高考数学复习多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型

1、2008高考数学复习多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型目的要求：对本章简单几何体知识进行梳理和总结，突出知识间的联系，提高学生综合运用知 识的能力和逻辑思维能力.内容分析：1、这部分主要涉及棱柱、棱锥、多面体和球的知识.其内容大致可分为定义、分类、 性质、面积和体积几个方面.除此之外还有简单多面体的欧拉公式、球面上两点问 的球面距离等重要概念、定理，这些知识牵涉的面很广，但并不十分复杂，有些内 容可用类比法进行复习.然而复习中一定要弄清楚，不可混淆.2、如果说前节课所复习的知识还是一些立体图形的元件的话，那么本课所复习的 内容就是几何体了 .应当说，这节课的空间观念更综合、更形象了.复习中也

2、应该重 视画图、识图(包括图形的综合和分解).只有做到这一点，学生才会把图形在头 脑中“立体化”.复习中这个任务依然应予以重视.3、球的体积和表面积计算公式所涉及的重要数学思想方法是数学教学的重要内容， 但教学目标仅为了解，而且新授不久，因此，在这次复习中不是重点，复习的重点 是各种几何体的基本性质.4、与前节课一样，本课作为复习课，应有针对性，所以重点、难点的确定和内容 的调整应根据学生学习中掌握的情况而定.教学过程：1、内容小结(1)针对简单几何体的知识内容，教师预先拟订提纲，让学生课前按提纲进行复习.提纲可按教科书的学习要求和需要注意的问题中学习要求拟定.(2)课堂复习中，让学生比较棱柱

3、、棱锥、球三种几何体的形状、表面、截面、面积、体积，比较前两种几何体的分类、直观图的画法 .(3)让学生填写下表FVE过顶点的 棱数各面的边 数面的特征正四面体44634正三角形正六面体681234正方形正八面体861243正三角形正十二面 体12203035正五边形正二十面 体20123053正三角形2、应用举例例题1 如图8-3,三棱锥 PABC中， ABC是正三角形，/ PCA=90 , D为PA的中点，二面角 P AC B 为 120 , PC=2 AB=2*3。(1)求证：ACL BQ(2)求BD与底面ABC所成的角(用反正弦表示)；(3)求三棱锥P ABC的体积。解 (1)如图8-

4、4,取AC中点E,连DE BE,则DE/ PC, PCX AC,DEL AG.ABC是正三角形，BEX AG又 DEC 平面 DEB BEC 平面 DEB DEA BE=EAd平面 DEB DB匚平面 DEB 1 ACL DR(2)法一：: AC1平面DEB AC5底面ABC，平面 DEBL底面ABCEB是DB在底面ABC内的射影，/ DBE BD与底面ABC所成的角。又DEL AC, BE! AC,. / DEB即为二面角 P- AC-B 的平面角。 TOC o 1-5 h z ,13在 DEB中， DE=PC=1, BE=AB=3,，由余弦定理，得BD2=12+32 - 2X1X3cos1

5、20 =13, BD=vJ，t3 ,i由正弦定理，得1=13 ,sin DBE sin120一1.39解得sin / DBE=,即BD与底面ABC所成的角为arcsin2626法二： AC!平面 DEB AC1平面 ABC平面 DEBL平面 ABC彳DFL平面 ABC F为垂足，贝U F在BE的延长线上，/ DBF是BD与平面 ABC所成的角。: DEL AC, BE! AC, / DEB是二面角P- AC- B的平面角。在.3BE= AB=3,1 .RtDBF 中，DE=- PC=1,2/DEB=120 , / DEF=60 ,DF=-。2在 DEB中，由余弦定理得BD=vT3 ，/ DF

6、39 3sin / DBF=, 故DB 26BD与底面ABC所成的角为arcsin,3926(3) ,AC1 平面 DEB A.平面 PAC平面DEBL平面PAC .过点 垂足G在DE的延长线上。B作平面PAC的垂线段BG.在 RtBEG中，/ BEG=60 ,BE=3BG=3-32- Vp- abcfV pa= Sa pacX BG=1 x2 2.33.3x =3。2例题2 如图8-5,三棱锥P ABC中，已知PAL BC, PA=BC=,PA BC的公垂线DE丸求三棱锥 PABC的体积。分析：思路一直接求三棱锥P-ABC的体积比较困难。考虑到是棱PA和BC的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱

