高考数学一轮复习等差数列、等比数列专题训练

1、等差数列、等比数列、基础知识要记牢等差数列等比数列通项公式an= a + (n 1) dan= a1qn1(qw0)前n项和n a1 + anSi 2- na1 +n n-12dn a1- qd anqqi S =-/=_-1-q1-qq= 1, S = na、经典例题领悟好例1(1)(2013 新课标全国I )设等差数列an的前n项和为S,若 i=-2, S- 0,Sn+1=3,则 m=()A. 3B . 4C. 5 D. 6(2)(2013 北京高考)若等比数列an满足a2+a4=20, a3+a5=40,则公比q =； 前n项和Sn=.解析(1) ;是等差数列，Sn 1=-2, S0,a

2、m= Sm Sm 1=2.Sm+ 1=3,am+ 1 = Sm+ 1 Sm= 3d= am+1 am= 1.又Sm=m a+ amm ad?2-=0, . a1 = 2,am= 2+ (rn 1) , 1 = 2, rn= 5.(2)设等比数列an的首项为a1,公比为q,则:2由 a2+ a4= 20 得 &q(1 + q ) =20,2,2、由 a3+ a5= 40 得 &q (1 + q ) = 40.由解得q=2, a1 = 2.故耳- J- =2n+1-2.1-q1-2答案(1)C(2)22n+1-2方法技巧 关于等差 等比 数列的基本运算，一般通过其通项公式及前 n项和公式构造关于

3、a和d或q的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差等比 数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认识.注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.三、预测押题不能少.已知an是递增的等差数列，a1 = 2, ai=a4+ 8. 求数列an的通项公式；(2)若bn=an+2an,求数列bn的前n项和S.解：(1)设等差数列的公差为 d, d0.由题意得，(2 + d)2=2 + 3d+8, cf + d-6=(d+3)( d-2) =0,得 d=2.故 an = & + (n 1) d= 2+ (n-1) -2= 2n,得 an= 2n

4、.2) bn=an+2an = 2n+22n.S = bi+b2+ bn=(2 +22) + (4 + 24)+ (2n+22n)=(2 +4+6+ 2n) + (2 2+ 24+ 22n)_2+2n n 4 * l-4”21-4=n2+ n +4n+1-4g|等差、等比数列的判定与证明一、基础知识要记亲数列an是等差或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：一 . . . . . . * . 、一一利用定义，证明 an+1 an(ne N)为一常数；利用中项性质，即证明2an= a 1 + an+1( n2).(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明 出

5、(nCNi)为一常数； an利用等比中项，即证明a2= an 1an+1( n2).二、经典例题领悟好例2 设an是公比不为1的等比数列，其前 n项和为S,且a5, a3, a，成等差数列.求数列an的公比； 、 、, * (2)证明：X任意 kCN, 0+2, 0, 0+1成等差数列.解(1)设数列an的公比为q(qw。, qw1),由a5, a3, a4成等差数列，得 2a3=a5+a4,即 2a1q2= ad+ aq3.由dw0, qwo 得 q2+q2= 0,解得 q1 = - 2, q2= 1(舍去)，所以q=-2.(2)证明：法一：对任意 kC N*,0 + 2+ Sk+1- 2&

6、= (Sk+2 &) + ( Sk+1 Sk)=ak+1+ ak+2+ ak+1=2ak+1 + ak+1=0,所以，对任意(-2)kCN*, 8+2, 8, 8+1成等差数列.法二：对任意kC N*2Sk=2a1 l-qka1S + 2+ Sk+ 1 =qk+21 -qk+2k+1-qk+1a1-q+!-1 q=言2(1 -qk)-(2-qk+2-qk+1) kaiq , 2 , c、-=i7rq (q +q-2)=。，因此，对任意kCN, S+2, Sk, &+1成等差数列.方法技巧1判断一个数列是等差等比 数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；2若要判断一个数列不是等差

7、等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可；3 an = an ian+i n2, nC N*是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为 0.三、预测押题不能少2, .,，an + i 一 一 ，.*2.已知数列an满足：ai=1, a=a(aw0), an+2=p (其中p为非零常数，nCN).ana0+1(1)判断数列匿不是等比数列；(2)求 an.2an+1 /口 an+2an+1解：(1)由 an+2= p -,得=P -.anan+1anan + 1V Cn =,贝f C1=a) Cn + 1= pCn.an. aw0,CW0,

