高中物理奥赛之力学-5.1简谐振动

1、高中物理精品教案学案 第五讲 机械振动和机械波 5. 1简谐振动5. 1. 1、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力F回与它偏离平衡位置的位移x大小成正比，方fe向相反。即满足：F回Kx的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根F回 Ka 据牛顿第二是律，物体的加速度 mm，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为图 5-1-1m的物体，物体平衡时的位置记作 0点。现把物体拉离0点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。当物体运动到离0点距离为x处时，有F 回 F mg k(xo x

2、) mg式中x0为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有kx。 mg，因此F回 kx说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置0,而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置图 5-1-2的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧 伸长的长度。5. 1. 2、简谐振动的方程由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动， 以平衡位置0为圆 心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图 5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度 作

3、匀速圆周运动，它在开始时与 0的连线跟x轴夹角为那么 在时刻t，参考圆上的质点与 0的连线跟x的夹角就成为t 0，它在x轴上的投影点的坐标x Acos（ t o）（2）这就是简谐振动方程，式中 0是t=0时的相位，称为初相：t0是t时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为 A ，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴 上的投影是(3)v A cos（ t o）这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为A 2，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是(4)a A 2 cos( t这也就是简谐振动的加速度由公式（2）、（4）可得a 2x由牛顿第二定律简谐振动的加速度为因此有(5)简谐振动的周期T也就是参考

4、圆上质点的运动周期，所以25. 1. 3、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之-物体运动中所受回复力应满足物体的运动加速度满足物体的运动方程可以表示为事实上，上述的三条并不是互相独立的者，其运动即为简谐运动：F kx ；2aX ；X Acos( to)o其中条件是基本的，由它可以导出另外两个条件和 5.2弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论5. 2. 1、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹k簧振子的运动是简谐振动，振动周期恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的图 5-2-1弹簧

5、振子，如果m和k都相同(如图5-2-1 )，则它们的振动 周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长lo，振子的质量为m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长I =0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降ts，然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长I随时间t变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不图 5-2-2会改变振子的振动周期，振动周期T 2 /2 /. km因为k mg/ 1，所以 T 2 .

6、 g 0.2 (s)因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为n t/T /0.25（次）当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力 mg/2，在此力和重力mg的 共同作用下，振子的平衡位置在1mg / k I / 2的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在3mg/k 3 I /2的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内 振子的振幅都是I/2o弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2所示，读者可以 思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么lt图线将是怎样的？弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为k1、

7、k2kn的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在 F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为 Xi，那么总伸长各弹簧受的拉力也是F，所以有XiF /kiFnli 1 ki根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数F /x1/k即得n丄i 1 ki如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长x，需要的外力nnF Kx x kji 1i 1根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数kii 1m图 5-2-3导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地 应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：

8、串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。k1k2当m向下偏离平衡位置 x时，弹簧组伸长了 2 x，增加的弹力为2 xkm受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）ki k22 x kik?4kik2xki k：所以m的振动周期T再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧i由平衡状态伸长1i时，弹簧2由平衡位置伸长了 l2，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）ki ? lia由于弹簧2的伸长,ki a k2 bli使弹簧1悬点下降l2fk1 a2 k2 b2li因此物体m总的由平衡位置下降了图 5-2-4x1l1 xk1k2b21 1

9、2此时m所受的合外力F k1 11k1k2b2k1a2 k2b2Xi所以系统的振动周期t 2m(kia2 kzb2):kik2b2（3）没有固定悬点的弹簧振子质量分别为mA和mB的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图 5-2-5）。现在 让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置Xa和Xb,因为系统受的合力始终是零，所以应该有mAXA mXBA、B两物体受的力的大小Fa Fb (Xa XB)k图 5-2-5由、两式可解得mA mBFa k a-XamBF- k

10、3BX-m-由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是mAm-T 2k(mA m-)此问题也可用另一种观点来解释:是不动的，所以可以将弹簧看成两段。m-l o一段原长为mA m-，劲度系数为图 5-2-6lomA m- k山人m-，劲度系数为m-，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？5. 2. 2、单摆一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的0点，小球摆动至与竖直方向夹 角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力 为F回 mg

11、sinx sin - 当5o时， OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置 A,且I ,所以mgkkx （式中mg）说明单摆在摆角小于5o时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为在一些异型单摆中，I和g的含意以及值会发生变化（1）等效重力加速度g单摆的等效重力加速度g等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力 与摆球质量的比值。再如图5-2-7所示，在倾角为的光滑斜图 5-2-8面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为mgsin ，因此单摆的等效重力加速度为g =gsin ，周期为T又如一节车厢中悬挂一个摆长为I的单摆，车厢以加速度a在水平地面上运动（如图5-2-8）。由于