7、锥 EBC和A EBC利用PAL截面 EBC且 EBC的面积易 求，从而体积可求。DE解 如图8-51,连结BE,CEDE是PABC的公垂线，PA!DE=又PALBC,PA1截面 EBCVf-ebc= 1 Saebc - PE, VA ebc= 1 Saebc AEoDE BC,SaEB(= 1 BC , DE= lh ,VpAB(=VEBc+VaEB(=工 SaEBC . ( PE+AE= PA , SaEBC= - l 2h O注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面EBG而高的和恰为PA,因而计算简便。思路二本题也可用补形法求解。解 如图85 2,将 ABC

8、#成平行四边形 ABCD连结PD则PAX AD,且BC/平面PAD 故C到平面PAD的距离即为BC和平面PAD的距离。. MNL PA,又 MNL BC, BC/ AD, . MNL AD, MNL平面 PAD故 V P AB(=VP- AD(=VC PA= - SA PAD, MN=1 ( - - PA- AD) MN=1 l 2h。3326注本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？例题3 如图817,已知正四棱柱ABCD-ABCD,点E在棱DD上，截面EAC/DB,且面EAC与底面ABC所

9、成角为45 , AB=a。(1)求截面EAC的面积；(2)求异面直线 AB与AC之间的距离；(3)求三棱锥B EAC的体积。(1999年全国高考试题)解 (1)如图818,连结DB交AC于O,连结EQ底面 ABCD正方形，DOLAG 又 EDL底面 AC,EOLAG/EO喇是面EAC与底面AC所成的二面角的平面角，/EOD=45 。又 DO=-a, AC= V2 a, EO=asec45 =a,故 Seac=-?- a2。(2)由题设 ABCD-ABCD是正四棱柱，得 AAL底面 AC AiAAC 又AiALAiB, AiA是异面直线 AB与AC之间的公垂线。d DiB/W EAC 且面 DB

10、D与面EAC交线为EQ.DiB/EO又O是DB的中点，E是DiD的中点,DB=2EO=a。DD=D1B2 - DB2 = 22 a,即异面直线 AE与AC之间的距离为 J2 a。(3)法一：如图 8- 18,连结 DB,DD=DBAB =AC,可知 &VBC是正三角形 考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。分析一：作点P在底面上的射影 O,求PO和三角形ABC的面积；，2把PBC作为底，则PA为高分析二：注意到 PA= 1 AB且/ PAB = 60知PA1PB如图，作底面三角形顶角A的平分线AD,BC于D,过P点作底面同理PB_PC, 分析三：割法、补法 解法一：（用公式法解）的垂线，垂足为

11、Q由分析知射影 O必在AD上，易知AB=2q- S.abc =-3a2过P作PEJAB,垂足为E,连OE,则OE_LAB在 RtiPAE 中,3.PE = a,2/PAE =60，PA =aa -v 3AE = , OE =AE tg300=a HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 26在Rt妒OE中,PO = ；PE2 -OE2- 6=a3ABC是正三角形,1c -2 3PAB中 V p sbc = Sabc PO = a 33解法二：(利用等积转换法解)在4PA =a, AB =2a, . PAB =60. PB2 =a2 (2a)2 -2 a

12、(2a) cos60=3a2.PAB是直角三角形，PA1PB,同理可证PA1PC,又PBPlPC=P ,PA _平面 PBC在.PBC中，PB = PC= 3a, BC=2a , S pBc=.；2a2 VpSBC -VA _PBC2 3S PBC PA = -3- a解法三：（用分割求积法解）由解法二知，PB = PC = T3a, D是BC中点，连结PDBC-LPD, BCJAD , PDAD=DBC,平面PAD- Vp-ABC =Vb_PAD VC -PAD= 2Vb_PAD =S PAD3、2 3BD = a33解法四：（用补形求积法解）延长AP到Q,使PQ=a连结QB QC可得一个棱

13、长为2a的正四面体1V p &BC = _ v q _ABC223石（2a）- 2 3二 a3例题6 过半径为R的球面上一点作两两垂直的弦SB、SGSA(1)求证：SA2 + SB2 + SC2 为定值;（2）求三棱锥S-ABC的体积的最大值。解题：（1）如图2,设SA SB确定的平面截球面为球小圆 QSA1SBAB为小圆直径，连结 SO并延长交小圆于 D,连结SDSC-LSA, SC-LSBSC _L 平面 SAB 又由 SA 平面 SABSC -LSD截面SCM球大圆，即CD过球心OCD 2 = SD2 SC2 = SA2 SB2 SC2而 CD =2R 故 SA2 +SB2 +SC2 =4R2(2)三棱锥