8、,= p(非零常数)， Cn，数列anr混等比数列.数列Cn是首项为a,公比为p的等比数歹U,Cn= C1 , pn 1 = a ,an+ 1ann 1=ap当n2时,anan = an 1an-1an - 2n2 3n 2且曰=(apn 2) x ( apn 3) x x ( ap0) x 1= an1p 2 a1n2 -3n：u2a1 满足上式，1- an= an 1p 2, nCN*.|等差、等比数列的性质、基础知识要记牢等差数列等比数列性质*一(1)右 m n, p, qCN,且 m+ n= p+ q,则 am+ an = ap+ aqan= am+ ( n m dSm, S2m- S

9、m &m &m,仍成等差数列* 一一(1)右 m n, p, q C N ,且 m+ n= p+ q,贝U am an=ap , aq-nm(2) an= amqSm, Sam- S，, &m &m,仍成等比数列(SW0)二、经典例题领悟好 TOC o 1-5 h z 例3 (1)(2013 长春市调研)在正项等比数列an中，已知2佝223=4,242526=12,2.12自 + 1= 324,贝U n=()A. 11B. 12C. 14D. 16(2)(2013 辽宁高考)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：P1 ：数列an是递增数列；P2：数列nan是递增数列；P3：数列遢递增数列

10、；P4：数列an+3nd是递增数列. TOC o 1-5 h z 其中的真命题为()A.Pi,P2B .6,P4C.P2,P3D .P1 ,P4解析(1)设数列an的公比为 q,由 a1a2a3= 4 = a；q3与 a4a5a6= 12= a3q12可得 q9= 3,an 1anan+ 1= a3q3n 3= 324,因此 q3n 6= 81 = 34= q36,所以 n= 14.(2)因为d0,所以an+1an,所以p1是真命题.因为n+1n,但是an的符号不知道，所以6是假命题.同理 P3是假命题.由an+1 + 3(n+1)dan3nd=4d0,所以p4是真命题.答案(1)C(2)D方

11、法技巧1解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；2 应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若m n= p+q,则am+ an =一，一 ,na1 + an的综合应用. TOC o 1-5 h z ap + aq 这一性质与求和公式Sn =2三、预测押题不能少(1)设数列an是公差d0,因此 S20= 30 ,S S 22S20 So = 20)S30- S20= 40,则 &0= S30+= 70 + 73T= 150.S20 So20把艇命题角度，体现命盅鬲度，拉分题一分分必抢数列与函数的交汇数列在中学教材中既有相对独立性

12、，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运 算与应用.一、经典例题领悟好例1 (2013 湖南五市十校联合检测 )已知函数f(x)是定义在(0, +8)上的单调函数， 且对任意的正数 x, y者B有f(xy ) =f(x)+f(y),若正数列 an的前n项和为S,且满足 *f(3+2) f(an) = f(3)(门62,则2口为()A. 2n1 B . nC 2n-1D- i3 n 12*解析由题意知 f(8+2) =f(an)+f(3)( nCN),SH-2 = 3an, Si1 + 2=3an1(ns2

13、),两式相减得，2an = 3an-1(n2).又 n = 1 时，S + 2 =3a1 = a1 + 2,-1 3，ai=1, .数列an是首项为1,公比为万的等比数列，an=答案D方法技巧S + 2= 3an,本题考查了抽象函数的一些性质，利用其性质把函数问题转化为数列问题，即 利用关系式判断an为等比数列，问题得以解决.二、预测押题不能少.设数列an满足a-2a2=3,且对任意的n CN*,点列R(n,an)恒满足RR+1,=(1,2),A n V c 中-2) 解析：选A则数列an的前n项和&为()i41.n n3-Pn+1( n+ 1 ,an+ 1),则R1R + 1, = (1 ,

14、an + 1an)= (1,2),即an + 1 an = 2,所以数列an是以2为公差的等差数列.又因为 ai +2a2=3,所以ai = -3,所以S=n%新定义下数列的创新问题探究“隐藏”函数后的数列问题.数列是一类特殊函数，可以利用函数性质定义一些新数列，推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的 一类问题.一、经典例题领悟好例2 (2012 湖北高考)定义在(8, 0) U (0 , +8)上的函数f(x),如果对于任意给定 的等比数列an, f (an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在 ( 8, 0) U (0 , +8

