高考数学百大经典例题-棱柱

1、典型例题一棱柱例1设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长都相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4分析：命题是假命题.因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体.底面是矩形,侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题是假命题.底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体;命题是假命题.因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直.命题是真命题，如图所不平行六面体ABCD-ABiCiDi中所有对角线相等，对角面BiBDDi是平

2、行四边形，对角线BDi =BiD ,所以四边形BiBDDi是 矩形，即BB_LBD,同理四边形 AACCi是矩形，所以AAi _L AC ,由 AA / BB1 知 BB _L 底面 ABCD ,即该平行六面体是直平行六面体.故选A.说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题.下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的.见表表平行四边形平彳J六面体对边平行且相等相对的侧囿平行且全等对角线交干-点，且在这一点互相平分对角线交干-点且在这一点互相平分四条边的平方和等

3、于两条对角线的平方 和十二条棱的平方和等于四条对角线的 平方和典型例题例2如图，正四棱柱 ABCD-ABiCiDi中，对角线BDi =8, BDi与侧面BBGC所(3)成角为30 :求：（1） BDi与底面ABCD所成角；（2）异面直线BDi与AD所成角;正四棱柱的全面积.分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底ABCD、ABC1D1是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是 解决立体几何问题的关键条件.题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系.异面直线3）与AD所成角通过ADADi,落实为具体的NADB .正四棱

4、柱各个面都是矩形， 求面积只要用矩形面积公 式.解：（1）在正四棱柱 AC中，: DC _l面BBCC,，/D1BC1 是 DB与侧面 BBGC所成角，即 /DBCi=30 =.BD1=8,. D1cl =4, BC1=4V3,AB1c1D1 是正方形，. B1c1=D1cl=4,D1D _L平面ABCD，.一/ D1 BD是D1 B与底面ABCD所成角，在 RtD1DB 中，BD =31）=472, BD1=8,r “ BD 2-cos/D1 BD = ，/D1 BD = 45 ,BD12即BD1与底面ABCD所成角为45 =. AD/A1D1 , /A1DB是BD1与AD所成角（或补角）.

5、 DA，平面 AABB，二 DA -L AB ,RkAD1B 中，AD1=4, BD1=8, 1 cos/A D1B = ,/AD1B=60 , 2即异面直线AD与85所成角为60 1Rt BB1C1 中，B1C1 =4, BG =443 .BB1 =4v2,S全=2（4又4+4父472+4父4、15）=32（2/5+1）.说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件.典型例题三例3如图，已知长方体 ABCD-AB1cl口1中，棱长AA=5, AB=12,求直线B1cl与平面AiBCDi的距离.分析：求

6、直线到平面的距离， 首先要找直线上的点到平 面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出， 长方体中有CB _L平面AABB1 ,这样，只要作 B1H _L AB ,又有BH _LCB,得到 BH _L平面 BCDA.解：长方体AC1中，有BC _L平面AABB1 ,过B作BH _L AB于H ,又有BC_LBH ,B1H _L平BCD1A ,即B1H是B1cl到平面A1BCD1的距离.在Rt BBA中，由已知可得，BB1=5, AB1=12,AB =13,BH =1360即B1Hze B1cl到平面A1 BCD1的距离为 .13说明：长方体中

7、有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体AC1中，A1C1与面C1BD所成角.这里，要找 AC1与C1BD所成角，必须找 A1到平面C1BD的垂线，因为BD _1面人,在对角面AC1内，过A作AH _LOC1于H ,则BD_LAH ,所以AH _L面C1BD ,可以得到/A1G。为AG与面C1BD所成角，在对角面AAC1c中可计算/AC1O = arctan2 .典型例题四例4如图，已知直三棱柱 ABCD-ABGD1中，AB = AC , F为侧棱BB上一点,BF=BC=2a, FB1 =a . (1)若D为BC的中点，E为AD上不同于 A、D的

8、任一点,求证：EF _L FC1 ； (2)若A1B1 =3a ,求FC1与平面AABB所成角的大小.分析：E点在AD上变化，EF为平面ADF内变化的一组 相交直线(都过定点F ),要证明C1F与EF垂直，必有C1F 1平面ADF .求FCi与平面ABBA所成角的关键是找 Ci到面 ABBA的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱AA_L 平面ABiCi给找点Ci到面AB的垂线创造了方便的条件.解：(1) AB =AC，且 D 是 BC 的中点，AD _L BC ,又直三棱柱中BBi，平面ABC，.-AD _L BBi ,AD _L平面 BB1GC ,AD_LCiF .在矩形 BB1GC 中

