高观点下的部分中学数学问题-林妙红

1、作业标题：期末考核题目 作业要求：就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。高观点下的部分中学数学问题155370 林妙红摘要：随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。中学数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题， 而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关 高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用 例子把初等数学问题用高等

2、数学解法来解答，从中找到两者的联系。关键词：高等数学；初等数学；函数的拐点问题；函数的凸凹性；分解因式；数列；不等式一、引言随着高中课程的深入改革，大学高等数学的内容被引入了很多，如选修部分。而实际上 在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的 趋势。比如导数部分内容就丰富了很多。1、函数的拐点问题1 312 .一 .一 一_例1 (2007湖南又21)已知函数f(x)= -x + ax +bx在区间1,1), (1,3内各有一个极32值点.(II)当a2 4b =8时，设函数y=f(x)在点A(1, f (1)处的切线为l ,若l在点A处穿过函数y =

3、f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y=f(x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数 f(x)的表达式.解析：(II)思路一：由f(1)=1+a+b知f (x)在点(1, f (1)处的切线l的方程是 .2 1y f (1) = f (1)(x 1),即 y =(1 +a +b)xa ,3 2因为切线l在点A(1, f(x)处过y=f(x)的图象，1.所以g(x) = f (x) -(1 +a +b)xa在x =1两边附近的函数值异号，则2x =1不是g(x)的极值点.,、1 31221而 g(x)=-x +-ax +bx(1+a+b)x+a ,且323 2g (x) =x

4、2 +ax +b(1+a+b) =x2 +axa 1 = (x1)(x + 1 + a).=1和x = -1 -a都是g(x)的极值点.所以1=1 a ,即2一 一一 . .132a =-2 ,又由 a 4b=8,得 b =-1 ,故 f(x)= x -x x.3解法二：同解法一得,2 1g(x) = f(x)-(1ab)x-13a3a12=-(x-1)x +(1+)x-(2+-a).322因为切线l在点A(1, f(1)处穿过y = f(x)的图象，所以g(x)在x = 1两边附近的函数值异号，于是存在 mi, m2 (mi 1 m2).当 m1x1 时，g(x) 0 ,当 1 x m2 时

5、，g(x)0；或当 m10 ,当 1 x m2 时，g(x) 0 .设 h (x) = x2 + 11 + 3a |x - 1 2 + 3a L 则22当 m1 x0 ,当 1cxem2时，h(x) 0 ；或当 m1cx1 时，h(x) 0 ,当 1 xm2 时，h(x)0.3a由h(1)=0知x=1是h(x)的一个极值点，则 h(1) = 2+1+ = 0,22一.一一 1 32所以 a = 2 ,又由 a -4b =8 ,得 b = -1 ,故 f (x) = x -x -x 33y = x。在x = 0处虽然导函x=0使导函数所对应方程的点评 本题中“ l在点A处穿过函数y= f(x)的

6、图象”实际上是指点 A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数 数值为0,但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看, 偶次重根。所以本例中可知 x =1是g(x) =0重根。2、函数的凸凹性 例2. f (x) =(x+1)ln(x+1)若对所有的x都有f(x) 士 ax成立，则实数 a的取值范围是解析：错误！未找到引用源。设 F(x) = f (x)ax =(x +1)ln(x+1)ax.则 F(x) = ln(x+1)+ 1a ,由 F(x) = 0, 得*=3，,。注意到F(0)=0,若在定义域有极值则比在区间(0,+ 8)外.即错误！未找到引用源。另

7、解：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+ oo)上恒在y=f(x)图像下方，所以ab 0时，不等式nbn(a -b) an -bn 1时成分析：设f (x) =xn则f(x) = nxn当a b a0时，对f (x)在区间b,a】上应用拉格朗日中值定理，有f(a) f(b) a - bn n a - b= f(8) = nw ,(b6 1 时， a - bn na - bn -1 0故nb 0时，ln(1+x) x。此题可用中值定理证，也可用F (x) = x - ln(1 + x)的单调性来证.证明：设f (x) =ln x则f(x

8、)在1,x+1上连续，在(1,x+1)上可导，由拉格朗日定理知在(1,x+1)内至少存在一点，r1名，使得 f (x +1) - f (1) = f (a)x,即 ln(x +1) = x xz从例7,8可以看出，利用中值定理来证明不等式，较初等解法要相对简单，同时可以得到一 些常用的公式。三、总结高等数学与初等数学的区别在于研究对象和方法上的不同：初等数学研究的是规则、平直的几何对象 和均匀有限过程的常量，亦称常量数学，思想方法上片面、孤立、静止地考虑问题；高等数学在初等数学 的基础上研究的是不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化过程的变量，思想方法上是在变化运动中考 虑问题，也就是极限的方法。高等数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法 不同。人们要随着这种不同转变学习时的思想方法，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在 变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应