15、)上的如下函数：f(x)=x2;f(x)=2x; f(x)=j_x;f(x) = ln|x|.则其中是 A. C. 学审题“保等比数列函数的 f(x)的序号为()B.D.保等比数列函数指： 定义在(8, 0) U (0 ,+ 8 )上的函数；(2) an)是等比数列,则f (an)仍是等比数列.解析法一：设an)的公比为q.2f ( an) = an,22J=q ，. .f (an)是等比数列.排除 B、D.f ( an) = q、an| ,需Tan+1,q =N| q|, an. .f (an)是等比数列.排除 A.法二：不妨令an=2n.2 一一.因为f (x) =x ,所以 x因为f (

16、x) = 2 , 所以 f (ai) = f (2) = 22, f(as) =f (8) =28,f(an)=4n.显然f(2n)是首项为4f(a2) =f(4) =2 ,4,公比为4的等比数歹4f a224所以 r=Q=4*asfa2所以f(an)不是等比数列.因为f(x)=WX1,所以f(an)= ；12n=( ,2)n.显然f(an)是首项为.2,公比为 2的等比数列.因为 f(x) = ln| x| ,所以 f (an) = In 2显然f(an)是首项为In 2 ,公差为In 2答案C方法技巧本题没有直接指明判断等比数列的有关性质,=nln 2.的等差数列.而是通过新定义将指数函数

17、、数、二次函数与数列有机结合， 解答本题应迅速脱掉“新定义”的外衣,对数函数及备函 认清本题的实质是：已知数列an)为正项等比数列，判断数列a：), 2 an), 小曲)及ln| an|)是否为等比数列问题.二、预测押题不能少2.在本例条件下，其中(1)正比例函数，(2)二次函数，(3)哥函数，(4)指数函数是“保等 比数列函数”的是.解析：(1)若正比例函数f (x) = kx( k*0),则1an+1kan+1 an+1=-=q,故函数 f(x) =ankanankx(kw0)是“保等比数列函数”.(2)若二次函数f (x) = kx2+bx+c(kwo且b,c不全为0),则2 .f an

18、+1k an+1 + ban+1 + cf ank an 2+ba + can 2q2+banq+c2 ,不是常数，故函数 f (x) = kx + bx+ c(k*0且 b, c不全为 0)不是 an + ban+ c“保等比数列函数”.m An 1(3)若备函数 f(x)=x(m0),则=1f= q ,故函数 f(x)=x(m0)f ananAn是“保等比数列函数”.(4)若指数函数 f(x) = m(m0,且 亦1),则f An+1= m12 = ma+ia,不是常数，故函 f anma数f(x)=m(m0,且1)不是“保等比数列函数”.答案：(3)曲隔三则(2013 安徽高考)设&为等

19、差数列an的前n项和，Ss=4a3, ay=-2,则a9=()A. - 6B. - 4C. 2 D. 2解析：选 A 根据等差数列的定义和性质可得，&= 4( a3+a6),又&=48,所以a6= 0.又a7=2,所以 a8=4, a9= 6. TOC o 1-5 h z (2013 新课标I全国)设首项为1,公比为2的等比数列an的前n项和为S,则()3A. Sn= 2an 一 1 B . S = 3an - 2C. Sn=4-3anD. &=32an., 一一 ,Ai anq 一解析：选D由等比数列前n项和公式Sn=-一q,代入数据可得 S=32a.-q(2013 石家庄市质量检测 )已知

20、等差数列an满足a2=3, SSn-3 = 51( n3) , Sn= 100, 则n的值为()A. 8B. 9C. 10D. 11解析：选 C 由 S S1 3= 51 得，an2+ an1+ an= 51，所以 an 1 = 17.又 a2= 3, Sn=-2= 100,解得 n= 10.4.已知函数 y=anx2(anW0, nCN*)的图像在x= 1处的切线斜率为 2an1 + 1(n2, nC N*), 且当n=1时其图像过点(2,8),则a7的值为()A.1B, 72C. 5D. 6*、1 一一解析：选 C 由题知 y =2anx, 1-2an= 2an 1+1( n2, n N)

21、 ,. anan1=3 又 n= 1 时1n其图像过点(2,8)，-1X22=8,得a1 = 2,.an是首项为2,公差为2的等差数列，a,=- +2，彳导 a7= 5.(2013 山东莱芜模拟)已知数列a, bn满足 a1 = b1 = 3, an+1-an=b22 =3, n N,若 Dn数列Cn满足 Cn= ban,则 C2 013 =()A. 9C. 92 0122 013B. 27D. 272 0122 013解析：选D由已知条件知an是首项为3,公差为3的等差数列，数列bn是首项为3,公 比为 3 的等比数列，an = 3n, bn = 3 ,又 cn= ban= 33,C2013