12、小球m相对车厢受到一个惯性力f ma，所以它可以“平衡”在OA位置，7，此单摆可以在车厢中以OA为中心做简谐振动。当:2 2小球相对静止在平衡位置A处时，绳中张力为 m a g，等效重力加速度 2 2g a g，单摆的周期单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距图 5-2-9离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是I，而是Isin ，周期T 2再如图5-2-10所示，摆球m固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架ABC的顶角C 上, 三角支架可围绕固定的AB边自由转动，AB边与 竖直方向成a角。图 5-2-10当m作小角度摆动时，实际上是围绕AB的中 点D运动，

13、故等效摆长图 5-2-11Lcos30正因为m绕D点摆动，当它静止在平衡位置时，指向 D点的弹力为 吨引na ,等效重力加速度为gsina，因此此异型摆的周期T22g sin a(3)悬点不固定的单摆如图5-2-11, 一质量为M的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆 长为I，摆球的质量为m的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运 动，悬点不固定。由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆， 故取车厢为非惯性系，摆球受 到重力mg，摆线拉力N和惯性力maM的作用，如图分析摆球回复力N=mgcosF mgsinmaM sinmaM cos(忽略摆球向心力)分析车厢:NsinMaM因为很小

14、,所以可认为sincos1，sin20则由、式可得aMmMg把它代入mg(1摆球偏离平衡位置的位移F mg(M m) 所以M %因此摆球作简谐振动，周期I ml(M m)g由周期表达式可知：当M?m时，T 2 g，因为此时M基本不动，一般T情况下，高考必背物理公式质点运动1匀速直线运动:vs vtv表示速度，s表示位移，t表示时间。2变速直线运动:-v-v-v2s vt 其中：s表示位移，v表示平均速度，t表示时间。vt v0-3匀变速直线运 基本公式：a - s vtt-22导出公式：1sv-tat2 2as2 2v-v。sv-v-tv-v-v中 s1v中 t222纸带法s aT2SMSNv

15、中tvS两侧a(MN)T22T4平抛运动:沿V-方向Sxvotvx v-ax-Fx-tx ty沿垂直于V-方向(竖直)-Sy1 .2艸vygtayg -Fymg各量方向-位移：tanSygt1丄tan-速度：tanSx2v-vxv-其余量的求法：位移：S S；速度：v vx2Vyv0 g 2t2 时间:2hg匀速率圆周运动:基本公式：运动快慢线速度:S 其中：s为t时间内通过的弧长。t-转动快慢角速度:为t时间内转过的圆心角。周期：T -向心力：F心 m2vm r4mT2m4ma心向心加速度：a心v2力的表达式1.重力Gmg不考虑地球自转的情况下，重力与万有引力相等mgGMmR22.弹力不明显

16、的形变用动力学方程求解;明显的形变在弹性限度以内,满足胡克定律:3.摩擦力静摩擦力0max最大静摩擦力：fmax sFn其中：s为最大静摩擦因数。滑动摩擦力f Fn其中：为动摩擦因数，Fn为正压力。4.力的合成和分解;2 2合力的大小：F 、F1 F2 2F1F2COS其中： 为F1与F2的夹角;合力的方向:6.核力：组成原子核的核子之间的作用力。7.电场力:库仑力：FkQQ2r强力、短程力电场力：F Eq8安培力：当BI时,F B II其中B均匀,1为有效长度；当B/I时F 0。方向用左手定则判断。9洛仑兹力：FqBv其中B v ；若B/v则F 0 ；方向用左手定则判断。牛顿运动定律、万有引

17、力定律1.牛顿第定律 F外 ma2.牛顿第二定律 FabFba3万有引力定律曲严 G=6.67*10-11牛顿米2/千克2条件：均匀球体或者质点。 r4.星体运动:万有引力提供向心力,所以:=ma r卫星绕行星的环绕速度:,GM其中:M为行星的质量。卫星绕行星的公转周期：-T 2 - gm其中：为轨道半径=R+hMM4 2r33当R r时（近地轨道），GT2V4 d34 d3gt2r3RR333GT2黄金替代：-2g其中：R为地球半径；g为地球表面的重力加速度。R2用近轨道卫星的周期表示行星的密度:双星问题：它们之间的引力提供了他们的圆周运动的向心力,角速度： 12 向心力：F1F?- 到圆心

