 作 HFLx 轴于点 H,则 OH OB= 2=OA OF= EF= 4, 2.HF= 2贬,过点E的坐标为(2, -2班)；同样当点E在x轴的上方时，其坐标为(- 2, 2灰)；故点E的坐标为(-2, 2/)或(-2, - 2立).解：(1)将 A (0,3)和 B (4,3)代入y =ax2+bx+c中得：rc=3116a+4b+c=34a+b= 0,故答案为：4a+b= 0 ；.抛物线 y= ax2+bx+c 经过点 A (0, 3)和 B

27、 (4, 3),，对称轴为直线x=2,. x = 2 时，y= 4a+2b+c = b+3,顶点坐标为(2, b+3),.抛物线的顶点在 x轴上，-b+3=0,b= - 3,32y= ax 4ax+3,当抛物线恰好经过点 M时，将M(-1, 0)代入得：a+4a+3=0,解得a= - W,5当抛物线恰好经过点 N时，将N (3, 0)代入得：9a-12a+3 = 0,解得a= 1,，抛物线与线段 MNR有一个公共点时，a的取值范围是-Wwawi.5.解：(1) .抛物线 y=ax2+bx-3 (aw0)经过点 A (3, 0), B (- 1, 0).a=lb=-2?，9a+3b_3=0 屈”

28、曰,解得：a-b-3=0该抛物线解析式为y = x2-2x-3;(2)若以点A为圆心的圆与直线 BC相切于点 M则AML BC,如图，过点 A作AML BC,垂足为点M交y轴与点N.2把 x = 0 代入 y = x 2x3 得，y= - 3,- A (3, 0), B( 1, 0),OA= OC OB= 1,.AML BC./AMB= /AON= Z BOC= 90 ,/ BAM/ OB / BAIMZONA= 90 ,./ ONA= / OBC. AO阵 COB(AAS,. ON= OB= 1,N (0, 1),设直线AM军析式为y=k1x+b1,3k+bi=0把A (3, 0), N (

29、0, - 1)分别代入得b=T(1 k i =v 解得：，1 3 ,L 1，直线AM军析式为y= x- 1 ,(l), 3设直线BC解析式为y= kzX+A, 同理可得：直线 BC解析式为y = - 3x - 3， _ 3 五一二 联立并解得：.，6则 M ( 一 ,)；55当BC为平行四边形的一条边时，如图 BCP Q,点C (0, - 3)向上3个单位、向左1个单位得到点B ( - 1, 0),同理点Q (mi 0)向上3个单位、向左1个单位彳#到点 P ( mr 1,3),将点P坐标代入二次函数表达式并解得：x=2 7?,故点P坐标为(1+F?, 3)或(1-3);当BC为平行四边形的对

30、角线时，如图 CPBQ点P的坐标为(2, - 3);P的坐标为(1+JL 3)或(1 -/，3)或(2,27.解：(1)对于抛物线 y = x2 4x+2令x = 0得至U y=2,，与y轴交点的坐标为(0,2);. y = x2-4x+2= (x-2) 2- 2,顶点坐标(2, -2),故答案为：(0, 2), (2, - 2);(2)利用描点法画出图象如图所示:(3)结合图象：垂直于y轴的直线l与抛物线y = x2 - 4x+2相交于点P (x1, y1), Q (x2, y2K则x1+x2 =4;若点A (5, t)和点B (mj n)都在抛物线y = x2- 4x+2上，且nvt ,则m的取值范围 是-1Vm 5;故答案为4； - 1vm 5.28.解：(1)由题意，a=- 1,rm= -3,代入 y1，y2 得y1= 一 (x 2)2,y?= - 3(x2)+b,点 A (m+2, n).A ( - 1, n)代入 y得 n= - (- 1-2) 2,解得 n= - 9贝U A ( T , - 9)将点 A代入 y2得，-9= - 3 (