2015年考研数学一真题及答案详解路的加油站

1、2015 年入学数学（一）试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.f (x) 在, 内连续，其中二阶导数f (x) 的图形(1)设函数，则曲线y f (x) 的拐点的个数为 ()0(B)1(C)2(D)3(A)】（C）】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，【并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由 f (x) 的图形，曲线 y f (x) 存在两个拐点.故选（C）.(2)设 y 1 e2 x (x 1)ex 是二阶常系数非线性微分方程 y ay by ce x 的

2、一23个特解，则()(A) a 3, b 2, c 1(B) a 3, b 2, c 1(C) a 3, b 2, c 1(D) a 3, b 2, c 1【】（A）【分析】此题考查二阶常系数非线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.11e 为二阶常系数微分方程 y ay by 0 的解，】由题意可知， e22 xx【、3所以 2,1 为特征方程 r 2 ar b 0 的根，从而 a (1 2) 3 ，b 1 2 2 ，从而原方程变为 y

3、3 y 2 y cex ，再将特解 y xex 代入得c 1 .故选（A）(3) 若级数 a条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数 na (x 1)n 的 ()nnn1n1收敛点，收敛点收敛点，发散点发散点，收敛点发散点，发散点【】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【】因为 a 条件收敛，即 x 2 为幂级数 a (x 1)n 的条件收敛点，所以nnn1n1 a (x 1)n 的收敛半径为 1，收敛区间为(0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nn1 na (x 1)n 的收敛区间还是(0, 2) .因而 x 3 与 x 3 依次为幂级数na (x

4、 1)n 的nnn1n1收敛点，发散点.故选（B）.(4)设 D 是第一象限由曲线2 xy 1， 4 xy 1与直线 y x ， y 3x 围成的平面f x, y 在 D 上连续，则 f x, y dxdy D()区域，函数1sin 2r cos ,r sin rdr(A)3 df 1 42 sin 21f r cos , r sin rdr(B) 3 dsin 2 142sin 21sin 2f r cos , r sin dr(C)3 d 1 42 sin 21f r cos , r sin dr(D)3 dsin 2 12sin 24y【】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的

5、累次积分【】先画出 D 的图形，1sin 2f (r cos , r sin )rdr ，所以f (x, y)dxdy d3142sin 2Do故选（B）x1 11241 a ， b d，若集合 1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有(5) 设矩阵 A 112a2d()无穷多解的充分必要条件为(A) a , d (B) a , d (C) a , d (D) a , d 【】(D)11241a a21d 11101a 1(a 1)(a 2)1】( A,b) 1 0d 1【1 0(d 1)(d 2) 2d ，由 r( A) r( A, b) 3 ，故 a 1或 a 2 ，同时 d 1或 d 2

6、.故选（D）在正交变换为 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中(6)设二次型 f3123P e1, e2 , e3 ，若Q e1, e3, e2 3 在正交变换 x Qy 下的标准形为，则 f()2 y2 y2 y2(A)123(B) 2 y2 y2 y2123(C) 2 y2 y2 y2123(D) 2 y2 y2 y2123【】(A)f xT Ax yT (PT AP) y 2 y2 y2 y2 .】由 x Py ，故【123 20100 且 PT AP 00 . 01 100由已知: Q P 001 PC 001 201 00故有QT AQ CT (PT AP)C 00

7、01 f xT Ax yT (QT AQ) y 2 y2 y2 y2 .选（A）所以123(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则()P AB P A P BP AB P A P B(A)(B)P A P B 2P A P B 2P AB P AB (C)(D)【】(C)】由于 AB A, AB B ，按概率的基本性质，有 P( AB) P( A) 且【P( A) P(B)P( AB) P(B) ，从而 P( AB) P( A) P(B) ，选(C) .2 3 ，则 E X X Y 2 量 X ,Y 不相关，且 EX 2, EY 1, DX(8)设随()(A) 3(C) 5(B) 3(D)