9、，BF=BC=2a, BF=a,DF = . 5a , FC1 = 5a, DC1 = 10a,DF2 +FC； =DC12, . NDFC1 =90:即 FC1 ,L DF ,FCi，平面 ADF，.- FCi _LEF .(2)过 C/、C1H _LAB 于 H，丁 AA，平面 AB1c，; AA1 .LC1H , . C1H _L平面AAB1B，连接FH , /C1FH是C1F与平面AB1所成角.在等月ABC 中，AB=AC=3a, BC = 2a , . . AD = 2&a ,在等月A BiCi中，由面积相等可得，Ci H M 3a = 2/2 M 2a , TOC o 1-5 h

10、z 4 2_ _CiH =a ,又 CiF = J5a ,3,4 10在 Rt C1HF 中，sin/C1FH =,15. 4.101 NC1FH =arcsin , 15即C1F与平面AB所成角为arcsin 4-0 .15说明：由于点E在AD上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了 CF1与一组直线垂直. 本题的证明还有一个可行的思路，虽然E在AD上变化，但是由于AD _L平面BBCiC ,所以E点在平面BCi上的射影是定点D ,EF在平面BCi上射影为定直线 DF ,使用三垂线定理，可由C1F _LDF ,直接证明C1F _L EF .三垂线定理是

11、转化空间 线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子， 正方体ACi中，O是底面ABCD的中心，E是AB上动点，F是DDi中点，求AF与OE所成角.我们取 AD中点G ,虽然E点变化，但OE在面ADi上射影为定直线 AG，在正方形 AADD中，易证AB_LAF ,所以，AF _LOE,即AF与OE所成角为901典型例题五例5如图，正三棱柱 ABC-ABiG的底面边长为4,侧棱长为a,过BC的截面与底面成30二的二面角，分别就(i) a=3； (2) a =i计算截面的面积.分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成30一的二面角，如果 a较大，此时截面是三角形；但是

12、如果a较小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形.解：截面与侧棱 AA所在直线交于 D点，取BC中点E ,连AE、DE ,ABC是等边三角形， AE _L BC , AA，平面 ABC，.一 DE 1 BC . / DEA为截面与底面所成二面角的平面角，/DEA =301等边 ABC 边长为 4, AE=2j3.在 Rt DAE 中，DA =AE tanDEA =2 .(1)当a =3时，D点在侧棱AA上，截面为 BCD ,在 Rt DAE 中，DE = J AD2 +AE2 =4,_1_ _1 S 布cd = - BC DE =父4父4 = 8.(2)当a =1时，D点在AA延长线

13、上，截面为梯形 BCMN ,AD =2 , AA =1 MN 是 DBC 的中位线,一S梯形BCMN34 S DBC3 x8=6 .4通过改变侧棱长而改变了截面形状, 改变截面形状.我们也可以通过确定侧棱长,改变截面与底面成角而说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例典型例题六例6斜三棱柱ABC-ABG中，平面AAGC_L底面ABC , /ABC =90 : AA，AC ,且 AA = AC .(1)求AA与平面ABC所成角；(2)求平面AABB与平面ABC所成二面角的大小；(3)求侧棱BB1到侧面 AAC1c的距离.分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂

14、直关系，由AA = AC ,取AC的中点D ,连A1D ,则有A1D，AC ,从而有AD，平面ABC ,在 此基础上， A A与底面所成角以及平面 AABB与底面所成二面角都能方便地找到，同时 AD _L底面ABC也为寻找B点到面AAC1c的垂线创造了条件.解：(1)取AC的中点D ,连接AD , A1A = A1C ,AD _L AC, .平面 AAC1c，底面 ABC ,A1D，底面ABC，.一/AAC为AA与底面ABC所成角.AA = AC 且 AA，AC , /AAC=451(2)取 AB 中点 E ,则 DE / BC , /ABC =90 :CB1AB, . . DE _L AB

15、.连AE , AD _L底面ABC ,A1E在平面ABC上射影为DE , AE1AB, /A,ED为侧面AB与底面ABC所成二面角的平面角.在等腰 RtAAC 中，AC=2/3,AD=J3.在 Rt ABC 中，BC =2，.- DE =1 .在 RtADE 中，tan/AED =皿=4行， DE，/AED=60；即侧面AAB1B与底面ABC所成二面角的大小为60 =.(3)过 B作 BH 1 AC 于 H , AD 1 底面 ABC，.- AD _L BH , BH _L平面 AC1c ,在 RtABC 中，AC=2j5, BC=2, . AB =272,AB BC 22 一BH =76 ,