18、的距离：r 口 am2 TOC o 1-5 h z Arm1m2同步通讯卫星：在赤道正上方36000千米处；角速度、周期与地球的相同;卫星变轨：内小（近心）外大（离心） 。动量、动量守恒定律1.动量：定义式：pmv改变量：pP2P1mv2mv1I2.动量守恒定律：PP2R 0 系统的动量的增量为零;常用具体等式:m1v1m2v2m1v1m2v2条件-系统：F外0或F外F内且时间t0;或者某一方向满足此 规律。P2Pl 第二个物体的动量的增量等于第一个物体的动量的减小量;厶匕曰.冃匕量1.功恒力功：WFScos ；变力功：W总外W卜FsEk2.滑动摩擦力功：Wfl其中:l是路程；且滑动摩擦力功生

19、热fl相对功率：平均功率Pt一 1 2 1 2 动能定理：W外Ekmv2mwF v 瞬时功率pFv cos其中:F为牵引力。其中:5.重力势能：Ep mgh且WGEp机械能守恒定律物体：E2 E1 或 EkEP或者mgh*mv2 mgh212 mvf条件W其它0-系统：E2E1 或 EPA1EKA1 EPB1EKB1 EPA2 EKA2 EPB2 EKB2或 E2E!条件：只是系统内部的动能和势能的转化，不产生其它形式的能。电场中的公式1.库仑定律:FKQ；Q2其中：K是静电力常量K=9.0*10 9牛顿.米2/库仑2r2.电场强度:定义式：E其中：q为试探电荷，对于电场中的某一点有:F q，

20、普遍适用。量度式i:量度式2 :KQ厂 其中：Q为场源电荷，r为该点到场源电荷的距离，只适用于真空r中点电荷形成的电场。U其中：U为两点间的电势差，d为距离，只适用于匀强电场。3.电势差U abWabqA b 电场力做功:W Uq4.电势能q 电场力做功与电势能的关系:W电 Uq5.某带电粒子只在重力和电场力作用下:Ek1 Ep11 Ek2 Ep2 26.静电场中平衡导体：等势体：21 内部场强为零：E内0Q7.电容器：电容定义式：C -Q ；UU平行板电容器电容决定式：C 其中在这里是介电常数；4kd电容器的两极板与其匕断开时，电量不变，且有：4 kQ *E与d无关。8.电荷只在电场力的作用

21、下的加速：W Uq Ek ;当V。0时,末速9电荷只在电场力的作用下的偏转:电场力：FEqUqd加速度：amUqmd穿过I长电场所用时间:偏转速度大小:Uqlmdv0速度偏转方向：tanUqlmdvo偏转位移大小:Uql22mdv：位移偏转方向：tanUql2mdv(2S电容器与电源相连时， 两极板电压不变；它两端的电压等于与它并联的电路的电压， 稳恒直流电路中与它串联的电阻是无用电阻。稳恒电流Q微观描述：I n vsq其中: t是自由移动电荷的定向移动速度，R UII UR1.电流：定义式:2.电阻：定义式:3.部分电路欧姆定律:4.闭合电路欧姆定律:s是导体的横截面积，q导体决定式：R S

22、适用条件：纯电阻电路n为单位体积内自由电荷数,是自由移动电荷的带电量。5.电动势、内电压、路端电压的关系:闭合电路欧姆定律：I R r电动势等于开路时电源两端的电压。路端电压：U随外电阻的增大而增大。6.电功：（普遍适用）WUQ UItPt纯电阻电路中WQ热i2r tu27电功率：（普遍适用）PUI纯电阻电路中PP热i2r8电源输出功率：当 R = r时，输出功率最大且 F出此时效率是4r50%29某电机的输入功率：p UI，热功率：P热I R ,输出功率：P机PP热10.串联电路:电压:U U, U2 U 3电流:I I,丨2电阻：RR,R2 R3其它关系旦PU2P2W1W2R1R211并联

23、电路：电压:U U1 U2U3电流:IIl电阻:R 1R11R21R31其它关系:山I 2P2RR112把电流计Ig、Rg改装成量程为的电流表需并联电阻的阻值是:I g Rg。I Ig13把电流计Ig、Rg改装成量程为U的电压表需串联电阻的阻值是:IgRg。14多用电表工作原理：因为： I所以：Rx r Rg R调零 R x(r Rg1.安培力：当B I时,F B方向用左手定则判断。2磁感应强度：当B I时，B3洛仑兹力：当Bv时，f q当 B/V时，fI其中B均匀,1为有效长度；当B I时,F0。B v ； f不做功，但是可以改变物体的动量。0 方向用左手定则判断。4.带电粒子只在洛仑兹力的作用下做匀速率圆周运动:mv2 m半径：R；周期：T;转过圆心角 所用时间:qBqBqB电磁感应1磁通量： BS改变量:B S或者B S2电磁感应现象的条件:0；改变率：E3法拉第电磁感应定律：平均感应电动势：E n其中 tB ln为线圈匝数；瞬时感应电动势：E Bl v条件：B v l vE感4.电磁感应现象中通过导体的电量：Q I