8、5【】(D)】 E X ( X Y 2) E( X 2 XY 2 X ) E( X 2) E( XY ) 2E( X )【 D( X ) E 2 ( X ) E( X ) E(Y ) 2E( X ) 3 22 2 1 2 2 5 ，选(D) .二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将写在答题纸指定位置上.lim ln cos x .(9)x2x012【】 0法则，也可以用等价无穷小替换.【分析】此题考查 型未定式极限，可直接用0sin xln(cos1 . 2【】方法一： lim2ln(cos1 . 2方法二： lim2sin(10)(.221 co24【】【分析】此题考

9、查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 2sin xdx 2 2 xdx .x2【】 1 cos x2 40(11)若函数 z z(x, y) 由方程ex xyz x cos x 2 确定，则dz【】 dx【分析】此题考查隐函数求导.(0,1) .【】令 F (x, y, z) ez xyz x cos x 2 ，则F(x, y, z) yz 1sin x, F xz, F(x, y, z) ez xyxyz又当 x 0, y 1 时ez 1 ，即 z 0 .Fy(0,1, 0)Fx(0,1, 0)z所以xz 1,F (0,1, 0)y 0 ，因而 dz F (0,1, 0)(

10、0,1) dx.(0,1)(0,1)zz(12)设 是由平面 x y z 1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(x 2 y 3z)dxdydz .14【】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【】由轮换对称性，得1(x 2 y 3z)dxdydz 6zdxdydz 6zdzdxdy ，0Dz其中 D 为平面 z z 截空间区域 所得的截面，其面积为 1 (1 z)2 .所以z21111(x 2 y 3z)dxdydz 6zdxdydz 6z (1 z) dz 3 (z 2z z)dz .23224002100020000212222 .(13) n

11、 阶行列式】 2n1 2【】按第一行展开得21020022D 2D (1)n12(1)n1 2D 2n 1n 1n00002122 2(2D 2) 2 22 D 22 2 2n 2n1 2 2 2n1n2n2(14)设二维随量(x, y) 服从正态分布N (1,0;1,1,0)，则PXY Y 0 .12【】由题设知， X N (1,1),Y N (0,1) ，而且 X、Y 相互独立，从而【PXY Y 0 P( X 1)Y 0 PX 1 0,Y 0 PX 1 0,Y 0 PX 1PY 0 PX 1PY 0 1 1 1 1 1 .22222三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题

12、纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x 与f x x a ln(1 x) bx sin x ，g(x) kx3 ，若f(15)(本题满分 10 分) 设函数g x 在 x 0 是等价无穷小，求 a, b, k 的值.【】 a 1, b , k .1123x a ln 1 x bx sin x kx31【】法一：原式limx0 3 2 3o xx a x36 1 limkx3x01 a x b ab64 o x3 2 lim 1kx3x0aa即1 a 0, b 0, 123k a 1, b 1 , k 123x a ln 1 x bx sin x kx3a1法二： limx0

13、1 lim 1 13kx2x0因为分子的极限为 0，则 a 1 1 2b cos x bx sin x1 x212 lim 1，分子的极限为 0， b 6kxx02 6k13 lim1， k x0 a 1, b 1 , k 123f x 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，由(16)(本题满分 10 分) 设函数线 y=f x 在点x0, f x0 处的切线与直线 x x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且f 0 2 ，求 f x 的表达式.8】 f(x) .【4 x】设 f x 在点 x0 , f x0 处的切线方程为： y f x0 f 0 ,【令 y 0 ，得到0

14、 ，0f x0 11f 4 ，即f x0 2 4 ，可以转化为一阶微分方故由题意，2f x0程，y211即 y ，可分离变量得到通解为： x C ，8y8已知 y 0 2 ，得到C 1 ，因此 1 1 x 1 ；2y828 即 f x .x 4(17)(本题满分 10 分) x , y x , y x y xy ，曲线 C： x 2 xy 已知函数 fy 23 ，求 f在曲线 C 上的最大方向导数.】3【f x, y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.【】因为fx x, y 1 y, f y x, y 1 x ，故 gradf x, y 1 y,1 x，模为 1 y 2 1 x