16、即BB1到平面AAC1c的距离为一M6 .AD33说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键.典型例题七例7斜三棱柱ABC-ABiG的底面 ABC是直角三角形，NC = 90： BC=2cm,角，侧面AABB与侧面B在底面上白射影 D恰好是BC的中点，侧棱与底面成60BBC1c所成角为30：求斜棱柱的侧面积与体积.分析：Bi在底面ABC上射影D为BC中点，提供了线面垂直B1D _L平面ABC ,另外又有/C =90：即AC 1 BC ,又可以得到AC

17、_L平面BB1clC,利用这两个线面垂直关系， 可 以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角.解：: Bi在底面ABC上，射影D为BC中点./B1BD为侧棱BB与底面ABC所成角，即/B1BD=60：,NC =90 :即 AC _L BC ,又 AC _L B D , AC，平面 B4C1C ,过 A 作 AE _L B1B 于 E ,连接 CE ,则 CE _L B1B .ZAEC是侧面AABB与侧面CC1B1B所成二面角的平面角，ZAEC =30 :在直角 CEB 中，. /CEB =60 : BC =2 , . . CE =73,在直角 ACE 中，= /CEA=30： CE=J3,

18、AC EC tan 30 1 , AE =2AC =2 ,1在直角 B1DB 中，/ B1BD = 60 , BD = BC = 1 ,2BBi=2BD=2, B1D =BB1sin60，=技.侧面积为 Gu =CE EB - AE BB1 AC AA1=5 +2+1)bc0.求沿着长方体的表面自 A到Ci的最短线路的长.分析：解本题可将长方体表面展开， 可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距 离来解答.解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图.(乙)三个图形甲、乙、丙中 ACi的长分别为：(ab)2c2=a2b2c22ab,a2(bc)2=,a2b2c22bc(ac)2b2=,a2

19、-b2c22aca b c 0 ,ab ab bc0 .故最短线路的长为a2 b2 c2 2bc.说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1 =da2 +b2 +c2是最短线路.(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为 求平面内两点间线段长.典型例题十二例12设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的 截面与底面成60 13的二面角，面积为 Q,求直平行六面体的全面积.分析：如图，由于口口_1面AC .作出截面与底面所成的二面角的平面角/DHD后,因R3D DH中/D HD =60,可分别求出D D、DH

20、和D H的值.又上下底面的边长 是相等的，便可进一步求出全面积.解：设平行六面体为 ABCD AB,Cd,过D作DH 1 AB , H为垂足，连结DH . TOC o 1-5 h z DD _L平面 ABCD , _ . * . D H _ AB , , D HD =60 ,.3 ,1 ,D D =3 D H , DHD H . 22又在菱形 ABCD中，有 AD = AB = BC =CD , ，截面ABC D的面积为：=口 H AB=Q. ，.一. 33 3侧面D DCC的面积为：S2 = D D DC = D D AB = D H AB = Q22_,1底面 ABCD 的面积为：S3=D

21、H ，AB=，D H AB =，Q 22所以 S全=4S2 2S3 =(2.3 1)Q.典型例题十三例13设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩 形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体.以上命题中，真命题的个数是( ).A. 0B. 1C. 2D. 3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形.，应选B.说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质.典型例题十四例14如图，A BGABC是直三棱柱，/BCA

22、 = 90，点D1、F1分别是ABA1C1的中点.若BC=CA = CG,则BDi与AFi所成角的余弦值是().A.3010B.10解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取 BC的中点E,并连结EFEA ._ _ .1DFE BC =BE , EFi/ BDi，一 / EFi A是 BDi 与 AFi 所成角.设 BC =2a ,则 CG =2a , CA = 2a.AB = 2 J2a , AFi =庭a, AE = 75a , EFi = BDi =也 B2 + BiDi2 = 76a .cos EF1A =AFi2 EFi2 - AE2 ( . 5a)2 ( 6a)2 ( .5a)2: 302 AF EF10，应选A.说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求.典型例题十五例15 如图，已知 AB1cl ABC是正三棱柱， D是AC的中点.证明：AB1 平面DBG；(2)假设ABi 1 BCi,求以BG为棱，DBCi与CBCi为面的二面角的度数.(1)证明：A1B1cl ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形.连结B1c交BC1于E ,则