22、 = 3313=27?。丁（2013 福建高考）已知等比数列an的公比为q,记bn=am；n1）+1+amn1） + 2+ amn-1）+m, Cn=amn1） + 1 amn1）+2 Amn 1） +m（m nCNi）,则以下结论一定正确的是（）A.B.C.D.数列bn为等差数列，公差为 数列bn为等比数列，公比为 数列Cn为等比数列，公比为 数列Cn为等比数列，公比为mq2mq2qmmqm= a1qm= a1qn( n-1)n(n 1) +1 aqm(n 1) +m- 1一 a1qn(n-i)+ m(n-i)+ i+ +m(n-i)+m- 1解析：选C等比数列 an的通项公式an=a1qn

23、T, 所以 Cn= am；n1)+1 am(n1) + 2 am；n1) + m;（2）第63行从左至右的第4个数字应是n n+ 2且 a1=1,an=.而，2偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1 954 ,从左至m m2(n 1)+一口 m m2(n 1)+一中= a1q2=aqnm2 .二1 m 2Cn- 4 s =qm, m 1 m ! n 12 -所以数列cn为等比数列，公比为qn2.已知等比数列an的各项均为正数，若a1 = 3,前三项的和为21,则a4+a5+a6=. 解析：由已知a4 + a5+a6=a1q3+a1q4+a1q5=（a1+a1q+a

24、1q2）q3=（a1+a2+a3）.q3,即a4+a5+ a6= 21 q3.由前三项的和为 21,且a1=3解得q=2,故 a4+a5+a6=21q3=21X8= 168.答案：168（2013 银川模拟）已知数列an满足 anan+0+2, an+3= 24,且 a1 = 1, a2= 2, a3 = 3,则 a1 + a2+ a3+ , , + a2 013 =.解析：由 anHn+ Bn +2Hn +3=24）可知 Hn+12n+2Hn+32n + 4=24）得 an+4=an）所以C列 Hn是辰期为 4 的数列，再令 n=1,求得 a4=4,每四个一组可得 （a+a2+a3+a4）+

25、 + （a2 009+22 010 + 22 011 + a2 012） + 82 013 = 10X 503+ 1 = 5 031.答案：5 031（2013 荆州质量检查）如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第 2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10 出现在第4行，依次类推，则（1）按网络运作顺序第n行第1个数字（如第2行第1个数字为2,第3行第1个数字为4,） 解析：设第n行的第1个数字构成数列an,则an+1 an=n,右的第4个数字是从右至左的第60个数字，从而所求数字为1 954 + 59= 2 013.-

26、 2答案：二2一 2 013. (2013 全国新课标n )已知等差数列an的公差不为零，31 = 25,且a, 311, ai3成等比 数列.(1)求an的通项公式；(2)求 31 + 34+ &+ a3n2.2解：(1)设an的公差为d.由题息，a11=a1a13, 2即(ad 10d) =&(a1+ 12d),于是 d(2 a1 + 25d) =0.又a1 = 25,所以d= 0(舍去)，或d=2.故 an= - 2n + 27.(2)令 Sn= a1 + a4+ a7+ + a3n2.由(1)知a3n 2=-6n+31,故a3n2是首项为25,公差为一6的等差数列.从而S = 2(a1

27、 +、n2 ,a3n2) = 2 , ( 6n + 56) = 3n + 28n.已知数列an的前n项和为Sn,且S=4an 3(nCN). 证明：数列an是等比数列；(2)右数列bn满足bn+1= an+ bn( nC N),且b1 = 2,求数列bn的通项公式.解：(1)证明：由Sn=4an 3可知，当 n = 1 时，a1= 4a1 3,解得 a1 = 1.因为 s=4an3,则 Sn 1=4an 1-3(n2),所以当 n2 时，an= S Sn 1 = 4an4an 1 ,4 一整理得 an=an-1,又 a1=1W0,34所以an是首项为1,公比为w的等比数歹3(2)由(1)知 an=4 n-1:、鼻!，由 bn + 1= an+ bn(nC N),3得 bn+1 -bn= J3 Ji可得