15、2，此题目转化为对函数 g x, y 1 y 2 1 x2的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对 d (x, y) 1 y 2 1 x2 在约束条件C : x2 y2 xy 3 下的最大值.构造函数： F x, y, 1 y2 1 x2 x2 y2 xy 3在约束条件C : x2 y2 xy 3 下Fx 2 1 x 2x y 01,1, M 1, 1, M 2, 1, M 1, 2 .F 2 1 y 2 y x 0 ，得到 My1234F x y xy 3 022 d M1 8, d M2 0, d M3 9, d M4 9所以最大值为 9 3 .(18)(本题满分 10 分)

16、设函数u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)设函数u1 (x), u2 (x), , un (x) 可导， f(x) u1(x)u2(x) un(x)，写出f(x )的求导公式.】（I） u(x)v(x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)【hh0 lim u(x h)v(x h) u(x h)v(x) u(x h)v(x) u(x)v(x)hh0 lim u(x h) v(x h) v(x) lim u(x h) u(x) v(x)hhh0h0 u(x)v(x) u(x)v(x)（II）由题意得f (x) u1(x)u

17、2 (x)un (x) u (x)u (x)u (x) u (x)u (x)u (x) u (x)u (x)u (x)12n12n12n(19)(本题满分 10 分)z 2 x2 y 2 ,起点为 A0, 2, 0 ，终点为 B 0, 2, 0 ，已知曲线 L 的方程为 z x,计算曲线积分 I y z dx z x y dy (x y )dz .2222L2】2【x cos】由题意假设参数方程 y 2 sin ， : 2 2【z cos 2 ( 2 sin cos ) sin 2 sin cos (1 sin ) sin d 22 2 2 sin sin cos (1 sin ) sin d

18、2222 2 2sin d 2220(20) (本题满 11 分)= +k +1 设向量组 1 , 2 , 3 内R3 的一个基， =2 +2k ， =2 ， .11322313（I）证明向量组 1 2 3 为R 的一个基;3 , , 3 与基 1 2 3 下的坐标相同，并（II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 在基12求所有的 .【】(I)证明：【1 , 2 , 3 21 +2k3 , 22 ,1 + k 1 3 20201 ,00123 2kk 101200k 1202k22k1k 1 2 4 0故 , , 为R3 的一个基.123（II）由题意知， k1 1 k 2 2 k 3 3

19、k1 1 k 2 2ki 0,i 1, 2,3 k 3 3 , 0即 k1 1 1 k2 2 2 k3 3 3 0, + 01 2+22+11 +2k3 k2 2 k3 1 +k3 0 有非零解即 1+2k3,2,1+k3 0102k01010k 0 ，得 k=0即k11 k22 k31 0 k2 0, k1 k3 0 k11 k13 ,k1 0(21) (本题满分 11 分)32b302 10 设矩阵 A 133 相似于矩阵 B = 00 .a 01 21(I)求 a, b 的值；（II）求可逆矩阵 P ，使 P 1 AP 为对角矩阵.【】(I) A B tr( A) tr(B) 3 a 1

20、 b 1232b30100001 133 AB21aa b 1 a 42a b 3b 530 13 0 1202(II) A E C3 01 13 20 13 1222C 13 1 13 23 1 1C 的特征值1 2 0,3 4 0 时(0E C)x 0 的基础解系为 (2,1, 0)T ; (3, 0,1)T12 5时(4E C)x 0 的基础解系为3 (1, 1,1)TA 的特征值A 1 C :1,1, 531 2令 P ( , , ) 101 ，123 01 1 1 P1 AP 152x ln 2, x 0,f x (22) (本题满分 11 分) 设随量 X 的概率密度为0,x 0.对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布;(II)求 EY1】(I) 记 p 为观测值大于 3 的概率，则 p P( X 3) 2ln 2dx ，x【83从而 PY n C1 p(1 p)n2 p (n 1)(1)2 ( 7 )n2 ， n 2, 3,n188为Y 的概率分布；(II) 法一:分解法:量Y 分解成Y =M N 两个过程,其中 M 表示从1到 n(n k ) 次试验观测值大将随于3 首次发生， N 表示从 n 1次到第